复变函数不满足中值定理

如果一个函数f(x)不仅在某点x0处可导，而且在x0点的某个邻域内的任一点都可导，则称函数f(x)在x0点解析。

如果函数f(x)在区域D内任一点解析，则称函数f(x)在区域D内解析。用X来表示Y的某种函数关系，称为该函数的解析式。

注意：

1、函数f(x)在区域D内解析与在区域D内可导是等价的。

2、函数f(x)在某一点处解析与在该点处可导是绝对不等价的。函数在某点解析意味着函数在该点及其某个邻域内处处可导；而函数在某点可导，在该点邻域内函数可能解析，也可能不解析。

 

 

 函数f(z)在D上解析，则D一定是开区间。

 一个复函数全纯当且仅当它满足柯西-黎曼方程。

在一对实值函数u(x,y)和v(x,y)上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：

，

柯西-黎曼方程是函数在一点可微的必要条件。

通常，u和v取为一个复函数的实部和虚部：f(x+ iy) = u(x,y) + iv(x,y)。假设u和v在开集C上连续可微。则f=u+iv是全纯的，当且仅当u和v的偏微分满足柯西-黎曼方程组。

 

 实函数满足中值定理，但复变函数不满足中值定理。

（Lagrange中值定理（微分中值定理）、罗尔定理、柯西中值定理、积分中值定理、泰勒公式、罗比达法则）

要推广到复变域中，首先f(z)的定义在凸开集上，其实部和虚部时一对实值函数u(x,y)和v(x,y)分别满足中值定理。