八年级数学竞赛讲座 第八讲 二次根式的化简求值

第八讲   二次根式的化简求值

    用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式．

有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形．

例题求解

【例l】已知 ，那么 的值等于        ．

    (2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)

   思路点拨  通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 的代数式表示．

【例2】 满足等式 的正整数对(x，y)的个数是(    )

    A．1    B．2    C． 3    D． 4

    (2003年全国初中数学联赛题)

    思路点拨  对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解．

【例3】已知a、b是实数，且 ，问a、b之间有怎样的关系?请推导．

    (第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编)

    思路点拨  由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．

【例4】 已知：  (0<a<1)，求代数式 的值．

    (2002年四川省中考题)

    思路点拨  视 为整体，把 平方，移项用含a代数式表示 ，注意0<a1的制约．

  【例5】  (1)设a、b、c、d为正实数，a<b，c<d，bc>ad，有一个三角形的三边长分别为 ， ， ，求此三角形的面积；

    (第12届“五羊杯”竞赛题)

   （2）已知a，b均为正数，且a+b=2，求U= 的最小值．

    (2003年北京市竞赛题)

    思路点拨  (1)显然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)， 的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；(2)用代数的方法求U的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U的最小值．

学历训练

1．已知 ， ，那么代数式 值为      ．

2．若 (0<a<1)，则 =      ．

3．已知 ，则 的值．

    (2001年武汉市中考题)

4．已知a是 的小数部分，那么代数式 的值为      ．

      (2003年黄石市中考题)

5．若 ，则 的值是(    )

    A．2    B．4    C．6      D．8    (2003年河南省竞赛题)

6．已知实数a满足 ，那么 的值是(    )

  A．1999    B．2000    C ．2001    D．2002

7．设 ，  , ，则a、b、c之间的大小关系是(    )

  A．a<b<c    B．c<b<a    C． c<a<b    D．a<c<b

8．设 ，则 的值为(    )

  A．    B．   C．    D ．不能确定

9．若a>0，b>0， 且 ，求 的值．

10．已知 ，化简 ．

11．已知 ，那么 =      ．

    (2003年“信利杯”全国初中数学竞赛题)

12．已知 ，则 =      ．

13．已知 的最小值为=      ．（“希望杯”邀请赛试题）

 

 

 

14．已知 ，则 =      ．

 (第17届江苏省竞赛题)

15．1+a2如果 ， ， ，那么a³b³－c³的值为(    )

A．2002      B．2001    C．1    D．0

    (2003年武汉市选拔赛试题)

16．已知 ， ， ，那么a、b、c的大小关系是(    )

    A．a<b<c    B．b<a<c    C．c<b<a   c<a<b

  (2002年全国初中数学联赛题)

17．当 时，代数式 的值是(    )

    A． 0    B．一1    C． 1    D．－ 2²⁰⁰³    (2002年绍兴市竞赛题)

18．设a、b、c为有理数，且等式 成立，则2a+999b+1001c的值是(    )

A．1999     B． 2000    C． 2001    D．不能确定

    (2001年全国初中数学联赛试题)

19．某船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近?

20．已知实数 a、b满足条件 ，化简代数式 ，将结果表示成不含b的形式．

21．已知 (a>0)，化简： ．

22．已知自然数x、y、z满足等式 ，求x+y+z的值． (加拿大“奥林匹克”竞赛题)