|
|
| 盈不足術與《孫子算經》之“百鹿入城題”及如方程等雜題 |
|
|
|
|
-1-
盈不足術與《孫子算經》之“百鹿入城
題”及如方程等雜題
TheProblemsofDoubleFalsePositionin“Sūn
ZǐMathematicalBook”andMiscellaneous
Problems
上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112
何世強HoSaiKeung
Abstract:ThereareanumberofproblemsconcerningDoubleFalsePositionin
“SūnZǐMathematicalBook”.Thisarticleshowsallthecalculations
onrelatedproblems.
提要：本文指出《孫子算經》中之盈不足術及其他數學題。
關鍵詞：《孫子算經》、蕩杯、盈不足術、維乘、百鹿入城、互乘法、實、法。
第1節盈不足術公式與相關問題
《孫子算經》之成書時代，今不可考。因《張丘建算經》序中有“《夏侯陽》
之方倉，《孫子》之蕩杯，此等之術，皆未得其妙。”數語，故可知《孫子算經》
之成書年代比《張丘建算經》早。據說現傳《孫子算經》最佳之版本應為南宋本
﹝公元1213年後﹞。一般常見之版本應為“孔繼涵刻，戴靂校”之《算經十書》
本。
筆者在〈《九章算術》之盈不足術及二鼠穿垣題、駑良相逢題〉一文中已提
及“盈不足術”，本文再作補充，因《孫子算經》亦有相關題目。
以下先簡介“盈不足術”之公式。
-2-
今設人數為x，物價為y，若果每人出錢a1﹝稱為所出率﹞，則盈b1；若每
人出錢a2，則不足b2。此乃典型之“盈不足”題目。依題意可列出二元一
次方程式一組：
a1x=y+b1--------------------------(1)
a2x=y–b2--------------------------(2)
先解x，(1)–(2)得：
a1x–a2x=b1+b2
x(a1–a2)=b1+b2
x=??
21
21aabb???=
21
21aabb??。
為解y，(1)×a2及(2)×a2可分別得：
a1a2x=ya2+b1a2------------------(3)
a1a2x=ya1–b2a1------------------(4)
(4)–(3)得：
0=ya1–ya2–(b2a1+b1a2)
y(a1–a2)=b2a1+b1a2
y=
21
1221aababa??。
又y與x之比為xy=
21
1221aababa??÷
21
21aabb??=
21
1221bbbaba??。
xy=
21
1221bbbaba??亦為“盈不足”術之重要公式。很多人對此式感到莫名其
妙，認為求出x與y已足夠，再求xy之值實無此必要。其實不然，某些題目的確
須要求xy之值，見下文之“百鹿入城”題。本文其實亦以探索xy=
21
1221bbbaba??
式之用法為主題。
注意b2為負數，若b2為正數，則正負號須作修正。
以下為《孫子算經》中與“盈不足”術有關之題目：
今有三人共車，二車空；二人共車，九人步。問人與車各幾何？
答曰：一十五車。三十九人。
-3-
術曰：置二車，以三乘之，得六。加步者九人，得車一十五。欲知人者，以
二乘車，加九人，即得。
解：
若3人共乘一車，則餘2車無人；若2人共一車，則有9人無車可乘。設人
數為y，車數為x，依題意可列成以下之二元一次方程式：
3(x–2)=y------------(1)
2x=y–9--------------(2)
代(1)入(2)得：
2x=3(x–2)–9
2x=3x–6–9
6+9=3x–2x--------(3)
15=x。
代x=15入(2)得
2×15=y–9
y=2×15+9----(4)
=39。
《孫子算經》所提出車數之算法乃上述之第(3)步驟。
而人數之算法為第(4)步驟。
亦可代入“盈不足”術公式而算出x與y。
3x=y+6--------------(1)
2x=y–9--------------(2)
若a1=3，a2=2，b1=6，b2=9，則：
x=
21
21aabb??=2396??=15。
y=
21
1221aababa??=236293????=27+12=39。
答案與上合。
卷下:今有木，不知長短。引繩度之，餘繩四尺五寸。屈繩量之，不足一尺。
問木長幾何？
答曰：六尺五寸。
-4-
術曰：置餘繩四尺五寸，加不足一尺，共五尺五寸。倍之，得一丈一尺。減
餘四尺五寸，即得。
解：
“屈繩”指將繩重疊一次，其長為原長之半。設木長為x尺，繩長為y尺，
依題意可得以下兩方程式：
x=y–4.5---------(1)
x=2y+1--------(2)
因(1)與(2)右方相等，得：
y–4.5=2y+1
y–2y=4.5+1---------(3)
2y=5.5
y=11。
將y=11代入(1)得x=11–4.5=6.5。即繩長6.5尺。
本題之術即以以上之解法為基礎。“置餘繩四尺五寸，加不足一尺，共五尺
五寸。”即以上之(3)式。“倍之，得一丈一尺。”為(3)式以下之兩步
驟。“減餘四尺五寸，即得。”乃(1)式。
亦可依公式算出。為配合“盈不足”術之公式，將(2)變形為(4)，又將(1)
寫在(4)之下：
2x=y+2----------(4)
x=y–4.5---------(1)
與盈不足方程式公式比較，可知a1=2，a2=1，b1=2，b2=4.5，又依盈不
足方程式公式解得：
於是x=
21
21aabb??=125.42??=6.5。
答：繩長6.5尺。
卷中:今有人盜庫絹，不知所失幾何。但聞草中分絹，人得六匹，盈六匹；
人得七匹，不足七匹。問人、絹各幾何？
答曰：賊一十三人。絹八十四匹。
-5-
術曰：先置人得六匹於右上，盈六匹於右下；後置人得七匹於左上，不足七
匹於左下。維乘之，所得，并之，為絹。并下盈、不足，為人。
解：
“庫絹”倉庫中之絹。草，荒野之地也，諸盜分贓之處也。設x為人數，被
盜之絹為y匹，依題意可列盈不足方程式如下：
7x=y+7
6x=y–6
上式減下式即得x=13。因y=6x+6，將x=13代入，故y=6×13+6=84。
又依《孫子算經》列成維乘式
6767
。
與盈不足方程式公式比較，可知a1=7，a2=6，b1=7，b2=6，又依盈不足
方程式公式解得：
x=
21
21aabb??=6767??=13。
y=
21
1221aababa??=677667????=42+42=84。
《孫子算經》之術說得簡單“并下盈、不足，為人”，其意指將盈與不足之
數相加即為人數，此說唯在分母為1之情況下正確。引文“下”字疑衍。
至於“維乘之”指7×6與6×7，“所得，并之，為絹”指7×6+6×7=
84，此即為絹之匹數。此說亦唯在分母為1之情況下正確。
答：賊13人。絹84匹。
今有百鹿入城，家取一鹿，不盡；又三家共一鹿，適盡。問城中家幾何？
答曰：七十五家。
術曰：以盈不足取之。假令七十二家，鹿不盡四。令之九十家，鹿不足二十。
置七十二於右上，盈四於右下。置九十於左上，不足二十於左下。為
維乘之凹，所得，并為實。并盈不足為法。除之，即得。
解：
每家得鹿一頭，仍有餘鹿，每三家再分得一頭鹿，則全部分完。設城中共x
家。依題意可得方程式：
x+3x=100
-6-
34x=100
x=100×43
x=75。
答：共75家。
《孫子算經》所提出之算法為雙設法，設有72﹝所設之數必為3之倍數﹞
家，則共得鹿96頭，餘4頭；若有90家，則共得鹿120頭，不足20頭；
可以以盈不足術解之，先列維乘表如下：
21
21bbaa=4207290
交叉相乘後相加，可得90×4+72×20=360+1440=1800；
盈與不足之數相加可得4+20=24；
相除得1800÷24=75。答案與上述相同。
注意所用之公式為xy=
21
1221bbbaba??，見上文。
以下為其他所設之數目，仍可得相同之答案：
(1)又若設有69家，則共得鹿92頭，餘8頭；若有93家，則共得鹿124
頭，不足24頭；依盈不足術交叉相乘後相加，可得：
93×8+69×24=744+1656=2400；
盈與不足之數相加可得8+24=32；
相除得2400÷32=75。
(2)又若設有69家，則共得鹿92頭，餘8頭；若有72家，則共得鹿96
頭，餘4頭；依盈不足術交叉相乘後相減，可得：
72×8–69×4=576–276=300；
盈與盈之數相減可得8–4=4；
相除得300÷4=75。
(3)又若設有93家，則共得鹿124頭，不足24頭；若有90家，則共得
鹿120頭，不足20頭；依盈不足術交叉相乘後相減，可得：
90×24–93×20=2160–1860=300；
-7-
不足與不足之數相減可得24–20=4；
相除得300÷4=75。
注意以上所用之公式為盈不足術之xy=
21
1221bbbaba??。亦須注意在兩盈與兩
不足之情況下分子與分母之減法。
另一衍生之問題為：為何此式合用？為說此式合用，先看以下筆者所擬
之問題：
今有若干鹿入城，城中有若干家。若城有七十二家，家取一鹿，不盡；又若
干家家共一鹿，鹿不盡四。又若城有九十家，取鹿之法如上，鹿不足二十。
問鹿數幾何？家取鹿數幾何？城中家幾何？
答曰：鹿數一百。家取一鹿少半鹿。城中有七十五家。
解：
今設鹿數為y，家取x鹿，依題意可列出以下之二元一次方程式：
90x=y+20
72x=y–4
列出維乘式如下：
21
21bbaa=4207290
依“盈不足”術公式解x，得：
x=
21
21aabb??=7290420??=1824=34=131。
又依“盈不足”術公式解y，得：
y=
21
1221aababa??=72902072490????=181440360?=181800=100。
而xy=100÷131=100×43=75。此數即為城中之實際家數，亦可以以
公式直接算出xy，見前。因此xy=
21
1221bbbaba??之公式有須要存在。
-8-
第2節蕩桮與雜題
卷下:今有婦人河上蕩桮。津吏問曰：“桮何以多？”婦人曰：“家有客。”
津吏曰：“客幾何？”婦人曰：“二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用桮
六十五。不知客幾何？”
答曰：六十人。
術曰：置六十五桮，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得。
本題為《孫子算經》之著名題。
桮，同杯或作盃。《大戴禮記?曾子事父母》：“執觴觚杯豆而不醉。”注：
“杯，盤、盎、盆、盞之總名也。”故“杯”並非指狹義之酒杯，乃泛指盛
物之器皿。“蕩桮”，洗滌盛物器皿也。
解：
設人數為x，二人共飯則需桮數為2x，三人共羹則需桮數3x，四人共肉則需
桮數4x，依題意可後以下之方程式：
2x+3x+4x=65
因2、3與4之最小公倍數為12，故上式左方與右方均乘以12，得：
6x+4x+3x=780
13x=780
x=60。
《孫子算經》之解法即為以上之代數學解法。“置六十五桮，以一十二乘
之”，即乘以2、3與4之最小公倍數，得七百八十。“以十三除之”，13
為三分數通分母後分子之和。
《張丘建算經》之方法為：
列置共杯人數於右方，又置共杯數于左方。以人數互乘杯數，并以為法。
令人數相乘，以乘杯數，為實。實如法得一。
41
31
21
c
b
a，1帶下標表示不同之1。人數互乘杯數得以下三數：
-9-
1a×3×4=12；2×1b×4=8；2×3×1c=6。并之得12+8+6=26，為除
數。人數相乘得2×3×4=24，再乘桮數65得1560，為被除數，兩數相除
得：
1560÷26=60。故有客60人。本題宜注意者乃“互乘法”。
所謂“互乘法”其實為不同分母之分數經通分母後所得之分子。
其計算之理由如下：
二人共飯則共用一桮，一人則用21桮；
三人共羹則共用一桮，一人則用31桮；
四人共肉則共用一桮，一人則用41桮。
故一人吃飯吃羹吃肉需(21+31+41)桮=2426桮。
今用桮總數為65，故人數為65÷2426=65×2624=60。
答案與前相同。
卷下:今有器中米，不知其數。前人取半，中人三分取一，後人四分取一，
餘米一斗五升。問本米幾何？
答曰：六斗。
術曰：置餘米一斗五升，以六乘之，得九斗。以二除之，得四斗五升。以四
乘之，得一斛八斗。以三除之，即得。
解：
一斗五升即十五升。設器皿中有米x升，第一人取21，第二人取餘下之31，
第三人取餘下之41，最後餘米十五升。故依題意可得如下之一元一次方程式：
x(1–21)(1–31)(1–41)=15
x×21×32×43=15--------(1)
-10-
x=4×15=60。
單位為升，60升即6斗。注意1斛10斗，1斗10升。
原文術曰：“置餘米一斗五升，以六乘之，得九斗。”見以下之(2)與(3)式。
“以二除之，得四斗五升。”即左方之2移至右方變除，見(4)。“以四乘
之，得一斛八斗。”見(5)。“以三除之，即得。”見(6)。注意(1)移項
得：
x×1×2×43=15×2×3------(2)
x×2×43=15×6=90---------(3)
x×43=90÷2=45--------------(4)
x×3=45×4=180---------------(5)
x=180÷3=60。-----------------(6)
《孫子算經》之解法即為以上之代數學解法，只要明白代數學解法，即明白
《孫子算經》之解法。
答：原器皿有米6斗。
卷中:今有五等諸侯，共分橘子六十顆。人別加三顆。問五人各得幾何？
答曰：公一十八顆。侯一十五顆。伯一十二顆。子九顆。男六顆。
術曰：先置人數，別加三顆於下，次六顆，次九顆，次一十二顆，上十五顆。
副并之，得四十五。以減六十顆，餘，人數除之，人得三顆。各加不
并者，上得一十八，為公分；次得一十五，為侯分；次得十二，為伯
分；次得九，為子分；下得六，為男分。
解：
周制有“五侯”之說，“五侯”指五等諸侯，即題中之公、侯、伯、子、男；
此乃一般之說法。漢亦有“五侯”之說，但非指公、侯、伯、子、男。
“五侯”亦泛指權貴豪門世族。唐?韓翃《寒食》詩：“日暮漢宮傳蠟燭，
輕煙散入五侯家。”
設男得x+3顆，子得x+6顆，伯得x+9顆，侯得x+12顆，公得x+15
顆，依題意可得以下之方程式：
(x+3)+(x+6)+(x+9)+(x+12)+(x+15)=60
5x+45=60
-11-
5x=15
x=3。
將3代入，故男得6顆，子得9顆，伯得12顆，侯得15顆，公得18顆。
設“男得x+3顆”乃配合原題之解法。
原題解法乃先求每人不論爵位所得之“基本顆數”，各爵位所得之額外顆數
和為3+6+9+12+15=45，以60減之得15，除以5得3，即每人各得基
本顆數為3，再依其爵位而加上應得之顆數即得答案。
若設男得y–6顆，子得y–3顆，伯得y顆，侯得y+3顆，公得y+6顆，
依題意可得以下之方程式：
(y–6)+(y–3)+y+(y+3)+(y+6)=60
5y=60
y=12。即為伯得之顆數，其餘可算出。此法更為快捷。
卷中:今有甲、乙、丙三人持錢。甲語乙、丙：“各將公等所持錢半以益我
錢，成九十。”乙復語甲、丙：“各將公等所持錢半以益我錢，成七十。”
丙復語甲、乙：“各將公等所持錢半以益我錢，成五十六。”問三人元持錢
各幾何？
答曰：甲七十二。乙三十二。丙四。
術曰：先置三人所語為位，以三乘之，各為積，甲得二百七十，乙得二百一
十，丙得一百六十八。各半之，甲得一百三十五，乙得一百五，丙得
八十四。又置甲九十、乙七十、丙五十六，各半之。以甲、乙減丙，
以甲、丙減乙，以乙、丙減甲，即各得元數。
解：
語，粵音遇，陽去聲，動詞，告訴也。設甲有x錢，乙有y錢，丙有z錢。
現依《孫子算經》之“術”解本題，依題意可得以下之三元一次方程式：
x+21y+21z=90-----------(1)
21x+y+21z=70------------(2)
21x+21y+z=56-----------(3)
-12-
以上各式乘以23﹝即上文所云“先置三人所語為位，以三乘之，各為積，甲
得二百七十，乙得二百一十，丙得一百六十八。各半之，甲得一百三十五，
乙得一百五，丙得八十四。”﹞得：
23x+43y+43z=135-----------(4)
43x+23y+43z=105-----------(5)
43x+43y+23z=84-----------(6)
又(1)、(2)、(3)式各乘以21﹝即上文所云“又置甲九十、乙七十、丙五十六，
各半之。”﹞得：
21x+41y+41z=45-----------(7)
41x+21y+41z=35-----------(8)
41x+41y+21z=28-----------(9)
(4)–(8)–(9)﹝即上文所云“以乙、丙減甲”﹞得：
(23x+43y+43z)–(41x+21y+41z)–(41x+41y+21z)=135–35–28
x=72。
(5)–(7)–(9)﹝即上文所云“以甲、丙減乙”﹞得：
(43x+23y+43z)–(21x+41y+41z)–(41x+41y+21z)=105–35–28
y=32。
(6)–(7)–(8)﹝即上文所云“以甲、乙減丙”﹞得：
(43x+43y+23z)–(21x+41y+41z)–(41x+21y+41z)=84–45–35
z=4。
注意原文之減數與被減數之位置。而《孫子算經》有提及分數之運算，其中
包括擴分、約分、加法與減法。
-13-
筆者在〈《九章算術》之矩陣運算法及二至五元一次聯立方程式〉一文中談
及古代之矩陣運算法，現將本題以古代矩陣運算如下﹝表上之編號乃作識別
用﹞：
(三)(二)(一)(三)(二)(一)算法
1/21/21上x3/23/23上x
表1各數乘以
3
1/211/2中y3/233/2中y
11/21/2下z33/23/2下z
567090實168210270實
表1表2
(三)(二)(一)(三)(二)(一)算法
3/43/43/2上x1/41/41/2上x
表1中各數除
以2
3/43/23/4中y1/41/21/4中y
3/23/43/4下z1/21/41/4下z
84105135實283545實
表2各數乘以1/2
表3表4
甲數：表3(一)減表4(二)與(三)=135–35–28=72﹝見表5﹞。
(三)(二)(一)
3/43/41上x
3/43/20中y
3/23/40下z
8410572實
表5
乙數：表3(二)減表4(一)與(三)=105–45–28=32﹝見表6﹞。
(三)(二)(一)
3/403/2上x
3/413/4中y
3/203/4下z
8432135實
表6
-14-
丙數：表3(三)減表4(一)與(二)=84–45–35=4﹝見表7﹞。
(三)(二)(一)
03/43/2上x
03/23/4中y
13/43/4下z
4105135實
表7
《孫子算經》之算法不易看出，較易看出之算法為(1)–2×(2)及(1)–2×(3)，
即消去x而餘下兩未知數y與z：
–23y–21z=–50------(10)
–21y–23z=–22-------(11)
(10)–3×(11)?4z=16
z=4。
代z=4入(11)得–21y–6=–22
–21y=–16
y=32。
代z及y之值入(1)得x+16+2=90
x=72。
答：甲持72錢。乙持32錢。丙持4錢。
卷下:今有甲、乙二人，持錢各不知數。甲得乙中半，可滿四十八。乙得甲
太半，亦滿四十八。問甲、乙二人元持錢各幾何？
答曰：甲持錢三十六。乙持錢二十四。
術曰：如方程求之。置二甲、一乙、錢九十六，於右方。置二甲、三乙、錢
一百四十四，於左方。以右方二乘左方，上得四，中得六，下得二百
八十八錢。以右行再減左行，左上空，中餘四乙，為法；下餘九十六
錢，為實。上法，下實，得二十四錢，為乙錢。以減右下九十六，餘
七十二，為實；以右上二甲為法。上法、下實，得三十六，為甲錢也。
-15-
解：
“中半”即21，“太半”即32。設甲持x錢，乙持y錢，依題意可得以下之
二元一次方程式：
x+21y=48----------(1)
32x+y=48----------(2)
2×(1)?2x+y=96-----------(3)
3×(2)?2x+3y=144--------(4)
(4)–(3)?2y=48
y=24。
代y=24入(1)得x+12=48
x=36。
為配合《孫子算經》之算法，今作如下之運算：
2×(4)?4x+6y=288--------(5)
(5)–2×(3)?4y=96
y=24。
代y=24入(3)得2x+24=96
2x=72
x=36。
以上步驟其實欠簡潔，因為不必進行(5)之步驟。
《孫子算經》之“如方程”可列成如下數表。
22甲42甲
31乙61乙
14496實28896實
(a)(b)
-16-
“如方程求之。置二甲、一乙、錢九十六，於右方。置二甲、三乙、錢一百
四十四，於左方。”即方程式(3)與(4)，因略去方程式(1)與(2)，故難
以令人明白。見圖(a)。
“以右方二乘左方，上得四，中得六，下得二百八十八錢。”見圖(b)。
02甲02甲
41乙11乙
9696實2496實
(c)(d)
“以右行再減左行，左上空，中餘四乙，為法；下餘九十六錢，為實。”即
(b)之左行減去2乘以右行，見圖(c)。
“上法，下實，得二十四錢，為乙錢。”即左行除以4，此即為乙所持之錢
數，見圖(d)。
02甲01甲
10乙10乙
2472實2436實
(e)(f)
“以減右下九十六，餘七十二，為實；以右上二甲為法。”即(d)之右行減
去左行，見圖(e)。
“上法、下實，得三十六，為甲錢也。”(e)右行除以2，見圖(f)。
以上之解法與現代之代數學解法相同。唯(b)圖之左行實不必乘以2，乘以
2後則欠簡潔。
故《孫子算經》之算法基本上與現代代數學解法相同，若明白現代之代數解
法，《孫子算經》之算法亦不難了解。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
