机械能问题的常见题型与方法

昵称3826483 2013-12-06

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机械能问题的常见题型与方法

陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室　邢彦君

高考试题中的机械能问题，常见类型有机械能守恒与不守恒两类，对于机械能不守恒类问题一般运用动能定理、能量守恒定律、功能关系等分析求解；对于机械能守恒类问题一般运用机械能守恒定律分析求解。

1．机械能的意义及守恒条件辨析类问题

机械能包括动能、重力势能、弹性势能，重力势能是物体与地球共有的。因此，机械能是运动物体、弹簧（或发生弹性形变的其它物体）和地球组成的系统共有的。物理过程中，系统内的相互作用力中，只有重力、弹簧弹力做功，是机械能守恒的条件。对于涉及机械能的物理问题，应首先选择有相互作用的物体系统的运动过程为研究对象，然后分析在运动过程中系统内各物体间的相互作用力。若系统内只有重力、弹力作用，或虽有非重力、非弹力作用，但这些力不做功，则系统的机械能守恒，否则机械能不守恒。

例1．如图1所示，小球以速度v_o冲向光滑斜面AB，并刚好能沿斜面升高h。不计空气阻力，下列说法正确的是

A．若把斜面从C点锯断，小球冲出C点后仍能升高h

B．若把斜面弯成如图所示的弧状，小球仍能沿升高h

C．若把斜面从C点锯断或弯成如图所示的半圆弧状，小球都不能升高h，因为机械能不守恒

D．若把斜面从C点锯断或弯成如图所示的弧状，小球都不能升高h，但机械能守恒

解析：由于不计空气阻力，小球运动中只受重力和斜面或弧状轨道的支持力，而支持力方向总是与小球运动速度方向垂直，不做功。因此，运动中，只有重力对小球做功，小球与地球系统的机械能守恒。若以A点为重力势能参考平面，小球具有的机械能总量为或mgh。若把斜面从C点锯断，小球冲出C点后做斜抛运动，经过轨道最高点时具有水平速度，动能不等于零，此时小球的重力势能小于mgh，不能升至h高度；若把斜面弯成如图所示的弧状，设想小球仍能沿升高h，则此时小球的速度为零，这与圆周运动物体恰能通过竖直轨道最高点的条件（速度不小于）相悖，因此，小球不能沿升高h。选项ABC错误D正确，本题选D。

【点评】物体沿竖直轨道内侧做曲线运动，或做斜抛运动，经过轨道最高点时的速度不等于零。

2．运用动能定理或功能关系分析求解机械能问题

对于涉及机械能的物理过程，若系统内物体间有非重力、非弹力做功，比如摩擦力、电场力、安培力等力做功，或系统外物体的力对系统内物体做功，则系统的机械能不守恒。对此问题，一般运用动能定理或功能关系分析求解。当系统内是否有非重力、非弹力作用或他们是否做功不能明确判定时，也可运用动能定理分析求解。

例2．如图2所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP =2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中

A．重力做功2mgR

B．机械能减少mgR

C．合外力做功mgR

D．克服摩擦力做功

解析：小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，只是重力提供向心力，由牛顿第二定律有：；小球从P到B的运动过程中，重力的功为，设摩擦力的功为W_f，由动能定理有：，克服摩擦力做功为：；又由动能定理可知，这一过程中合力的功等于动能的增量，即。解得：克服摩擦力做功为，合外力做功为。克服摩擦力做功需消耗机械能，由功能关系知机械能减少量等于克服摩擦力做的功，为。选项ABC错D正确，本题选D。

【点评】重力做功与路径无关，重力的功等于重力势能的减少量；合力的功等于动能的增量；克服某力做的功与某力的功等值反号。

例3．在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，如图3所示。将选手简化为质量m=60kg的质点，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角α=53^o，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.，不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取重力加速度g=10m/s²，sin53^o=0.8，cos53^o=0.6。若绳长l=2m，选手摆到最高点时松手落入手中。设水对选手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求选手落入水中的深度d。

解析：选手从开始运动到落入水中深度为d处，选手的初末速度都等于零，对选手做功的力有重力、水的浮力、水的阻力，对选手的这一运动过程运用动能定理有：。代入数据解得：d=1.2m。

【点评】多过程问题中，若不涉及中间状态量的分析求解，可将整个运动过程视为整体运用动能定理。

3．运用机械能守恒定律求解机械能问题

对于涉及力与运动的问题，若机械能守恒，且不涉及时间、加速度、力，可直接运用机械能守恒定律分析求解，若涉及时间、加速度、力，可运用机械能守恒定律、牛顿第二定律、匀变速直线运动规律等分析求解。

例4．如图4所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m的a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放直到经过最低点，小球a始终未离开地面。求当a球对地面压力刚好为零时，b球摆过的角度为θ。

解析：由于a球始终未离开地面，释放后的b球绕右边细杆在竖直平面做圆周运动。设a球对地面的压力刚好为零时，绳的张力为T，对球a运用共点力平衡条件有：；由于两水平细杆光滑，轻绳中各处张力大小相等，设此时b球的速度大小为v，圆周运动的轨道半径为L，对b球运用牛顿第二定律有：；从b球释放到摆过θ角，轻绳张力方向始终与球运动方向垂直，因此，对b球做功的力只有重力，b球与地球系统机械能守恒，故有：。解得：，则。

【点评】对于系统的运动过程，可运用机械能守恒定律或动能定理；对于某个状态，可运用共点力平衡条件或牛顿第二定律。

例5．如图5所示，一倾角为30^o的光滑斜面底端有一与斜面垂直的固定挡板M，物块A、B之间用一斜面平行的轻质弹簧连结，现用力缓慢沿斜面向下推动物块B，当弹簧具有5J弹性势能时撤去推力释放物块B；已知A、B质量分别为m_A=5kg、m_B=2kg，弹簧的弹性势能表达式为，其中弹簧的劲度系数k=1000N/m，x为弹簧形式变量，g=10m/s²。求：