§4.1等差数列的通项与求和

第四章  数列

 

§4.1等差数列的通项与求和

 

一、知识导学

 

1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.

2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….

3.通项公式：一般地，如果数列｛a_n｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.

5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列

6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a₁,a₂,然后用递推关系逐一写出数列中的项.

7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．

8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝．我们把Ａ＝叫做ａ和ｂ的等差中项．

 

二、疑难知识导析

 

1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.

3.数列｛a_n｝的前n项的和S_n与a_n之间的关系：若a₁适合a_n(n>2),则不用分段形式表示，切不可不求a₁而直接求a_n.

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a_n= a₁+(n-1)d=d·n+ a₁-d, a_n是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.

5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A＝，B＝a₁－，则＝An²+Bn.

6、在解决等差数列问题时，如已知，a₁，a_n，d，，n中任意三个，可求其余两个。

 

三、经典例题导讲

 

[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.

错解：（1）a_n=3n+7;

(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.

错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a₁=101,显然3n+7不是它的通项.

正解：（1）a_n=3n－2;

(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.

 [例2] 已知数列的前n项之和为①   ②   

求数列的通项公式。

错解： ①

      ②

错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a_n＝S_n－S_n-1与的关系，没注意a₁=S₁.

正解：     ①当时，

           当时，

           经检验 时  也适合，

          ②当时，

             当时，

        ∴   

[例3] 已知等差数列的前n项之和记为S_n，S₁₀=10 ，S₃₀=70，则S₄₀等于           。

错解：S₃₀= S₁₀·2d.  d＝30，  S₄₀= S₃₀+d =100.

错因：将等差数列中S_m, S_2m －S_m, S_3m －S_2m成等差数列误解为S_m, S_2m, S_3m成等差数列.

正解：由题意：得

代入得S₄₀ ＝。

[例4]等差数列、的前n项和为S_n、T_n.若求；

错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令a_n=7n+1;b_n=4n+27.

错因：误认为

正解：

[例5]已知一个等差数列的通项公式a_n=25－5n，求数列的前n项和；

错解：由a_n0得n5

前5项为非负，从第6项起为负，

S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=50(n5)

当n6时，S_n=｜a₆｜+｜a₇｜+｜a₈｜+…+｜a_n｜＝

 S_n=

错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.

正解：  

[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，

由此可以确定求其前项和的公式吗？

解：理由如下：由题设：    

得：  

 ∴

[例7]已知： （）  （1） 问前多少项之和为最     大？（2）前多少项之和的绝对值最小？

 解：（1）       ∴

     （2）

        当近于0时其和绝对值最小

        令：  即 1024+

        得：

            ∵      ∴

[例8]项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程 的根。（）

 证明：依题意    

   ∵     ∴

     ∵

∴        ∴   （获证）。

 

四、典型习题导练

 

1．已知，求及。

2．设，求证：。

3.求和:

4.求和：

5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.

6.在等差数列中， ，则 （       ）。

A．72　　B．60　　C．48　　D．36

7. 已知是等差数列，且满足，则等于________。

8.已知数列成等差数列，且，求的值。

 

§4.2等比数列的通项与求和

 

一、知识导学

 

1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．

2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．

3.等比数列的前n项和公式：

 

二、疑难知识导析

 

1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.

2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.

3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.

4.在已知等比数列的a₁和q的前提下，利用通项公式a_n=a₁q^n-1,可求出等比数列中的任一项.

5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a_n=a_mq^n-m可求等比数列中任意一项.

6.等比数列｛a_n｝的通项公式a_n=a₁q^n-1可改写为.当q>0，且q1时，y=q^x是一个指数函数，而是一个不为0　的常数与指数函数的积，因此等比数列｛a_n｝的图象是函数的图象上的一群孤立的点.

7．在解决等比数列问题时，如已知，a₁，a_n，d，，n中任意三个，可求其余两个。

 

三、经典例题导讲

 

[例1] 已知数列的前n项之和S_n=aqⁿ（为非零常数），则为（　）。

A.等差数列　　　

B.等比数列　　

C.既不是等差数列，也不是等比数列

D.既是等差数列，又是等比数列

错解：

（常数）

为等比数列，即B。

错因：忽略了中隐含条件n＞1.

正解：当n＝1时，a₁=S₁＝aq;

当n>1时，

（常数）

但

既不是等差数列，也不是等比数列，选C。

[例2] 已知等比数列的前n项和记为S_n，S₁₀=10 ，S₃₀=70，则S₄₀等于.

错解：S₃₀= S₁₀·q ².  q ²＝7，q＝， S₄₀= S₃₀·q =.

错因：是将等比数列中S_m, S_2m －S_m, S_3m －S_2m成等比数列误解为S_m, S_2m, S_3m成等比数列.

正解：由题意：得，

S₄₀=.

[例3] 求和：a+a²+a³+…+aⁿ.

错解： a+a²+a³+…+aⁿ＝.

错因：是（1）数列｛aⁿ｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.

正解：当a＝0时，a+a²+a³+…+aⁿ＝0;

 当a＝1时，a+a²+a³+…+aⁿ＝n;

当a1时， a+a²+a³+…+aⁿ＝.

[例4]设均为非零实数，，

      求证：成等比数列且公比为。

证明：

证法一：关于的二次方程有实根，

  ∴，∴

  则必有：，即，∴非零实数成等比数列

  设公比为，则，代入

 

  ∵，即，即。

证法二：∵

      ∴

      ∴，∴，且

      ∵非零，∴。

[例5]在等比数列中，，求该数列前7项之积。

  解：

 ∵，∴前七项之积

[例6]求数列前n项和

  解：               ①

  ②

两式相减：

[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，

问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？

    (2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{a_n}，则：

  a₁= 0.2 （kg）,   a₂=×0.2（kg）,    a₃= ()²×0.2（kg）

 由此可见：a_n= ()^n-1×0.2（kg）,   a₅= ()^5-1×0.2= ()⁴×0.2=0.0125（kg）。

    (2)由(1)得{a_n}是等比数列    a₁=0.2 ,    q=

答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。

 

四、典型习题导练

 

1.求下列各等比数列的通项公式：

1)       a₁=-2,  a₃=-8

2)       a₁=5, 且2a_n+1=-3a_n

3)       a₁=5, 且

2.在等比数列，已知，，求.

3.已知无穷数列，

      求证：（1）这个数列成等比数列

    （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，

    （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。

4.设数列为求此数列前项的和。

5.已知数列{a_n}中，a₁=-2且a_n+1=S_n，求a_{n ,}S_n

6.是否存在数列{a_n}，其前项和S_n组成的数列{S_n}也是等比数列，且公比相同？

7.在等比数列中，，求的范围。