函数的对称问题
函数的自对称问题
函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称f(a+x)=f(a-x)；
特别，函数y=f(x)的图象关于y轴对称f(x)=f(-x).
函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称f(a+x)+f(a-x)=2b；
特别，函数y=f(x)的图象关于原点对称f(-x)=-f(x).
主要题型：
1.求对称轴(中心)：除了三角函数y=sinx，y=cosx的对称轴（中心）可以由下列结论直接写出来(对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x轴的交点)外，其它函数的对称轴(中心)就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.
例1确定函数的图象的对称中心.
解析1设函数的图象的对称中心为（h，k），在图象上任意取一点P（x，y），它关于（h，k）的对称点为Q（2h-x，2k-y），Q点也在图象上，即有
，由于，两式相加得
，化简得
（）.
由于P点的任意性，即（）式对任意x都成立，从而必有x的系数和常数项都为0，即h=1，k=1.
所以函数的图象的对称中心为（1,1）.
解析2设函数，则g(x)为奇函数，其对称中心为原点，由于，说明函数f(x)的图象是由g(x)的图象分别向右、向上平移1个单位得到，而原点向右、向上分别平移1个单位得到点(1,1).
所以函数的图象的对称中心为（1,1）.
例2曲线f(x)=ax3+bx2+cx，当x=1-时，f(x)有极小值；当x=1+时，f(x)有极大值，且在x=1处切线的斜率为.
(1)求f(x)；
(2)曲线上是否存在一点P，使得y=f(x)的图象关于点P中心对称？若存在，求出点P的坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由.
解析(1)=3ax2+2bx+c，由题意知1-与1+是=3ax2+2bx+c=0的根，代入解得b=-3a，c=-6a.
又f(x)在x=1处切线的斜率为，所以，即3a+2b+c=，解得
.所以f(x).
(2)假设存在P(x0，y0)，使得f(x)的图象关于点P中心对称，则f(x0+x)+f(x0-x)=2y0，
即，
化简得.由于是对任意实数x都成立，所以
，而P在曲线y=f(x)上.
所以曲线上存在点P，使得y=f(x)的图象关于点P中心对称.
2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论(函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称f(a+x)+f(a-x)=2b)来解决.
例3求证函数的图象关于点P（1,3）成中心对称.
证明1在函数的图象上任意取一点A（x，y），它关于点P（1,3）的对称点为B（2-x，6-y），因为
，
所以点B在函数的图象上，故函数的图象关于点P（1,3）对称.
证明2因为.
由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移1个单位，向上平移3个单位，就得到函数的图象，所以的图象关于点P（1,3）对称.
所以的图象关于点P（1,3）对称.
已知函数的对称性求函数的值或参数的值:
由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解.例4已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点对称，且满足则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)的值为（）.
A．-2B.-1C.0D.1
解析由f(x)的图象关于点对称，则说明函数是奇函数，也就是有，即，又，所以，即，函数f(x)是偶函数.
所以，又，即f(x)以3为周期，f(2)=f(-1)=1，f(3)=f(0)=-2，
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)=668（f(1)+f(2)+f(3)）+f(2005)=f(2005)=f(1)=1，选D.
例5已知函数f(x)=的图象关于点中心对称，求f(x).
解析1设f(x)图象上任意一点A（x，y），它关于点的对称点为B，由于A、B都在f(x)上，所以，相加整理得，解得a=1.
所以f(x)=.
解析2由上面的公式有，代入化简整理得a=1.
解析3由题意知将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度，向下平移个单位长度得y=的图象，它关于原点对称，即是奇函数，=，即y=，它是奇函数必须常数项为0，即a=1.
函数的互对称问题
y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=a对称f(a+x)=g(a-x)；
y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=b对称f(x)+g(x)=2b；
y=f(x)与y=g(x)的图象关于点(a，b)对称f(a+x)+g(a-x)=2b.
y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称f(x)和g(x)互为反函数.
记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题.主要题型：
1.判断两个函数图象的对称关系
例6在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=2x+1与g(x)=21-x的图象关于().
A．直线ｘ＝1对称B.ｘ轴对称
C.ｙ轴对称D.直线ｙ＝ｘ对称
解析作为一个选择题，可以取特殊点验证法，在f(x)上取点(1,4)，g(x)上点(-1,4)，而这两个点关于y轴对称，所以选择C.
当然也可利用上面的结论解决，因为f(-x)=2-x+1=g(x)，所以f(x)、g(x)的图象关于y轴对称，选C.
2．证明两个函数图象的对称性：一般利用对称的定义，先证明前一个函数图象上任意一点关于直线(点)的对称点在后一个函数的图象上，再证明后一个函数图象上任意一点关于直线(点)的对称点也在前一个函数的图象上，这两个步骤不能少.当然也可利用上面的结论来解决.
例7已知函数f(x)=x3-x，将y=f(x)的图象沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位，得到函数y=g(x)的图象.求证：f(x)和g(x)的图象关于点A（）对称.
解析由已知得g(x)=(x-t)3-(x-t)+s.
在y=f(x)的图象上任取一点(x1,y1)，设(x2,y2)是关于点A的对称点，则有∴x1=t-x2,y1=s-y2.
代入，得x2和y2满足方程：s-y2=(t-x2)3-(t-x2)，即y2=(x2-t)3-(x2-t)+s，可知点(x2,y2)在上反过来，同样可以证明，在上的点关于点A的对称点在上因此，）对称.
3．由两个函数图象的对称性求参数值：首先必须根据对称性由已知函数求出另一函数的解析式，然后再由已知条件确定参数的值.
例8已知f(x)是定义在上的偶函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，且当时，g(x)=2a(x-2)-3(x-2)3，其中为常数，若f(x)的最大值为12，求a的值.
解析由于g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(1+x)=g(1-x)，即f(x)=g(2-x).
当时，，所以f(x)=g(2-x)=2a(2-x-2)-3(2-x-2)3=-2ax+3x3，
因为f(x)是偶函数，所以当时，，f(x)=f(-x)=2ax-3x3.
因为当时，=-2a+9x2≤-2a+9<0，所以f(x)在上是减函数，从而f(x)在上是增函数，所以f(x)的最大值为f(1)=f(-1)=2a-3=12，即.
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