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利用定积分证明数列和型不等式

2013-12-08  720815
利用定积分证明数列和型不等式
湖北省阳新县高级中学 邹生书

我们把形如(为常数)的不等式称之为数列和型不等式,这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中,由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明,则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.

 

一、(为常数)

 

1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数,求证.

 

分析  这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式,标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式,这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步,则可考虑用定积分的几何意义求解.

 

证明  构造函数并作图象如图1所示.因函数上是凹函数,由函数图象可知,在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,

 

 

图1

 

 

因为,所以.

 

所以.

 

2  求证.

 

证明  构造函数,又

 

而函数上是凹函数,由图象知,在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,

 

 

图2

 

 

所以.

 

3  证明

 

证明  构造函数,因,又其函数是凹函数,由图3可知,在区间个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,

 

 

3

 

 

.

 

所以.

 

二、

 

4  ,求证:.

 

证明  不等式链的左边是通项为的数列的前项之和,右边通项为的数列的前项之和,中间的可当作是某数列的前项之和.故只要证当时这三个数列的通项不等式成立即可.

 

构造函数,因为,作的图象,由图4知,在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长,以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间,,而

 

故不等式成立,从而所证不等式成立.

 

 

4

 

52010年高考湖北卷理科第21题)已知函数的图象在点处的切线方程为.

 

(Ⅰ)用表示出

 

(Ⅱ)若内恒成立,求的取值范围;

 

)证明:.

 

本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏,具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.

 

证明  不等式左边是通项为的数列的前项之和,我们也可把右边当作是通项为的数列的前项之和,则当时,,此式适合,故只要证当时,

 

也就是要证.

 

由此构造函数,并作其图象如图5所示.由图知,直角梯形的面积大于曲边梯形的面积,即.

 

 

图5

 

,所以

 

原不等式成立.

 

点评  本解法另辟蹊径,挖掘新的待证不等式左右两边的几何意义,通过构造函数利用定积分的几何意义来解决问题,解法虽然综合性强,但由于数形结合解法直观便于操作.积分法是在新课标下证明不等式的一个新方法新亮点,很值得品味.由例45可知,要解决这类复杂问题的关键是要善于联想善于分析问题和转化问题,这样才能化繁为简、化难为易,精彩的解法不是空穴来风而是理性思维的必然结果.

 

作者简介:邹生书,男,1962年12月出生,湖北阳新县人.现任教于阳新县高级中学,中学数学高级教师,黄石市骨干教师.近四年来在《数学通讯》、《数学通报》、《中学数学教学参考》、《中学数学教学》、《中学数学月刊》、《中学数学》、《中学教研》、《中学数学研究》、《中小学数学》、《高中数学教与学》、《中学生数学》、《河北理科教学研究》、《数理天地》、《数理化解题研究》等近二十种期刊上发表教学教研文章百余篇,在人教网中学数学栏目发表文章二十多篇.

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