2007年高考数学试题汇编──数列（二）

2007年高考数学试题汇编──数列（二）

　　33、（浙江文）已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程 的两个根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．

　　(I)求及 (n≥4)(不必证明)；

　　 (Ⅱ)求数列{}的前2n项和S_2n．

　　本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分．

　　(I)解：方程的两个根为．

　　当k＝1时，，所以；

　　当k＝2时，，所以；

　　当k＝3时，，所以；

　　当k＝4时，，所以；

　　因为n≥4时，，所以

　　（Ⅱ）＝．

 

　　34、（天津理）在数列中，，其中．

　　（Ⅰ）求数列的通项公式；

　　（Ⅱ）求数列的前项和；

　　（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．

　　本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．

　　（Ⅰ）解法一：，

，

．

　　　由此可猜想出数列的通项公式为．

　　以下用数学归纳法证明．

　　（1）当时，，等式成立．

　　（2）假设当时等式成立，即，

　　　那么

．

　　　这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．

　　　解法二：由，，

　　　可得，

　　　所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．

　　（Ⅱ）解：设，　　　①

　　　　　　　　②

　　　　当时，①式减去②式，

　　　　得，

．

　　　　这时数列的前项和．

　　　　当时，．这时数列的前项和．

　　　（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

．　　　　③

　　　　由知，要使③式成立，只要，

　　　　因为



．

　　　　所以③式成立．

　　　　因此，存在，使得对任意均成立．

 

　　　35、（天津文）在数列中，，，．

　　　（Ⅰ）证明数列是等比数列；

　　　（Ⅱ）求数列的前项和；

　　　（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．

　　　本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．

　　　（Ⅰ）证明：由题设，得

，．

　　　　　又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．

　　　（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为

．

　　　所以数列的前项和．

　　（Ⅲ）证明：对任意的，



．

　　　所以不等式，对任意皆成立．

 

　　36、（四川文）已知函数f（x）=x²－4，设曲线y＝f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1,u）（u,N ⁺），其中为正实数.

　　（Ⅰ）用x_x表示x_n+1；

　　（Ⅱ）若a₁=4，记a_n=lg，证明数列｛a₁｝成等比数列，并求数列｛x_n｝的通项公式；

　　（Ⅲ）若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是数列｛b_n｝的前n项和，证明T_n<3.

　　解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．

　　　（Ⅰ）由题可得．

　　　所以曲线在点处的切线方程是：．

　　　即．

　　　令，得．

　　　即．

　　　显然，∴．

　　（Ⅱ）由，知，同理．

　　　故．

　　　从而，即．所以，数列成等比数列．

　　　故．

　　　即．

　　　从而

　　　所以

　　（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

　　　　　　∴

　　　　　　∴

　　　　　当时，显然．

　　　　　当时，

　　　　　∴





．

　　　　综上，．

 

　　37、（上海理）若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。

　　（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项

　　（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？

　　（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和

　　解：（1）设的公差为，则，解得 ，

  　　  数列为．     

   　　 （2）

          　　　    ，  

       　　   ，

       　　  当时，取得最大值．  

    　　 的最大值为626．     

   　　  （3）所有可能的“对称数列”是：

  　　    ① ；

   　　   ② ；

　　      ③ ；

  　　    ④ ．              

   　　   对于①，当时，．    

     　　 当时，

   　　　   ．     

   　　　   对于②，当时，．

  　　    当时，．

  　　    对于③，当时，．

   　　   当时，．

   　　   对于④，当时，．

  　　    当时，．

 

　　38、（上海文）如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．

例如，数列与数列都是“对称数列”．

　　（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；

    　（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；

    　（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．

　　解：（1）设数列的公差为，则，解得 ，

   　　 数列为．   

    　　（2）

   　　　        67108861． 

  　　  （3）．

   　　  由题意得 是首项为，公差为的等差数列．

 　　    当时，

  　　                  ． 

   　　  当时，

                            

                         

                          ．

   　　  综上所述，