清明幻境 / 教育|学习 / 多元函数的条件极值和拉格朗日乘数法

   

多元函数的条件极值和拉格朗日乘数法

2013-12-10  清明幻境

、条件极值、拉格朗日乘数法

1. 转化为无条件极值

在讨论多元函数极值问题时,如果遇到除了在定义域中寻求驻点(可能的极值点)外,对自变量再无别的限制条件,我们称这类问题为函数的无条件极值。如求 的极值,就是无条件极值问题。

然而在实际中,我们也会遇到另一类问题。 比如,讨论表面积为 的长方体的最大体积问题。若设长方体的三度为 , 则体积 ,同时应满足 于是我们的问题的数学含义就是:当自变量 满足条件 下取何值时能使函数 取得最大值。(这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值)。

一般抽象出来,可表为如下形式:
即函数 在条件 下的取极大(小)值问题。今后,我们称这种问题为

函数的条件极值问题。 对自变量有附加条件的极值称为条件极值。 一般称 为目标函数, 为约束条件 ( 或约束方程 ) 。

对于有些实际问题 , 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。

例如上述问题 , 由条件 , 解得 , 于是得 V .

只需求 V 的无条件极值问题。

例 6 求函数 在约束条件 下的条件极值。
解 由约束条件 可解出 代入目标函数,有:
   得驻点
   由于当 时, ,当 时,
   时取极大值,
   又当 时,由约束条件可解出

   而 ,此例说明条件极值可有如下一种解法: 
如果能从约束方程中解出一个自变量,代入目标函数后,就可转化为无条件极值。

通过讨论无条件极值可得问题的解答。但在很多实际问题中,往往不容易从约束条件中解出一个自变量,从而上述方法就失效了。因此,对条件极值我们应讨论一般解法。

2. 关于条件极值的 拉格朗日乘数法

在很多情形下 , 将条件极值化为无条件极值并不容易。 需要另一种求条件极值的专用方法 , 这就是拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法: 要找函数 z = f ( x , y ) 在条件 j ( x , y ) = 0 下的可能极值点 , 可以先构成辅助函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) + lj ( x , y ) , 其中 l 为某一常数。

然后解方程组 .

由这方程组解出 x , y l , 则其中 ( x , y ) 就是所要求的可能的极值点。

一般称 F ( x , y ) = f ( x , y ) + lj ( x , y ) 为拉格朗日函数,待定常数λ称为拉格朗日乘数
归纳上述讨论过程,可得拉格朗日乘数法如下:
欲求函数 满足约束条件 的极值,一般步骤为:
( 1 )构造拉格朗日函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) + lj ( x , y ) ;
( 2 )建立偏导数方程组

( 3 )解此方程组的解,可得可能的极值点

例 7 将正数 12 分成三个正数 之和 使得 为最大 .

, 则

解得唯一驻点

故最大值为

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。

至于如何确定所求的点是否是极值点 , 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

例 8 求表面积为 a 2 而体积为最大的长方体的体积 .

解 设长方体的三棱的长为 x , y , z , 则问题就是在条件 2( xy + yz + xz ) = a 2 下

求函数 V = xyz 的最大值。

构成辅助函数 F ( x , y , z ) = xyz + l (2 xy + 2 yz + 2 xz - a 2 ) ,

解方程组 ,

, 这是唯一可能的极值点。

因为由问题本身可知最大值一定存在 , 所以最大值就在这个可能的值点处取得。

此时 .

思考题:若 点均取得极值,则 在点 是否也取得极值?

五、小结

1 、 多元函数的极值

2 、(取得极值的必要条件、充分条件)

3 、多元函数的最值

4 、拉格朗日乘数法

六、作业

P 471 1 、 2 、 3 、 6

    本站是提供个人知识管理的网络存储空间,所有内容均由用户发布,不代表本站观点。如发现有害或侵权内容,请点击这里 或 拨打24小时举报电话:4000070609 与我们联系。

    0条评论

    发表

    请遵守用户 评论公约

    类似文章
    喜欢该文的人也喜欢 更多

    ×
    ×

    ¥.00

    微信或支付宝扫码支付:

    《个图VIP服务协议》

    全部>>