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2012年上海市中考数学试卷最后一题详解

今年中考后就不断有初中学生家长找我补课，原因是“今年考题超纲了”。下面我先把大家认为的超纲的最后一题用学生能想到的方法解了，再议。

今年中考最后一题，即第25题

如下图（图一）：扇形AOB，角AOB是90度，AO=BO=2，点C是弧AB上的一个动点，不与点A、B重合，OE垂直于AC，OD垂直于BC。 ①当BC等于1时，求OD的值。②在三角形ODE中是否有边不改变，若存在，请求出改边长，若不存在，请说明理由。③设BD为x，三角形ODE的面积为y，求函数解析式和定义域。

 答：1° 连OC（图一），∵OB＝OC（半径相等），OD⊥BC（已知）

       ∴OD是△OBC中线， BD＝1/2

（等腰三角形底边上的高即底边上的中线）

      用勾股定理：OD＝（BO²－BD²）^1/2＝√15/2 。

    2°连AB，则AB＝2√2，同上，E点是AC中点，

由中位线定理：EF＝AB/2＝√2 （定长），

所以在△ODE中，DE的长不变。

    3°这一问略有难度，即如何将面积Y与BD（＝X）建立关联。

    由图一知：∠BOD＝∠COD，∠COE＝∠AOE，

即 ∠BOD＋∠AOE＝∠COD＋∠COE＝ 45°。

作DH⊥OE，DH＝OD/（√2）＝√（4－X²），

过C作CG⊥DH，则∠DCG＝∠ODH＝45°，

得：EH＝CG＝X/（√2），可得OE长度。

有△ODE的面积：Y＝OE×DH/2  以下略。

感想：若有人看到这里，应该发现我用的全部是基本的概念。我以为——本题的计算量并不比第24题大。为什么网上有那么多的声音：说超纲了！根本点可能就在圆上。我在前文《关于20112年中考最后一题思考》中列举了两个变化，都比第25题难很多,学生在平时的练习中碰到过，可能的问题是一看到扇形,临场乱了阵脚，自是怨不得命题老师。

    当然，若用一点点圆的知识，可以解得更快。