柯西不等式另两种形式的应用

柯西不等式另两种形式的应用

广东省中山一中高中部　许少华

    柯西不等式是非常重要的不等式，它的应用很广泛、且应用过程也相当灵活，真正可以体现“数学是思维的体操”，本文介绍柯西不等式另两种形式的应用，供参考：

 

1.柯西不等式的向量形式

 

设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数，使时，等号成立；这是柯西不等式的向量形式，下面谈谈这一形式在解题中的应用。

 

例1　已知，若恒成立，求的最大值。

 

解析：设，由得：，即。

 

例2　设，求的最小值。

 

解析：设。

 

由得：，

 

即，故的最小值为。

 

例3　求函数的最大值及最小值。

 

解析：由原函数式得，设

 

，由得，

 

    故最大值及最小值分别为与。

 

点评：对于上述三道例题都是通过构造向量，利用柯西不等式的向量形式完成求解的。恰当、合理的构造向量是求解的关键，有一定的灵活性，当然也有一定的难度，突破它要靠平时多留心、多积累。

 

2.柯西不等式的三角形式

 

设都是实数，则。此为柯西不等式的三角形式，可以借助三角形任意两边和大于第三边加以理解。下面谈谈这一形式在解题中的应用。

 

例4　求函数的最小值。

 

解析：由，

 

得，

 

。

 

点评：在应用三角形式求最小值时，我们要注意两点：①在使用公式过程中，要能够抵消变量；②要尽可能的使定值最大。比如本题若变成虽产生结论，但“2”并不是最小值。

 

例5　求函数的最大值；

 

解析：由三角形式稍作变化，即得，

 

由于

 

。

 

点评：在应用三角形式求最大值时，我们也要注意两点：①在使用公式过程中，要能够抵消变量；②要尽可能的使定值最小。比如本题若变成虽产生结论，但并不最大值。

 

至此，我们看出了柯西不等式另两种形式的应用，也许对你以后的解题会有所启发，使你的解题思路就得格外活跃。

2012-02-07  人教网