爱数学爱北京欢迎访问htp:/blog.sina.com.cn/aishuxueaibeijing
各科精品资料下载趣味数学-1-精彩博文名校真题精编讲义
[八年级下学期数学提高系列之四]
【励志故事】
找问题
上初中时，老师给我们讲了一个故事：有三只猎狗追一只土拨鼠，土拨鼠钻进了一个树洞．这只树洞只有一个出口，可不一会儿，从树洞里钻出一只兔子．兔子飞快地向前跑，并
爬上一棵大树．兔子在树上，仓皇中没站稳，掉了下来，砸晕了正仰头看的三只猎狗，最后，兔子终于逃脱了．
故事讲完后，老师问：“这个故事有什么问题吗？”我们说：“兔子不会爬树．”，“一只
兔子不可能同时砸晕三只猎狗．”“还有哪？”老师继续问．直到我们再找不出问题了，老师才说：“可是还有一个问题，你们都没有提到，土拨鼠哪里去了？”
在追求人生目标的过程中，我们有时也会被途中的细枝末节和一些毫无意义的琐事分散精力，扰乱视线，以至中途停顿下来，或是走上岔路，而放弃了自己原先追求的目标．
不要忘了时刻提醒自己，土拨鼠哪去了？自己心目中的目标哪去了？
爱数学爱北京欢迎访问htp:/blog.sina.com.cn/aishuxueaibeijing
各科精品资料下载趣味数学-2-精彩博文名校真题精编讲义
八年级下学期数学提高训练（四）
［知识要点］
1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质：（1）平行四边形两组对边分别平行且相等；（2）平行四边形对角相等，邻角互补；
（3）平行四边形对角线互相平分.判定：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2.三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半．3.矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：（1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质；
（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等.
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形.
4.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
性质：（1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质；（2）菱形的四条边都相等；
爱数学爱北京欢迎访问htp:/blog.sina.com.cn/aishuxueaibeijing
各科精品资料下载趣味数学-3-精彩博文名校真题精编讲义
（3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角；（4）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相垂直，那么
这个四边形的面积等于对角线乘积的一半.）判定：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）对角线垂直的平行四边形是菱形.
5.正方形定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质.判定：（1）定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
（2）矩形+有一组邻边相等；（3）矩形+对角线互相垂直；（4）菱形+有一个角是直角；（5）菱形+对角线相等.
6.梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形常用的辅助线作法：（1）过一顶点作一腰的平行线，分解成一个平行四边形和一个三角形；
（2）过一顶点作一条对角线的平行线，构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形；（3）过一腰中点作另一腰的平行线，构造出平行四边形和一对全等的三角形；
（4）过一底边的端点作另一底边的垂线,构造出一个矩形和两个直角三角形，
特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等；（5）延长梯形的两腰使其交于一点,构成两个形状相同的三角形；
爱数学爱北京欢迎访问htp:/blog.sina.com.cn/aishuxueaibeijing
各科精品资料下载趣味数学-4-精彩博文名校真题精编讲义
（6）连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交，构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换．
特殊的梯形：（1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
性质：①等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等；②等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．
判定：①定义：一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形；
②同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
［例题分析］
例1．已知：如图，在中，E、F分别是AB、DC上两点，且．
求证：且．证明：四边形ABCD是平行四边形
，又
，即，四边形DEBF是平行四边形
且
例2．已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．
求证：∠AHF=∠BGF证明：连接AC，取AC中点M，连接EM、FM
∵E、M分别为CD、AC中点
爱数学爱北京欢迎访问htp:/blog.sina.com.cn/aishuxueaibeijing
各科精品资料下载趣味数学-5-精彩博文名校真题精编讲义
∴EM∥AD且
同理FM∥BC且∴EM=FM∴∠1=∠2
∵EM∥AD∴∠2=∠H∵FM∥BC∴∠1=∠BGF
∴∠H=∠BGF
例3．已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连接DE，若F是DE的中点，试确定线段AF与CF的位置关系．
解：如图，连接BF．∵BE=BD，DF=FE，
．∵四边形ABCD是矩形，
，．
在中，∵DF=FE，，，，
≌，，，
∴AF⊥CF．
例4．证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．
求证：梯形ABCD是等腰梯形．证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，
又AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC．
爱数学爱北京欢迎访问htp:/blog.sina.com.cn/aishuxueaibeijing
各科精品资料下载趣味数学-6-精彩博文名校真题精编讲义
∵AC=BD，∴DE=BD∴∠1=∠E∵∠2=∠E，∴∠1=∠2
又AC=DB，BC=CB，∴ΔABC≌ΔDCB．∴AB=CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．
例5．如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE、△BCE均为等边三角形，P、
Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA边上中点．求证：四边形PQMN为菱形．
证明：易知，四边形ABCD的中点四边形PQMN为平行四边形．
∵△ADE、△BCE均为等边三角形，∴，，．
∴．∴≌．∴AC=DB．∴MN=MQ∴四边形PQMN为菱形．
［同步练习］
一、选择题
1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）
A.1B.C.D.22.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）
A.对角线相等B.对角线互相平分
爱数学爱北京欢迎访问htp:/blog.sina.com.cn/aishuxueaibeijing
各科精品资料下载趣味数学-7-精彩博文名校真题精编讲义
C.对角线互相垂直D.对角线平分对角3.四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定这个四边形是正方形的题设是（）
A.AB＝CD，AB∥CD，AC＝BDB.AB＝CD，BC＝ADC.OA＝OB＝OC＝OD，AB＝BCD.AC＝BD，AC⊥BD
4.已知一个四边形ABCD的边长分别为、、、，其中、为对边，且满足条件，则该四边形ABCD的对角线（）
A.相等B.相互平分C.相互垂直D.垂直且相等5.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（）
A.菱形B.对角线相互垂直的四边形C.正方形D.对角线相等的四边形6.以下图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）
A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形7.梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4cm，BC＝6cm，若梯形中位线MN交对角线AC、
BD于点P、Q，则PQ的长度为（）A.1cmB.2cmC.3cmD.5cm
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=a，DC=b，DC边的垂直平分线EF交BC边于E，且E为BC边的中点，
又DE∥AB．则梯形ABCD的周长等于（）A.2a+3bB.3a+2bC.4a+bD.5a+b
9.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）
A.B.C.D.3
二、填空题10.若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则
这个平行四边形的一个最小内角是___度．1.平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB
的周长大2cm，则CD＝_____cm．12.若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个夹角为60°，则该矩形的面积为__cm2．
13.若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为1∶2，则该菱形的面积为_____cm2．
爱数学爱北京欢迎访问htp:/blog.sina.com.cn/aishuxueaibeijing
各科精品资料下载趣味数学-8-精彩博文名校真题精编讲义
14.若菱形的两对角线之比为3∶4，对角线之差为2cm，则该菱形的周长为_____cm．15.梯形ABCD中，AD∥BC，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶7∶3，则∠D＝_____度．
16.一个等腰梯形的腰长和中位线长都是4cm，一下底角为60°，则该梯形上底长为_____cm，面积为_____cm2．
17.若梯形的两底长分别为4cm和9cm，两条对角线长分别为5cm和12cm，则该梯形的面积为___cm2．
18.如果等腰梯形两底之差等于一腰长，那么这个等腰梯形的锐角是___．19.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两
张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_____．20.若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交
正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为_______．三、解答题
21.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
2.如图所示，D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD的中点分别是M、N，直线MN分别
交AB、AC于P、Q．求证：AP=AQ．
爱数学爱北京欢迎访问htp:/blog.sina.com.cn/aishuxueaibeijing
各科精品资料下载趣味数学-9-精彩博文名校真题精编讲义
23.已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC和∠ADC=o90，E、F分别是对角线AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．
24.如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，DE⊥BC于E，
试求DE的长．
25.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠A=60°，BC=4，
求CD的长．
爱数学爱北京欢迎访问htp:/blog.sina.com.cn/aishuxueaibeijing
各科精品资料下载趣味数学-10-精彩博文名校真题精编讲义
26.有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图上），并给予合理的解释．
图（1）图（2）
27.如图，过正方形ABCD的顶点作，且作，又．
求证：．
爱数学爱北京欢迎访问htp:/blog.sina.com.cn/aishuxueaibeijing
各科精品资料下载趣味数学-1-精彩博文名校真题精编讲义
28.阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列
形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕
AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．
请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成
一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．
请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）．
29.如图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全
重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”．
图①图②图③
爱数学爱北京欢迎访问htp:/blog.sina.com.cn/aishuxueaibeijing
各科精品资料下载趣味数学-12-精彩博文名校真题精编讲义
（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是__________；
（4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是_____．
30.已知：如图，△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）在BC边上确定点P的位置，使∠APC=∠C．画出图形，不写画法；
（2）在图中画出一条直线l，使得直线l分别与AB、BC边交于点M、N，并且沿直线l将△ABC剪开后可拼成一个等腰梯形．
请画出直线l及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法．说明：本题只需保留作图痕迹，无需尺规作图．
爱数学爱北京老师简介：
师大数学与应用数学(师范类)/北大经济学双学士毕业(可提供相关证明),北京、辽宁、陕
西电视台/东方财经/中央人民广播电台、香港鳳凰優悅廣播URadio、珠江广播电台、浙江之声等多家媒体嘉宾/评论员，从林毅夫(传奇经历)、海闻（简介）等名家的言传身教中受
益匪浅,酷爱数学/中国象棋/证券投资,有十年的初中数学教学经验,熟悉各种版本数学教材,对近年中考试题特点及命题趋势有一定的研究,有自己的一整套教学方法,能根据不同的学
生制定最符合实际的辅导方案，真正提高学生的考试成绩与学习能力。
|
|
