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2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

 28楼的憨豆 2013-12-09

2004TRULY?信利杯全国初中数学竞赛试题

参考答案和评分标准

 

一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30. 以下每道小题均给出了代号为ABCD的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)

1. 已知实数 ,且满足 . 的值为(    .

A23        B           C            D

:选(B

 ab是关于x的方程

的两个根,整理此方程,得

.

ab均为负数. 因此

.

2. 若直角三角形的两条直角边长为 ,斜边长为 ,斜边上的高为 ,则有         .

A     B       C     D

:选(C

 

 

因此,结论(A)、(D)显然不正确.

设斜边为c,则有 ,即有

因此,结论(B)也不正确.

化简整理后,得

因此结论(C)是正确的.

3.一条抛物线 的顶点为(4 ),且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负,则abc中为正数的(    .                                             

A)只有      B)只有       C)只有     D)只有

:选(A

由顶点为(4 ),抛物线交x轴于两点,知a>0.

设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为 ,即为方程

的两个根.

由题设 ,知 ,所以 .

根据对称轴x=4,即有 ,知b<0.

故知结论(A)是正确的.

4.如图所示,在△ABC中,DEABFG,且FGDEAB的距离之比为1:2. 若△ABC的面积为32,△CDE的面积为2,则△CFG的面积S等于                                  .

A6              B8             

C10             D12

(第4题图)

:选(B

DEABFG知,△CDE∽△CAB,△CDE∽△CFG,所以

又由题设知 ,所以

于是

.

因此,结论(B)是正确的.

5.如果xy是非零实数,使得

那么x+y等于(      .        

A3        B             C         D

:选(D

代入 ,得 .

1)当x>0时, ,方程 无实根;

2)当x<0时, ,得方程

解得 ,正根舍去,从而 .

于是 .

.

因此,结论(D)是在正确的.

二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)

6 如图所示,在△ABC中,AB=ACAD=AE ,则      (度).

°

解: ,由AB=AC

(第6题图)

AD=AE知,

所以 .

7.据有关资料统计,两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数mn(单位:万人)以及两城市间的距离d(单位:km)有 的关系(k为常数) . 现测得ABC三个城市的人口及它们之间的距离如图所示,且已知AB两个城市间每天的电话通话次数为t,那么BC两个城市间每天的电话通话次数为              次(用t表示).

答:

:据题意,有

.

(第7题图)

因此,BC两个城市间每天的电话通话次数为

.

8.已知实数abxy满足 ,则        .

答:

:由 ,得

.

因而, .

9 如图所示,在梯形ABCD中,ADBC (BC>AD) BC=CD=12, ,若AE=10,则CE的长为        .

46

(第9题图)

解:延长DAM,使BMBE. BBGAMG为垂足.易知四边形BCDG为正方形, 所以BC=BG.

RtBECRtBMG.

BM=BE

∴△ABE≌△ABMAM=AE=10.

CE=x,则AG= AD= DE= .

RtADE中,

解之,得 .

CE的长为46.

10.实数xyz满足x+y+z=5xy+yz+zx=3,则z的最大值是           .

答:

解:

xy是关于t的一元二次方程

的两实根.

.

时, .

z的最大值为 .

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)

11.通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中). 时,图象是抛物线的一部分,当 时,图象是线段.

1)当 时,求注意力指标数y与时间x的函数关系式;

2)一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排,使学生在听这道题时,注意力的指标数都不低于36.

解:1)当 时,设抛物线的函数关系式为 ,由于它的图象经过点(020),(539),(1048),所以

 

(第11A)题图)

解得, .

所以

.  …………………(5分)

2)当 时, .

所以,当 时,令y=36,得

解得x=4 (舍去);

时,令 y=36,得 ,解得

.           ……………………(10分)

因为 ,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标数不低于36时,讲授完这道竞赛题.               ……………………(15分)

12.已知ab是实数,关于xy的方程组

有整数解 ,求ab满足的关系式.

:将 代入 ,消去ab,得

                                  ………………………(5分)

.

x+1=0,即 ,则上式左边为0,右边为 不可能. 所以x+10,于是

.

因为xy都是整数,所以 ,即 0,进而y=8 0.

                               ………………………(10分)

时,代入 得,

时,代入 得, .

综上所述,ab满足关系式是 ,或者 a是任意实数.

………………………(15分)

13D是△ABC的边AB上的一点,使得AB=3ADP是△ABC外接圆上一点,使得 ,求 的值.

解:连结AP,则

所以,△APB∽△ADP  …………………………(5分)

所以

       …………………………(10分)

(第13A)题图)

所以 .   …………………………(15分)

14.已知 ,且 ,求 的最小值.

(第14A)题图)

:令 ,由 ,判别式 ,所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线,且与x轴有两个不同的交点 ,因为 ,不妨设 ,则 ,对称轴 ,于是

            ………………(5分)

所以        …………………(10分)

b=0c=1时,等号成立.

所以, 的最小值为4.                   ………………………(15分)

 

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