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| 徐大帅哥领你复习第六天：一次函数与几何综合训练题 |
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徐大帅哥名言：相信自己，创造奇迹！
徐大帅哥名言：脸大走遍天下！
徐大帅哥期末《一次函数与几何综合》训练题
1、一次函数与三角形全等综合
【例1】平面直角坐标系内有两点??40A，和??04B，，点P在直线AB上运动．
⑴若P点横坐标为2Px??，求以直线OP为图象的函数解析式（直接写出结论）
⑵若点P在第四象限，作BM?直线OP于M，作AN?直线OP于N，求证：MNBMAN??
⑶若点P在第一象限，仍作直线OP的垂线段BM、AN，试探究线段MN、BM、AN所
满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．
【例2】如图，已知直线OA的解析式为yx?，直线AC垂直x轴于点C，点C的坐标为??20，，直线
OA关于直线AC的对称直线为AB交x轴于点B．
⑴写出点A及点B的坐标；
⑵如图，直线AD交x轴与点D，且ADB△的面积为1，
求点D的坐标；
⑶作OEAD?于点E，交AC于点H，作BFAD?于点F，
求证：OEAF?，并直接写出点H的坐标．
H
E
CD
F
B
x
y
O
A
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徐大帅哥名言：脸大走遍天下！
2、一次函数与等腰三角形综合
【例3】⑴点A的坐标是??22，，若点P在x轴上，且APO?是等腰三角形，则点P
的坐标不可能．．．是（）
A．??40，B．??10，C．??220?，D．??20，
⑵已知直线ykxb??，与x、y轴分别交于??4,0B，??0,12C两点，
①求k，b的值；
②若??,Pxy是线段BC上的动点，O为坐标原点，是否存在这样的点P，使POB?为等
腰三角形？这样的P点有几个？写出当OB为底边时P点坐标.
3、一次函数与面积综合
【例4】已知直线3yx??与x轴交于A点，与y轴交于B点．直线l经过原点，与线段AB交于C点，
且把ABO△的面积分为1∶2两部分，求直线l的解析式。
【例5】已知：直线1l：1ykxk???与直线2l：(1)ykxk???（k是正整数）及x轴围成的三角形的面
积为kS．
⑴求证：无论k取何值，直线1l与2l的交点均为定点；
⑵求1232008SSSS????L的值．
徐大帅哥名言：相信自己，创造奇迹！
徐大帅哥名言：脸大走遍天下！
x
y
E
1
1
D
C
B
A
O
【例6】已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1），
C（－1，0），过点C的直线l绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E.
⑴求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
⑵若△OCD与△BDE的面积相等，
①求直线CE的解析式；
②若y轴上一点P满足∠APE=45°，请直接写出P点的坐标.
【例7】如图，AOB?为正三角形，点B的坐标为??20，，过点??20C?，作直线l交AO于D，交AB
于E，且ADE?与DCO?的面积相等，求直线l的解析式.
l
y
x
E
D
OCB
A
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徐大帅哥名言：脸大走遍天下！
4、一次函数中与动点问题：
【例8】在平面直角坐标系xOy中，一动点??Pxy，从点??10M，出发，在由??11A?，，??11B??，，
??11C?，，??11D，四点组成的正方形边线上（如图1所示），按一定方向匀速运动．图2是点P运动
的路程s与运动时间t（秒）之间的函数图象，图3是点P的纵坐标y与点P运动的路程s之间的函数
图象的一部分．
图1
-11NMO
D
CB
A
y
x
图2
s
t（秒）O12
1
图3
O
-1
87654312
1
y
s
请结合以上信息回答下列问题：
⑴图②中，s与t之间的函数关系式是??0t≥；
⑵与图③中的折线段相对应的点P的运动路程是→→→；
（填“A”、“B”、“C”、“D”、“M”、或“N”）
⑶当48s≤≤时，直接写出y与s之间的函数关系式，并在图③中补全相应的函数图象．
【例9】已知：如图，等边三角形ABC中，2AB?，点P是AB边上的一动点（点P可以与点A重合，
但不与点B重合），过点P作PEBC?，垂足为E，过点E作EFAC?，垂
足为F，过点F作FQAB?，垂足为Q．设BPx?，AQy?．
⑴写出y与x之间的函数关系式；
⑵当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；
⑶当线段PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角
形的周长的取值范围．（不必写出解答过程）
Q
PF
ECB
A
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【例10】如图，正方形ABCD的边长是1，E是CD边上的中点，P为正方形
ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A→B→C→E运动，到达点E，
若点P经过的路程为x，APE△的面积为y，求y与x的关系式；并求当1
3y?
时，
x的值等于多少？
【答案】
1、一次函数与三角形全等综合
【例1】平面直角坐标系内有两点??40A，和??04B，，点P在直线AB上运动．
⑴若P点横坐标为2Px??，求以直线OP为图象的函数解析式（直接写出结论）
⑵若点P在第四象限，作BM?直线OP于M，作AN?直线OP于N，求证：MNBMAN??
⑶若点P在第一象限，仍作直线OP的垂线段BM、AN，试探究线段MN、BM、AN所
满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．
【解析】⑴设直线AB函数解析式为ykxb??
04144kbkbb?????????????4yx???
当x为2?时，6y?，P的坐标为??26?，
∵直线OP过原点，∴解析式为3yx??
⑵在RtBMO△与RtONA△中
90
BOOA
BMOONA
MBONOA
???
??????
????
°
∴RtRtBMOONA△≌△
∴BMON?，ANMO?
∴MNBMAN??
⑶如图，同⑵证明RtRtBMOONA△≌△
可得结论MNBMAN??
P
EDC
BA
O
y
4
4
P
N
M
B
A
y
x
P
O
N
M
x
B
A
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徐大帅哥名言：脸大走遍天下！
【例2】如图，已知直线OA的解析式为yx?，直线AC垂直x轴于点C，点C的坐标为??20，，直线
OA关于直线AC的对称直线为AB交x轴于点B．
⑴写出点A及点B的坐标；
⑵如图，直线AD交x轴与点D，且ADB△的面积为1，
求点D的坐标；
⑶作OEAD?于点E，交AC于点H，作BFAD?于点F，
求证：OEAF?，并直接写出点H的坐标．
【解析】⑴??22A，,??40B，
⑵∵ACBD?于点C，2AC?，1ADBS?△，
∴1121
22ADBSBDACBD?????△
．
∴1BD?
∴413ODOBBD?????
∴??30D，
⑶由直线OA的解析式为yx?，可知
OCAC?．
又90ACO??°，
∴45OACAOC????°．
∵直线OA关于直线AC的对称直线为AB，
∴45BACOAC????°，OABA?．
∴90OAB??°．
∴290OAE????°．
在AOE△中，90OEA??°，
∴190OAE????°．
∴12???
在AOEABF△≌△中，
12
90OEAAFB
OABA
?????
??????
??
°
∴AOEABF△≌△
∴OEAF?
又由OCHACD△≌△可求得??21H，
2、一次函数与等腰三角形综合
【例3】⑴点A的坐标是??22，，若点P在x轴上，且APO?是等腰三角形，则点P
的坐标不可能．．．是（）
A．??40，B．??10，C．??220?，D．??20，
⑵已知直线ykxb??，与x、y轴分别交于??4,0B，??0,12C两点，
①求k，b的值；
②若??,Pxy是线段BC上的动点，O为坐标原点，是否存在这样的点P，使POB?为等
H
E
CD
F
B
x
y
O
A
2
1
A
O
y
x
B
F
DC
E
H
(2,2)
P4
P3
P2P1
A
O
y
x
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x
y
E
1
1
D
C
B
A
O
腰三角形？这样的P点有几个？写出当OB为底边时P点坐标.
【解析】⑴B
分析：找等腰三角形第三个顶点的方法可简单归纳为：画两个圆和一
条中垂线，如图，分别以O点，A点为圆心，以OA为半径画
圆，再作OA的中垂线，与x轴的交点（除O点外）均为P点，
坐标依次为??
1220P?，
，??220P，，??
3220P，
，??440P，
⑵①3k??，12b?
②共有3个点P，作图略,当OB为底边时,P点坐标为??26，
3、一次函数与面积综合
【例4】已知直线3yx??与x轴交于A点，与y轴交于B点．直线l经过原点，与线段AB交于C点，
且把ABO△的面积分为1∶2两部分，求直线l的解析式。
【解析】由题意可知，C点为线段AB的三等分点，
如图，
1122123BCCCCAAB????
，∴??112C?，，??221C?，
∴直线l的解析式为2yx??或1
2yx??
【例5】已知：直线1l：1ykxk???与直线2l：(1)ykxk???（k是正整数）及x轴围成的三角形的面
积为kS．
⑴求证：无论k取何值，直线1l与2l的交点均为定点；
⑵求1232008SSSS????L的值．
【解析】⑴联立12ll，的解析式，求得交点坐标为??11??，，∴交点为定点.
⑵设直线12ll，分别与x轴交于A，B两点，则100
1kkAB???????????????，，，
，
∴??11
11kkABkkkk???????
∴??111
21kSkk??××
12320081111100421223200820092009SSSS??????????????????L×××
【例6】已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1），
C（－1，0），过点C的直线l绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E.
⑴求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
⑵若△OCD与△BDE的面积相等，
B
C2
C1y=x+3
A
O
y
x-3-2-1
3
2
1
徐大帅哥名言：相信自己，创造奇迹！
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①求直线CE的解析式；
②若y轴上一点P满足∠APE=45°，请直接写出P点的坐标.
【解析】⑴∠OAB=45°，直线AB的解析式为：1yx???
⑵由题意得AOBACESS?△△
1122EACy?12Ey?1122E（，）
①设直线CE解析式为(0)ykxbk???
依题意得1122
0
k+b
kb
????
?????
解得
1
3
1
3
k
b
???
??
????
∴直线CE解析式为11
33yx??
②若y轴上有一点P满足45APE???，则P（0,0）
【点评】本题的第⑵问是运用面积的“容斥原理”，此类题型西城偏爱考查，2010年西城一摸第25⑶是
典型的一例.
【例7】如图，AOB?为正三角形，点B的坐标为??20，，过点??20C?，作直线l交AO于D，交AB
于E，且ADE?与DCO?的面积相等，求直线l的解析式.
【解析】由ADE?与DCO?的面积相等可知，AOBBCESS???.
设直线l的解析式为：(2)ykx??
又AB的解析式为：3(2)yx???，故点E的坐标满足下式：
(2)433(2)3ykxkyyxk????????????
?
，
故14313423
2273BCEAOBkSSkk????????????
故直线l的解析式为：3(2)
7yx??
.
4、一次函数中与动点问题：
【例8】在平面直角坐标系xOy中，一动点??Pxy，从点??10M，出发，
在由??11A?，，??11B??，，??11C?，，??11D，四点组成的正方形边线上（如图1所示），按一定方
向匀速运动．图2是点P运动的路程s与运动时间t（秒）之间的函数图象，图3是点P的纵坐标y与
点P运动的路程s之间的函数图象的一部分．
图1
-11NMO
D
CB
A
y
x
图2
s
t（秒）O12
1
图3
O
-1
87654312
1
y
s
l
y
x
E
D
OCB
A
徐大帅哥名言：相信自己，创造奇迹！
徐大帅哥名言：脸大走遍天下！
请结合以上信息回答下列问题：
⑴图②中，s与t之间的函数关系式是??0t≥；
⑵与图③中的折线段相对应的点P的运动路程是→→→；
（填“A”、“B”、“C”、“D”、“M”、或“N”）
⑶当48s≤≤时，直接写出y与s之间的函数关系式，并在图③中补全相应的函数图象．
【解析】⑴1
2st?
⑵点P的运动路程是M→D→A→N
⑶当45s≤≤时，4yx???
当57s??时，1y??
当78s≤≤时，8yx??，补全图形如下：
s
y
1
21345678
-1
O
【例9】已知：如图，等边三角形ABC中，2AB?，点P是AB边上的一动点（点P可以与点A重合，
但不与点B重合），过点P作PEBC?，垂足为E，过点E作EFAC?，垂
足为F，过点F作FQAB?，垂足为Q．设BPx?，AQy?．
⑴写出y与x之间的函数关系式；
⑵当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；
⑶当线段PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角
形的周长的取值范围．（不必写出解答过程）
【解析】⑴由题意可知,30BPECEFAFQ??????°，∴11
22BEBPx??
1111212224FCECxx???????????，11111122428AQAFxx???????????
∴11
28yx??
⑵当P与Q重合时，2BPAQ??即112
28xx???
，∴4
3x?
，即4
3BP?
时，P、Q重合．
⑶当P、Q重合时，周长取最大值为23323
3??
当P与A重合时，周长取最小值为13333
22??
∴33
2≤
周长23≤
【例10】如图，正方形ABCD的边长是1，E是CD边上的中点，P为正方形
Q
PF
ECB
A
P
EDC
BA
徐大帅哥名言：相信自己，创造奇迹！
徐大帅哥名言：脸大走遍天下！
ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A→B→C→E运动，到达点E，若点P经过的路程
为x，APE△的面积为y，求y与x的关系式；并求当1
3y?
时，x的值等于多少？
【解析】当P在AB上时，01x?≤，11
2yx?××
，∴1
2yx?
①
当P在BC上时，12x?≤，
????111111121122222ECPABPABCEySSSxx???????????????梯形△△××××××，
化简得31
44yx??
②
当P在EC上时，52
2x?≤
，151
22yx????????××
，∴51
42yxx??
③
将1
3y?
代入上述三个关系式中，①11
32x?
，解得2
3x?
②131
344x??
，解得5
3x?
③151
342xx??
，解得11
6x?
（不符合x的取值范围，舍去）
∴x的值为2
3
或5
3
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