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| 苏锡常镇四市2012届高三数学第二次模拟试卷 |
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苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（二）
2012.5
数学I（正题）
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在相应位置上。
1.设集合，，则.
2.若复数满足（为虚数单位），则.
3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的值为.
4.已知某人连续次投掷飞镖的环数分别是，，，，，则该组数据的方差.
5.如图，边长为的正方形内有一个半径为的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为.
6.已知张卡片（大小，形状都相同）上分别写有，，，，从中任取张，则这张卡片中最小号码是的概率为.
7.等比数列中，若，，则的值为.
8.已知钝角满足，则的值为.
9.已知函数则的值为.
10.已知点在所在平面内，若，则与的面积的比值为.
11.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：
（1）若，，，则；
（2）若，，，则；
（3）若，，，则；
（4）若，，，则.
上面命题中，所有真命题的序号为.
在平面直角坐标系中，已知点在曲线上，点在轴上的射影为.若点在直线的下方，当取得最小值时，点的坐标为.
已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为.设线段的中点为，若，则该椭圆离心率的取值范围为.
设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为.
二．解答题：本大题共六小题，共计90分。请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.如图，在四边形中，已知，，，，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的面积.
如图，在三棱锥中，平面分别与，，，交于点，，，，且平面，，
求证：（1）平面；
（2）；
（3）平面.
如图，已知矩形油画的长为，宽为.在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为，上下两边金箔的宽为，壁画的总面积为
用，，，表示；
若为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的，的值.
在平面直角坐标系中，已知圆，圆与圆相交，圆心为，且圆上的点与圆上的点之间的最大距离为
求圆的标准方程；
过定点作动直线与圆，圆都相交，且直线被圆，圆截得的弦长分别为，.若与的比值总等于同一常数，求点的坐标及的值.
已知为正实数，函数（为自然对数的底数）.
若，求的取值范围；
当时，解不等式；
求函数的单调区间.
已知数列的前三项分别为，，，且数列的前项和满足，其中，为任意正整数.
求数列的通项公式及前项和；
求满足的所有正整数，.
苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（二）
数学Ⅱ（附加题）
选做题
.选修：几何证明选讲
如图，自⊙外一点作⊙的切线和割线，点为切点，割线交⊙于，两点，点在上.作，垂足为点
求证：.
.选修：矩阵与变换
设，，若矩阵把直线变换为直线，求，的值.
.选修：坐标系与参数方程
求椭圆上的点到直线的距离的最小值.
.选修不等式选讲
已知非负实数，，满足，求的最大值.
如图，在长方体中，，，，是棱的中点，点在棱上，且（为实数）.
当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；
求证：直线不可能与直线垂直.
23.记，其中，为正实数，.给定正实数，满足.用数学归纳法证明：对于任意正整数，
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