一题多解与返璞归真

一题多解与返璞归真

湖北省武汉市东湖中学　杨　帆

有这样一个题目：

已知①()，求的值。由于前面学过对②的灵活使用学生很自然的想法是将①式平方得到③，而后再利用的左边除以得到，此时由于(否则，这与①式矛盾)，再把③式左边的分式上下同除，得到，解方程得到=或=。有很多学生只做到了这里，而没有根据条件研究的取值范围，而带来了増根=。我们再来看①式以及其后括号内的由此可以马上得到结论，同时④，前面提到过，在④式左右同除得到，这样就可以舍去増根得到本题的正确答案=。

其实本题没有必要做的这么麻烦。直接由①式移项得到⑤，再由⑤式带入②式。整理得到一元二次方程，解得的值带入⑤式可得到两组解(Ⅰ)或(Ⅱ)，而由条件，此时舍去解(Ⅰ)保留解(Ⅱ)，最后。

就思维训练的角度来说第一种解法很好，但学生往往由于思维不严密而得不到满分，反而是老老实实的用第二种的学生得到了满分。这不得不让所有的同学和老师都应该静下心来思考返璞归真的重要性了。

当然本题还可以由①式得到的转化为⑥，将得到的⑥式与①式联立解方程组得到，而后利用同角的三角函数关系；以及由①式得到的再求利用④式，结合，即，那么，由二倍角公式求得或，结合只需保留；还可利用①式得到即，又由于前面已经说明过的，那么，但由于，那么，此时，，解此方程得到.