电磁感应中的双动式导轨问题

电磁感应中的双动式导轨问题

浙江省湖州二中　俞根强

关键词：双动式导轨

摘要：本文分析归纳了有关双动式导轨的四种常见情况，对培养学生综合应用知识解决问题的能力具有独特的意义。

在电磁感应中，有三类重要的导轨问题：1．发电式导轨；2．电动式导轨；3．双动式导轨。导轨问题，不仅涉及到电磁学的基本规律，还涉及到受力分析，运动学，动量，能量等多方面的知识，以及临界问题，极值问题。尤其是双动式导轨问题要求学生要有较高的动态分析能力，它对培养学生综合应用知识解决问题的能力具有独特的意义。笔者在平时教学实践中总结了下列几种常见的情况，以供大家探讨。

一、等间距水平导轨，无水平外力作用（安培力除外，下同）

例1 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为。导轨上面横放着两根导体棒和，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量皆为，电阻皆为，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒静止，棒有指向棒的初速度。若两导体棒在运动中始终不接触，求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？

（2）当棒的速度变为初速度的时，棒的加速度是多少？

解析 棒向棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量变小，于是产生感应电流。棒受到与其运动方向相反的安培力而做减速运动，棒则在安培力的作用下向右做加速运动。只要棒的速度大于棒的速度，回路总有感应电流，棒继续减速，棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积保持不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度做匀速运动。

（1）从开始到两棒达到相同速度的过程中，两棒的总动量守恒，有，根据能量守恒定律，整个过程中产生的焦耳热 。

（2）设棒的速度变为时，棒的速度为，则由动量守恒可知得，此时棒所受的安培力。

由牛顿第二定律可得：棒的加速度。

二、不等间距水平导轨，无水平外力作用

例2 如图所示，光滑导轨、等高平行放置，间宽度为间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。、是质量均为的金属棒，现让从离水平轨道高处由静止下滑，设导轨足够长。试求： (1)、棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

解析 下滑进入磁场后切割磁感线，在电路中产生感应电流，、各受不同的磁场力作用而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，、不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。

(1)自由下滑，机械能守恒： ①

由于、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度，故它们的磁场力为： ②

在磁场力作用下，、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当时，电路中感应电流为零()，安培力为零，、运动趋于稳定，此时有：

所以  ③

、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得：

 ④

  ⑤

联立以上各式解得：，

(2)根据系统的总能量守恒可得：

三、等间距水平导轨，受水平外力作用

例3 两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离，两根质量均为的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为。在时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小为0.20N的恒力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过，金属杆甲的加速度为，求此时两金属杆的速度各为多少？

解析 设任一时刻两金属杆甲、乙之间的距离为，速度分别为和，经过很短时间，杆甲移动距离，杆乙移动距离，回路面积改变

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势：

回路中的电流：

杆甲的运动方程：

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量变化（时为0）等于外力F的冲量：

联立以上各式解得

代入数据得＝8.15m/s  ＝1.85m/s

四、竖直导轨问题

例4　如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒和，与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定，释放，当的速度达到时，再释放，经过1s后，的速度达到，则（1）此时的速度大小是多少？（2）若导轨很长，、棒最后的运动状态。

解析 （1） 当棒先向下运动时，在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者大小相等。释放棒后，经过时间t，分别以和为研究对象，根据动量定理，则有：

代入数据可解得：

（2）在、棒向下运动的过程中，棒产生的加速度，棒产生的加速度。当棒的速度与棒接近时，闭合回路中的逐渐减小，感应电流也逐渐减小，则安培力也逐渐减小。最后，两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动。

以上几种常见的情况归纳如下：

类型	水平导轨，无水平外力	不等间距导轨，无水平外力	水平导轨，受水平外力	竖直导轨
终态分析	两导体棒以相同的速度做匀速运动	两导体棒以不同的速度做匀速运动	两导体棒以不同的速度做加速度相同的匀加速运动	两导体棒以相同的速度做加速度相同的匀加速运动
速度图象
解题策略	动量守恒定律，能量守恒定律及电磁学、运动学知识	动量定理，能量守恒定律及电磁学、运动学知识	动量定理,能量守恒定律及电磁学、运动学知识	动量定理,能量守恒定律及电磁学、运动学知识

以上笔者简单归纳了几种常见的情况，电磁感应中的双动式导轨问题其实已经包含有了电动式和发电式导轨，由于这类问题中物理过程比较复杂，状态变化过程中变量比较多，关键是能抓住状态变化过程中变量“变”的特点和规律，从