、条件极值、拉格朗日乘数法 1. 转化为无条件极值 在讨论多元函数极值问题时,如果遇到除了在定义域中寻求驻点(可能的极值点)外,对自变量再无别的限制条件,我们称这类问题为函数的无条件极值。如求 的极值,就是无条件极值问题。 然而在实际中,我们也会遇到另一类问题。 比如,讨论表面积为 的长方体的最大体积问题。若设长方体的三度为 , 则体积 ,同时应满足 于是我们的问题的数学含义就是:当自变量 满足条件 下取何值时能使函数 取得最大值。(这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值)。 一般抽象出来,可表为如下形式: 函数的条件极值问题。 对自变量有附加条件的极值称为条件极值。 一般称 为目标函数, 为约束条件 ( 或约束方程 ) 。 对于有些实际问题 , 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。 例如上述问题 , 由条件 , 解得 , 于是得 V . 只需求 V 的无条件极值问题。 例 6 求函数 在约束条件
下的条件极值。
而 ,此例说明条件极值可有如下一种解法:
通过讨论无条件极值可得问题的解答。但在很多实际问题中,往往不容易从约束条件中解出一个自变量,从而上述方法就失效了。因此,对条件极值我们应讨论一般解法。 2. 关于条件极值的 拉格朗日乘数法 在很多情形下 , 将条件极值化为无条件极值并不容易。 需要另一种求条件极值的专用方法 , 这就是拉格朗日乘数法。 拉格朗日乘数法: 要找函数 z = f ( x , y ) 在条件 j ( x , y ) = 0 下的可能极值点 , 可以先构成辅助函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) + lj ( x , y ) , 其中 l 为某一常数。 然后解方程组 . 由这方程组解出 x , y 及 l , 则其中 ( x , y ) 就是所要求的可能的极值点。
一般称 F ( x , y ) = f ( x , y
) + lj ( x , y ) 为拉格朗日函数,待定常数λ称为拉格朗日乘数
( 3 )解此方程组的解,可得可能的极值点 例 7 将正数 12 分成三个正数 之和 使得 为最大 . 令 , 则
解得唯一驻点 , 故最大值为
这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。 至于如何确定所求的点是否是极值点 , 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。 例 8 求表面积为 a 2 而体积为最大的长方体的体积 . 解 设长方体的三棱的长为 x , y , z , 则问题就是在条件 2( xy + yz + xz ) = a 2 下 求函数 V = xyz 的最大值。 构成辅助函数 F ( x , y , z ) = xyz + l (2 xy + 2 yz + 2 xz - a 2 ) , 解方程组 , 得 , 这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知最大值一定存在 , 所以最大值就在这个可能的值点处取得。 此时 . 思考题:若 及 在 点均取得极值,则 在点 是否也取得极值? 五、小结 1 、 多元函数的极值 2 、(取得极值的必要条件、充分条件) 3 、多元函数的最值 4 、拉格朗日乘数法 六、作业 P 471 1 、 2 、 3 、 6 |
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