一道向量问题的解法、引申与拓展

一道向量问题的解法、引申与拓展

湖北省阳新县高级中学　邹生书

上海市普陀区教育局王华老师认为，解决数学问题有三种境界:就题论题、就题论法、就题论道.就题论题，只囿于题目本身，问什么答什么，不讲方法不思变式;就题论法，通过题目这个载思考解题的一般方法，明确建立能够举一反三的通法;就题论道是解题的最高境界，在这个过程中，不只学习一般的解题方法，而且由联想推广到一般的结论，力争找出反映问题本质属性的规律.我们解决数学问题需要在“题”上反映思维性，“法”上降低思维度，“道”上优化思维量.本文通过对一道向量问题的解法探讨、结论的归纳引申与类比拓展体验解题的三种境界.

 

题目  已知是内一点，且满足，则为                  

 

一、解法探讨

 

法1  如图1，

 

 

图1

 

选基底，由得，

 

，所以，

 

延长交于点，设，则，

 

 

图2

 

因三点共线，所以，解得，于是，，所以，，设，则易求得，则.

 

法2  联想到三角形重心的向量等式，如图2，延长至使，

 

延长至使，由得，

 

，则点是的重心，设，

 

由三角形面积公式得，，

 

 

图3

 

所以，所以.易求得

 

，故.

 

法3  由，得.

 

如图3，分别取CB、CA的中点D、E，则，

 

，则上式可化为，于是向量式可化简为，所以点P在线段上且.设，则易求得，，，

 

，所以.

 

 

图4

 

法4 （坐标法）建立平面直角坐标系如图4所示，则.因为，所以向量等式左边的纵坐标为零，

 

即，所以，所以

 

，即，同理可得，

 

，所以.

 

二、归纳引申

 

从已知向量等式的系数比和三角形面积比并结合几何图形，我们发现有如下关系：分别是向量所对三角形，且这三个三角形的面积之比等于向量等式中这三个向量的系数之比.由特殊到一般可归纳出如下结论：

 

命题1  已知是内一点，且满足，则.

 

解决一类问题的可持续发展的方法就是通法就是好法，坐标法是我们解决这类问题的最为简单有效的方法.

 

 

图5

 

解（坐标法）建立平面直角坐标系如图5所示，则.

 

因为，所以向量等式左边的纵坐标为零，

 

即，所以，

 

所以，即，同理可得

 

，，所以.

 

三、类比拓展

 

著名数学教育家波利亚指出“类比是伟大的引路人”.将命题1进行升维类比将二维升到三，三角形类比空间四面体，面积类比体积可得如下结论：

 

 

图６

 

命题2  已知P是空间四面体ABCD内一点，且满足，则.

 

解  以点A为坐标原点，以所在平面为面并

 

且以所在直线作为轴建立空间直角坐标系如图6所示，

 

则.因为，所以向量等式左边的立坐标为零，即，所以，所以，即.

 

同理可得，，， .所以.

 

四、反思欣赏

 

将命题1进行降维类比将二维降到一维，三角形类比线段，面积类比长度可得如下结论：

 

命题3  已知P是线段AB内一点，且满足，则.

 

即若P是线段AB内一点，且满足，则图形中向量所对的线段之比等于向量等式中这两个向量的系数之比.

 

命题3、命题1、命题2分别揭示了线段内一点、三角形内一点和四面体内一点若满足命题中的向量等式，则向量所对的线段长度、三角形面积和三棱锥体积之比就等于向量等式中对应向量的系数之比，可见三个命题从条件到结论具有统一的表现形式和优美的对称性给人以美的感受.

 

五、变式训练

 

1.（2004年全国高中数学联赛第4题）设O点在内部，且有：，则的面积与的面积之比为（  ）

 

                  

 

2.已知点O在内部，且满足，则的面积与凹四边形ABOC的面积之比为（  ）