四色定理的充分必要条件
我们知道在平面内，至多存在四个两两相邻的区域但是这个命题并不是四色定题至多存在四个两两相邻的区域在有限个区域中着色是可以只用4种如果有限个区域之间区域不重复，证明拼成大区域时，这些有限个区域之间的边界区域不会着相同的颜色至多存在四个两两相邻的区域如果有限个区域之间区域不重复证明拼成大区域时，这些有限个区域之间的边界区域不会着相同的颜色首先，地图是由一一相互区域邻接的国家组成的时候。大家都能够证明一个国家最多与三个国家一一相互区域邻接，即两两区域邻接的国家不能超过四个，一一相互区域邻接的国家可以是三个，可以是四个，这样在地图全是由相互区域邻接的国家组成的时候，任何一个国家都是与周围的国家是一一相互区域邻接的国家，一个国家最多与三个国家同时接触，这样用四种颜色就可以描述出任何一个国家与与周围的国家的颜色，使之不相同。由于任何一个国家与它区域邻接国家的染色都是不同的时候，只需要四种颜色就可以描述出来，所以如果使地图上每两个邻接区域染的颜色都不一样每两个邻接区域染的颜色都不一样每两个邻接区域染的颜色都不一b,当与这个国家所有连接的国家没有组成闭合区域的时候，当n是1的时候，我们知道颜色只能是1。当n大于1是奇数的时候，需要的颜色是2（四个国家一一区域邻接的时候，不属于此种情形。这里说的是非一一相互区域邻接）；当n大于1是偶数的时候，需要的颜色也是2.此时颜色的个数与n的个数无关，与n是奇数还是偶数无关。因为，在所有接壤的国家中，一边的国家与另一边的国家是不接壤的，所以只要任何两个接壤的国家的颜色是不同的就可以，即只需两个颜色。这样，加上这个国家本身的颜色，就是三个。{这个国家本身的颜色不能与任何一个接壤的国家的颜色相同。}这样，此时一个国家与周围国家接壤的时候，最多用三种颜色。D,通过一个国家与周围国家接壤的时候，周围接壤的国家是否闭合两种情形，我们得出：一个国家与周围国家接壤的时候，最多用四种颜色，任何一个国家的邻接区域颜色都是不一样的。当任何一个国家与区域邻接的国家颜色不同的时候，此时任何两个邻接区域的染色都是不同的。这样由于任何一个国家与它两个邻接区域的染色都是不同的时候，最多需要的染色是4种{周围国家3种，这个国家1种，即4种}，只要四种染色就可以使任何两个邻接区域的颜色是不同的。
所以，在地图是由非一一相互区域邻接的国家组成的时候，只需要四种颜色就可以使每两个邻接区域的颜色都不一样。以上所需的简单数学公式为，任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y=f(X),
在a情形中，y=f(X)对应法则为，x=1,y=1;x大于1为奇数的时候，y=3;x大于1为偶数的时候，y=2.x限域是正整数。y最大值是3.在b情形中，y=f(X)对应法则为，x=1,y=1；x大于1为奇数的时候，y=2;x大于1为偶数的时候，y=2.x限域是正整数。y最大值是2.
四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4.
第三，地图由一一相互区域邻接的国家与非一一相互区域邻接的国家组成的时候，如何证明只需要四种颜色就可以使每两个邻接区域的颜色都不一样？
相互连接的时候，不论原来是一一相互区域邻接还是非一一相互区域邻接，进行连接的国家都已经组合成新的集体。在新的集体中，我们是否能够证明只需要四种颜色就可以描述所有的国家呢？是的。不论新的集体怎么组成，最后都会属于一一相互区域邻接的情况或者非一一相互区域邻接的情况。这样，新集体的任何一个国家都可以用三种颜色把周围的国家的颜色标出来使之颜色不同。在这个新集体中由于任何一个国家都可以用三种颜色把周围的国家的颜色标出来使之颜色不同，所以任何一个国家与周围的国家都可以用四种颜色使每两个区域相邻的颜色不同。因为任何一个国家与周围的国家都可以用四种颜色使区域相邻的颜色不同，所以整个地图用四种颜色就可以使每两个区域相邻的颜色不同。
小区域组合成大区域的问题，边界区域是否重合，不是一一相互区域邻接即至多存在四个两两相邻的区域两个邻接的区域颜色相同。两个邻接的区域颜色相同如果有限个区域之间区域不重复证明拼成大区域时，这些有限个区域之间的边界区域不会着相同的颜色拼成大区域至多存在四个两两相邻的区域不会着相同的颜色至多存在四个两两相邻的区域相对运动使用的是牛顿运动定律的类似定律》【5】《物理学中量的计算与相对论的关系》
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