高中数学竞赛讲义（九） ──不等式

高中数学竞赛讲义（九）

──不等式

一、基础知识

不等式的基本性质：

（1）a>ba-b>0；      （2）a>b, b>ca>c；

（3）a>ba+c>b+c；  （4）a>b, c>0ac>bc；

（5）a>b, c<0ac<bc;   （6）a>b>0, c>d>0ac>bd;

（7）a>b>0, n∈N₊aⁿ>bⁿ;   （8）a>b>0, n∈N₊;

（9）a>0, |x|<a-a<x<a, |x|>ax>a或x<-a;

（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;

（11）a, b∈R，则(a-b)²≥0a²+b²≥2ab;

（12）x, y, z∈R⁺，则x+y≥2, x+y+z

前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。

（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x³+b³+c³-3abc =(a+b)³+c³-3a²b-3ab²-3abc =(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²] ≥0，所以a³+b³+c³≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z时成立。

二、方法与例题

1．不等式证明的基本方法。

（1）比较法，在证明A>B或A<B时利用A-B与0比较大小，或把（A，B>0）与1比较大小，最后得出结论。

例1  设a, b, c∈R⁺，试证：对任意实数x, y, z, 有x²+y²+z²

【证明】  左边-右边= x²+y²+z²

所以左边≥右边，不等式成立。

例2  若a<x<1，比较大小：|log_a(1-x)|与|log_a(1+x)|.

【解】  因为1-x1，所以log_a(1-x)0, =|log_(1-x)(1+x)|=-log_(1-x)(1+x)=log_(1-x)>log_(1-x)(1-x)=1（因为0<1-x²<1，所以>1-x>0, 0<1-x<1）.

所以|log_a(1+x)|>|log_a(1-x)|.

（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。

例3  已知a, b, c∈R⁺，求证：a+b+c-3≥a+b

【证明】  要证a+b+c≥a+b只需证，

因为，所以原不等式成立。

例4  已知实数a, b, c满足0<a≤b≤c≤，求证：

【证明】  因为0<a≤b≤c≤，由二次函数性质可证a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)，

所以，

所以，

所以只需证明，

也就是证，

只需证b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)²≥0，显然成立。所以命题成立。

（3）数学归纳法。

例5  对任意正整数n(≥3)，求证：nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ.

【证明】  1）当n=3时，因为3⁴=81>64=4³，所以命题成立。

2）设n=k时有k^k+1>(k+1)^k，当n=k+1时，只需证(k+1)^k+2>(k+2)^k+1，即>1. 因为，所以只需证，即证(k+1)^2k+2>[k(k+2)]^k+1，只需证(k+1)²>k(k+2)，即证k²+2k+1>k²+2k. 显然成立。

所以由数学归纳法，命题成立。

（4）反证法。

例6  设实数a₀, a₁,…,a_n满足a₀=a_n=0，且a₀-2a₁+a₂≥0, a₁-2a₂+a₃≥0,…, a_n-2-2a_n-1+a_n≥0，求证a_k≤0(k=1, 2,…, n-1).

【证明】  假设a_k(k=1, 2,…,n-1) 中至少有一个正数，不妨设a_r是a₁, a₂,…, a_n-1中第一个出现的正数，则a₁≤0, a₂≤0,…, a_r-1≤0, a_r>0. 于是a_r-a_r-1>0，依题设a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1(k=1, 2, …, n-1)。

所以从k=r起有a_n-a_k-1≥a_n-1-a_n-2 ≥…≥a_r-a_r-1>0.

因为a_n≥a_k-1≥…≥a_r+1≥a_r >0与a_n=0矛盾。故命题获证。

（5）分类讨论法。

例7  已知x, y, z∈R⁺，求证：

【证明】  不妨设x≥y, x≥z.

ⅰ）x≥y≥z，则，x²≥y²≥z²，由排序原理可得

，原不等式成立。

ⅱ）x≥z≥y，则，x²≥z²≥y²，由排序原理可得

，原不等式成立。

 

（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C₁, C₁≥C₂,…,C_n-1≥C_n, C_n>B(n∈N₊).

例8  求证：

【证明】 

，得证。

例9  已知a, b, c是△ABC的三条边长，m>0，求证：

【证明】 

（因为a+b>c），得证。

（7）引入参变量法。

例10  已知x, y∈R⁺, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=的最小值。

【解】  设，则，f(x,y)=

(a³+b³+3a²b+3ab²)=

，等号当且仅当时成立。所以f(x, y)_min=

例11  设x₁≥x₂≥x₃≥x₄≥2, x₂+x₃+x₄≥x₁，求证：(x₁+x₂+x₃+x₄)²≤4x₁x₂x₃x₄.

【证明】  设x₁=k(x₂+x₃+x₄)，依题设有≤k≤1, x₃x₄≥4，原不等式等价于(1+k)²(x₂+x₃+x₄)²≤4kx₂x₃x₄(x₂+x₃+x₄)，即

(x₂+x₃+x₄) ≤x₂x₃x₄，因为f(k)=k+在上递减，

所以(x₂+x₃+x₄)=(x₂+x₃+x₄)

≤·3x₂=4x₂≤x₂x₃x₄.

所以原不等式成立。

（8）局部不等式。

例12  已知x, y, z∈R⁺，且x²+y²+z²=1，求证：

【证明】  先证

因为x(1-x²)=,

所以

同理，

，

所以

例13  已知0≤a, b, c≤1，求证：≤2。

【证明】  先证  ①

即a+b+c≤2bc+2.

即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a.

因为0≤a, b, c≤1，所以①式成立。

同理

三个不等式相加即得原不等式成立。

（9）利用函数的思想。

例14  已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值。

【解】  当a, b, c中有一个为0，另两个为1时，f(a, b, c)=，以下证明f(a, b, c) ≥. 不妨设a≥b≥c，则0≤c≤, f(a, b, c)=

因为1=(a+b)c+ab≤+(a+b)c，

解关于a+b的不等式得a+b≥2(-c).

考虑函数g(t)=, g(t)在[）上单调递增。

又因为0≤c≤，所以3c²≤1. 所以c²+a≥4c². 所以2≥

所以f(a, b, c)=

≥

=

=

≥

下证0 ① c²+6c+9≥9c²+9≥0  因为，所以①式成立。

所以f(a, b, c) ≥，所以f(a, b, c)_min=

2．几个常用的不等式。

（1）柯西不等式：若a_i∈R, b_i∈R, i=1, 2, …, n，则

等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1, 2, , n, a_i=λb_i,

变式1：若a_i∈R, b_i∈R, i=1, 2, …, n，则

等号成立条件为a_i=λb_i,(i=1, 2, …, n)。

变式2：设a_i, b_i同号且不为0(i=1, 2, …, n)，则

等号成立当且仅当b₁=b₂=…=b_n.

（2）平均值不等式：设a₁, a₂,…,a_n∈R₊，记H_n=, G_n=, A_n=，则H_n≤G_n≤A_n≤Q_n. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。

其中等号成立的条件均为a₁=a₂=…=a_n.

【证明】  由柯西不等式得A_n≤Q_n，再由G_n≤A_n可得H_n≤G_n，以下仅证G_n≤A_n.

1）当n=2时，显然成立；

2）设n=k时有G_k≤A_k，当n=k+1时，记=G_k+1.

因为a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+(k-1)G_k+1≥

≥2kG_k+1,

所以a₁+a₂+…+a_k+1≥(k+1)G_k+1，即A_k+1≥G_k+1.

所以由数学归纳法，结论成立。

（3）排序不等式：若两组实数a₁≤a₂≤…≤a_n且b₁≤b₂≤…≤b_n，则对于b₁, b₂, …, b_n的任意排列，有a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_nb₁≤≤a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n.

【证明】  引理：记A₀=0，A_k=，则 =（阿贝尔求和法）。

证法一：因为b₁≤b₂≤…≤b_n，所以≥b₁+b₂+…+b_k.

记s_k=-( b₁+b₂+…+b_k)，则s_k≥0(k=1, 2, …, n)。

所以-(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)= +s_na_n≤0.

最后一个不等式的理由是a_j-a_j+1≤0(j=1, 2, …, n-1, s_n=0),

所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。

证法二：（调整法）考察，若，则存在。

若(j≤n-1)，则将与互换。

因为

≥0，

所 调整后，和是不减的，接下来若，则继续同样的调整。至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。

例15  已知a₁, a₂,…,a_n∈R⁺，求证；a₁+a₂+…+a_n.

【证明】证法一：因为，…， ≥2a_n.

上述不等式相加即得≥a₁+a₂+…+a_n.

证法二：由柯西不等式(a₁+a₂+…+a_n)≥(a₁+a₂+…+a_n)²，

因为a₁+a₂+…+a_n >0，所以≥a₁+a₂+…+a_n.

证法三： 设a₁, a₂,…,a_n从小到大排列为，则，，由排序原理可得

 

=a₁+a₂+…+a_n≥，得证。

注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。

 

三、基础训练题

1．已知0<x<1，a, b∈R⁺，则的最小值是____________.

2．已知x∈R⁺，则的最小值是____________.

3．已知a, b, c∈R，且a²+b²+c²=1, ab+bc+ca的最大值为M，最小值为N，则MN=___________.

4．若不等式对所有实数x成立，则a的取值范围是____________.

5．若不等式x+a的解是x>m，则m的最小值是____________.

6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2<x<6}”的____________条件.

7．若a, b∈R⁺，则a+b=1，以下结论成立是__________.① a⁴+b⁴≥；②≤a³+b³<1；③；④；⑤；⑥

8．已知0<<，若，则=____________.

9．已知，p=(x₁-)²+(x₂-)²+…+(x_n-)², q=(x₁-a)²+(x₂-a)²+…+(x_n-a)², 若，则比较大小：p___________q.

10．已知a>0, b>0且ab, m=a^ab^b, n=a^bb^a, 则比较大小：m_________n.

11．已知n∈N₊，求证：

12．已知0<a<1，x²+y=0，求证：log_a(a^x+a^y) ≤log_a2+.

13．已知x∈R，，求证：

四、高考水平训练题

1．已知A=asin²x+bcos²x, B=acos²x+bsin²x(a, b, x∈R)，设m=AB, n=ab, P=A²+B², q=a²+b²，则下列结论成立的有]__________.（1）m≥n, p≥q;（2）m≤n, p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p.

2．已知a, b, c, d∈R，M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比较大小：M________N.

3．若R⁺，且，，将从小到大排列为________.

4．已知△ABC的三边长a, b, c满足b+c≤2a, a+c≤2b，则的取值范围是________.

5．若实数x, y满足|x|+|y|≤1，则z=x²-xy+y²的最大值与最小值的和为________.

6．设函数f(x)=(x∈[-4,2])，则f(x)的值域是________.

7．对x₁>x₂>0, 1>a>0，记，比较大小：x₁x₂________y₁y₂.

8．已知函数的值域是，则实数a的值为________.

9．设a≤b<c是直角△ABC 的三边长，若不等式恒成立，则M最大值为________.

10．实系数方程x²+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是________.

11．已知a, b, c∈R⁺且满足 a+b+c≥abc，求证：下列三个式子中至少有两个成立：

12．已知a, b∈R⁺且，求证：对一切n∈N₊，(a+b)ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹.

13．已知a, b, c ∈R⁺，求证：

14．设x, y, z是3个不全为零的实数，求的最大值。

五、联赛一试水平训练题

1．已知a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c∈R，a₁c₁-=a₂c₂>0, P=(a₁-a₂)(c₁-c₂), Q=(b₁-b₂)²，比较大小：P_______Q.

2．已知x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=__________.

3．二次函数f(x)=x²+ax+b，记M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}，则M的最小值为__________.

4．设实数a, b, c, d满足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d，比较大小：

4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).

5．已知x_i∈R⁺, i=1, 2, …,n且，则x₁x₂…x_n的最小值为__________（这里n>1）.

6．已知x, y∈R, f(x, y)=x²+6y²-2xy-14x-6y+72的最小值为__________.

7．已知0≤a_k≤1(k=1, 2, …,2n)，记a_2n+1=a₁, a_2n+2=a₂，则的最大值为__________.

8．已知0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1，则的最大值为__________.

9．已知≤x≤5，求证：

10．对于不全相等的正整数a, b, c，求证：

11．已知a_i>0(i=1, 2, …, n)，且=1。又0<λ₁≤λ₂≤…≤λ_n，求证：≤

 

六、联赛二试水平训练题

1．设正实数x, y, z满足x+y+z=1，求证：

2．设整数x₁, x₂, …,x_n与y₁, y₂, …, y_n满足1<x₁<x₂<…<x_n<y₁<y₂<…<y_m, x₁+x₂+…+x_n>y₁+y₂+…+y_m，求证：x₁x₂x_n>y₁y₂…y_m.

3．设f(x)=x²+a，记f(x), fⁿ(x)=f(f^n-1(x))(n=2, 3, …)，M={a∈R|对所有正整数n, |fⁿ(0)| ≤2}，求证：。

4．给定正数λ和正整数n(n≥2)，求最小的正数M（λ），使得对于所有非负数x₁, x₂,…,x_n ，有M(λ)

5．已知x, y, z∈R⁺，求证：(xy+yz+zx)

6．已知非负实数a, b, c满足a+b+c=1，求证：2≤(1-a²)²+(1-b²)²+(1-c²)²≤(1+a)(1+b)(1+c)，并求出等号成立的条件。