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一、欧几里得公理体系 公理化方法渊源于几何学，而几何学起源于埃及。 埃及的尼罗河，帮助人们积累了丰富的几何知识，但是并没有组成一门系统的科学。后来希腊和埃及通商，于是几何知识渐渐传入希腊，希腊的许多学者对这些知识进行了研究，特别是希腊数学家欧几里得搜集了当时已有的几何材料，按照逻辑的系统，编成了《几何原本》（Elements）一书。这本书内容丰富，结构严谨，对于几何学 的发展和几何学的教学都起了巨大的作用，它被人们赞誉为历史上的科学杰作。 欧几里得的《几何原本》，原说有15卷，经后人多方面考证，公认只有13卷，15世纪以后，印刷《几何原本》的版本甚多，现在一般推希别尔克（Heibrg）与蒙奈(Menge)于1883-1889年的版本为标准版本，下面就据此版本介绍欧氏几何公理系统。 《几何原本》13卷的内容主要是： 第一卷：给出定义、公设和公理，讨论有关三角形全等、边角关系、垂直线、平行线、平行四边形以及等积问题等定理及其证明。 第二卷：讨论线段的运算，包括黄金分割定理。 第三、四卷：讨论圆的性质和圆的内接、外切多边形。 第五、六卷：讨论比例理论和相似多边形的性质。 第七、八、九卷：纯粹是讨论算术的篇章，包括欧几里得辗转相除法。 第十卷：讨论不可公度量的分类和它们的几何运算，包括整数开平方的几何运算。 第十一、十二、第十三卷：讨论几何的内容。 从这个简单介绍可以看到，目前属于初等几何学的内容和方法，基本上都已包括在《几何原本》中了。它所以能在两千多年的时间中被长期公认为几何学的标准教科书，就在于它的相当严密的体系和丰富的内容。 （一）欧几里德公理系统 欧几里得的《几何原本》，是公理化方法的雏型。欧几里得从点、线、面等最基本的概念和最简单的关系的分析中，提炼出5条公设和9条公理。由此出发，运用演绎的方法，并借助于图形的直观，把当时所知的几何学知识，组成一个有机的整体。 具体地说，欧几里得在《几何原本》中采用了以下的结构形式。 首先，指明了几何学的研究对象，即点、线、面等。在第一卷开端给出了23个定义。 定义1点是没有部分的。 定义2线有长度而没有宽度。 定义3线的界限是点。 定义4直线是这样的线，它对于它的任何点来说，都是同样地放置着的。 定义5面只有长度和宽度。 定义6面的界限是线。 定义7平面是这样的面，它对于它的任何直线来说，都是 同样地放置着的。 接着，介绍关于角、平角、直角和垂线、钝角、锐角、圆、圆周和中心、直径、半圆、直线形、三角形、四边形、多边形、等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、正方形、菱形、梯形等15个定义，为节省篇幅，这里就不一一列出了。最后一条是关于平行线的定义。 定义23平行线是在同一平面上而且向两侧延长总不相交的直线。 其次，欧几里得把少数不加数学证明而直接采用的命题作为公设和公理。 《几何原本》中采用的公设有5条： 公设1从一点到另一点必可引直线。 公设2任一直线均可无限制地延长。 公设3以任一点为中心，任意长线段为半径可以作圆。 公设4所有直角都相等。 公设5若两直线与第三直线相交，其一侧的两个内角之和小于两直角时，则把这两条直线向该侧充分地延长后一定相交。 （说明 这是著名的第五公设，它与"直线外一点只能引一条直线与已知直线平行"是等价的，所以又有"平行公设"之称。） 《几何原本》中采用的公理有9条： 公理1各与同一个第三个量相等的量必相等。 公理2相等的量加上相等的量仍为相等的量。 公理3相等的量减去相等的量仍为相等的量。 公理4不等的量加上相等的量获不等的量。 公理5相等的量的两倍仍为相等的量。 公理6相等的量一半仍为相等的量。 公理7能互相重合的量一定是相等的量。 公理8整体大于部分。 公理9 过任意两点只能引一直线。 最后，欧几里得从上述公设和公理出发，运用演绎方法，把当时所知的几何学知识全部推导出来。《几何原来》中得出的各种几何命题，即通常所谓的定理，共有467条之多。 在历史上，公设和公理是有区别的。一般认为，公理是算术与几何所共有的，公设则仅为几何学所有；公理本身是十分自明的，公设也是不加证明而承认的，但没有公理那样自明。现代公 理论者对公设和公理已不加区分，概用公理一词来替代。 特别值得注意的是《几何原本》第一卷有48个命题叙述了三角形全等的条件、垂线、外角定理、三角形的边角不 等关系等，但是从命题27开始叙述平行理论，而从命题29起才用到第五公设。 命题27如果一直线和两条直线相交，所成的内错角相等，那么这两条直线平行。 命题28如果一直线和两条直线相交，所成的同位角相等，那么这两条直线平行。 命题29如果一条直线与两条平行直线相交，那么所成的内错角相等，同位角相等，同旁内角之和等于二直角。 非常有趣的是，对第五公设是否独立的研究导致了非欧几何的发现，由于第五公设在内容和陈述上的复杂和累赘，加之它在《原本》的前28个定理的证明中并未用到，引起古代学者们的 怀疑：第五公设是不是多余的，它能不能从其他公设、公理逻辑地推导出来？甚至认为，欧几里得之所以 把它当作公设，只是因为他未能给出这一命题的证明，以致学者们纷纷致力于证明第五公设。在欧几里得 以后的两千多年时间里，几乎难以发现一个没有试证过第五公设的大数学家。 所有这些证明，一般都利用了直觉性，都不加证明地承认了 某个与第五公设等价的命题，例如，在锐角一边上的垂直线和倾斜线永远相交；通过角内的每个点至少可以作 一条直线与其两边相交；平面上不相交的直线不能无限制地彼此远离；至少存在两个相似的三角形，等等。 直到1826年俄国几何学家罗巴切夫斯基（N.I.Lobachevsky，1792~1856）发现非欧几何--罗氏几何为止， 才肯定了第五公设与欧氏系统的其余公理是独立无关的。 应当指出，独立地发现罗氏几何的还有大数学家高斯（K.F.Gauss，德，1777~1855）和匈牙利青年大学生波约（J.Bolyai，1802~1860）。但是，高斯由于害怕学术界顽固守旧 势力的攻击而始终不敢公开发表自己的研究结果。 （二）从数学教育的角度看，欧几里得的逻辑结构是串联型而不是放射型的，《几何原本》的每一节都那么重要，一节学不好，继续前进的路就断了，更令人头痛的是它没有提供一套强有力的、通用 的解题方法。主要解题工具是三角形的全等和相似，而许多几何图形中不包含全等或相似三角形，因此往往 要作辅助线，从而几何被公认为难学的一门课程。 （三）欧几里得的逻辑结构与整个数学大系统匹配得不好：它既不以小学所学的几何知识为发展的基础， 又不以代数知识为工具，更没有为解析几何和高等数学的出现打下伏笔。 这些当然不能责怪欧几里得，因为当时还不知道实数、三角法、代数里的字母运算以及极端重要的0，解析法和向量一直到十七世纪和十九世纪才出现。惭愧的是我们后人往往习惯于介绍这些方法，把它们分段拼凑在一起，却不关心将这些方法融合在一起，怎样才能使广大中学生更容易地继承古人给我们创造的珍贵遗产，这正是《初等几何研究》所应承担的课题。 |
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