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第十讲 列方程解应用题 数学是一门具有广泛应用性的科学，我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”． 数学应用题的类型很多，比较简单的是方程应用题，又以一元一次方程应用题最为基础，方程应用题种类繁多，以行程问题最为有趣而又多变． 行程问题的三要素是：距离(s)、速度(v)、时间(t)，行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等． 熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧． 例题 【例1】 某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若A、C两地的距离为10千米，则A、B两地的距离为 千米． (重庆市竞赛题) 思路点拨 等量关系明显，关键是考虑C地所处的位置． 注： 列方程的方法为解应用题提供—般的解题步骤和规范的计算方法，使问题“化难为易”，充分显示了字母代数的优越性，它是算术方法解应用题在字母代数础上的发展． 【例2】 如图，某人沿着边长为 A．AB边上 B．DA边上 C．BC边上 D．CD边上 (安徽省竞赛题) 思路点拨 本例是一个特殊的环形的追及问题，注意甲实际在乙的前面3×90=270(米)处． 【例3】 父亲和儿子在 (重庆市竞赛题) 思路点拨 把问题转化为追及问题，即比较父亲追上儿子时，儿子跑的路程与50的大小，为了理顺步长、路程的关系，需增设未知数，这是解题的关键． 【例4】 钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分? (湖北省数学竞赛选拔赛试题) 思路点拨 先画钟表示意图，运用秒针分别与时针、分针所成的角相等建立等量关系，关键是要熟悉与钟表相关的知识． 注： 明确要求将数学开放性问题作为考试的试题，是近一二年的事情，开放题是相对于常规的封闭题而言，封闭题往往条件充分，结论确定，而开放题常常是条件不充分或结论不确定，思维多向． 解钟表上的行程问题，常用到以下知识： (1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每一小格对应6°； (2)分针走一周，时针走 【例5】 七年级93个同学在4位老师的带领下准备到离学校32千米处的某地进行社会调查，可是只有一辆能坐25人的汽车．为了让大家尽快地到达目的地，决定采用步行与乘车相结合的办法。如果你是这次行动的总指挥，你将怎样安排他们乘车，才能使全体师生花最短的时间到达目的地?最短的时间是多少?(师生步行的速度是 思路点拨 人和车同时出发，由车往返接运，如能做到人车同时到达目的地，则时间最短，而实现同时到达目的地的关键在于平等地享用交通工具，这样，各组乘车的路程一样，步行的路程也就一样． 学力训练 1．甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度为每小时17.5千米，乙的速度为每小时15千米，则经过 小时，甲、乙两人相距32.5千米． 2．某人以 3．汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员揿一声喇叭，4秒后听到回响，已知声音的速度是每秒 (江苏省竞赛题) 4．现在是4点5分，再过 分钟，分针和时针第一次重合． 5．甲、乙两人同时从A地到B地，如果乙的速度v保持不变，而甲先用2v的速度到达中点，再用 A．甲、乙两人同时到达B地 B．甲先到B地 C．乙先到B地 D．无法确定谁先到 6．甲与乙比赛登楼，他俩从36层的长江大厦底层出发，当甲到达6楼时，乙刚到达5楼，按此速度，当甲到达顶层时，乙可到达( )． A．31层 B．30层 C．29层 D．28层 7．小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在12：00时看到的里程表上的数吗? 8．如图，是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为两相应点间的距离(单位：千米)．一学生从A处出发，以 (1)当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长． (2)若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由．(不考虑其他因素)． (江西省中考题) 9．某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时骑摩托车的速度应该是多少? (湖北省孝感市竞赛题) 10．．甲、乙两列客车的长分别为 (“希望杯”邀请赛试题) 11．甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的汽车为第二辆汽车，每小时行40千米，当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了 千米和 千米． (武汉市选拔赛试题) 12．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人都急于上楼办事，因此列车的错车问题有别于两人之间的相遇或追及问题(为什么?)解题的关键是将原问题转化为直线上的两人相遇或追及问题．在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍(单位时间内乙登楼级数是甲的2倍)，他登了60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为 ． (北京市竞赛题) 13．博文中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走 A．2075 B． (“五羊杯”邀请赛试题) 14．上午九点钟的时候，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是( )． A．9时30分 B．10时5分 C．10时5 ( “希望杯”邀请赛试题) 15．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/小时，骑车人速度为10.8千米/小时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米? (河北省竞赛题) 16．2001年亚洲铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行．比赛程序是：运动员先同时下水游泳1.5千米到第一换项点，在第一换项点整理服装后，接着骑自行车40千米到第二换项点，再跑步10千米到终点．下表是2001年亚洲铁人三项赛女子组(19岁以下)三名运动员在比赛中的成绩(游泳成绩即游泳所用时间，其他类推，表内时间单位为秒)．
(1)填空(精确到0.01) 第191号运动员骑自行车的平均速度是 米／秒； 第194号运动员骑自行车的平均速度是 米／秒； 第195号运动员骑自行车的平均速度是 米／秒； (2)如果运动员骑自行车都是匀速的，那么在骑自行车的途中，191号运动员会追上195号或194号吗?如果会，那么追上时离第一换项点有多少米(精确到0．01)?如果不会，为什么? （3）如果运动员长跑也是匀速的，那么在长跑中途中这三名运动员有可能某人追上摸某人吗？为什么？ 17．某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车．第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆．问：第一辆出租汽车开出后，经过最少多少时间，车站不能正点发车? (重庆市竞赛题) 18．今有12名旅客要赶往40千米远的汉口新火车站去乘火车，离开车时间只有3小时，他们步行的速度为每小时 参考答案 |
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