午夜和正午太阳高度的判读

一寸大海 2014-01-24

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近年来，在地理高考和各种模考中经常出现午夜太阳高度和正午太阳高度的计算问题，如"立竿见影"测当地地理坐标、合理楼距的计算、太阳热水器的安装、室内采光、影子长度的计算等等。正午太阳高度角计算公式H=90°-|φ+δ|结合地方时换算已为大家所熟知，但是许多学生却对此公式应用的灵活性掌握不好，导致错误较多，究其原因，是缺少自己亲自动手进行推导所致。以下步骤可以引导大家进行简单的数学推理：
假设P点是北半球北纬φ度纬线上的一点，则当太阳直射点在北半球北纬δ度（0<δ≤23°26’）纬线上时（如图1）解直角三角形很容易得出H=90°-|φ-δ|；

而当太阳直射点在南半球南纬δ度（0<δ≤23°26’）纬线上时（如图2）

解直角三角形很容易得出H=90°-|φ＋δ|
当太阳直射点在赤道时（如图3）

解直角三角形很容易得出H=90°-φ
因此，正午太阳高度角计算常被老师总结为：H=90°-|纬度差|
①已知点与太阳直射点在赤道同侧时（即该点夏半年），纬差为已知点与直射点之差的绝对值：

H=90°-|φ-δ|
②已知点与太阳直射点在赤道两侧时（即该点冬半年），纬差为已知点与直射点之和的绝对值：

H=90°-|φ+δ|
③当太阳直射点在赤道上时（即春秋分日时），纬差为已知点的纬度：

H=90°-φ
通过上面的分析，应该有所理解。下来我们来回归主题：午夜太阳高度，即0点太阳高度了；正午太阳高度，即12点太阳高度，只有在极昼圈及其以内才会有午夜太阳高度。那么午夜太阳高度、正午太阳高度以及太阳直射点的纬度之间有什么样的关系呢？
首先，我们必须了解太阳高度这个概念，对于大多数学生而言，感觉很简单，其实只是死记硬背了一些知识，而并不懂相关的原理。太阳高度角是太阳光线与地平面的夹角，在日期一定的情况下，太阳直射点是固定的，所以太阳光方向不变（如上图所示），但是随着纬度的变化，不同纬度地平面并不相同，所以引起高度角的变化，这也就是课本上总结出的正午太阳高度随纬度的变化规律:从直射点向南北两侧递减。
那么是不是存在午夜太阳高度公式呢？答案是肯定的。经过一番思考之后，我认为如果将正午太阳高度看成是一地地方时12点时（上中天）的太阳高度，那么当一个地点在出现极昼的时间内，该地地方时零点时（下中天）太阳高度就为午夜太阳高度（如图4）。

计算公式推导如下：
假设北半球一点P在北纬φ度（66°34′≤φ≤900）,太阳直射点在北纬δ度（0°≤δ≤23°26′），此时P点出现极昼现象（如图5）

在上图中太阳光线是平行照射地球的，MR为P点的地平圈，PK为P点所在纬线的延长线，MO为赤道的延长线，N、S为两极点；H0 为P点午夜太阳高度角，即∠LPR。
在上图中由于太阳光线平行，PK与赤道面平行，所以∠LPK=δ，∠RPK=∠RMO，又因为在RT△OPM中∠RMO=900-φ，所以，H0＝∠LPR＝δ-（90°-φ）,即 H0＝δ+φ-90°。
对于该公式用地理术语来表达为：极昼地点午夜太阳高度为该点地理纬度与直射点纬度之和与90°的差

  验证：
①当H0=0°时（太阳视运动轨迹与地平圈相切），δ+φ=90° 即极昼地区最低纬线圈度数与太阳直射点纬度数互余。
②当φ=90°时，H0＝δ即在极点上看，太阳周日视运动圈与地平圈总是平行的，一天中太阳高度没有变化，总是等于太阳直射点的纬度，只是随时间变化在天空中的位置不同。
而以上两点是我们早通过其他途径证明了的正确结论。
  推论：
对于出现极昼的地点来说，正午太阳高度公式直接可以写成H=90°-φ+δ，那么与午夜太阳高度公式H0＝δ+φ-90°联立即可得出以下推论：
  ①H＋H0＝2δ即极昼地区某地一天中正午太阳高度与子夜太阳高度之和总是等于当日直射点纬度的2倍，还等于极点上太阳高度的2倍。假如H0=0°时，则有H＝2δ,即极昼地区最低的纬线圈的正午太阳高度等于太阳直射点纬度的2倍。
  ②H -H0＝180° -2φ即太阳视运动周日圈最高点与最低点之间的差别，或者说一天中太阳高度的变化幅度主要与纬度、日期有关。就地区而言，总的规律是由极昼地区最低的纬度向极点方向递减。
经过这样的推导，诸如以下题目的解决就易如反掌了：
  如下图所示：

从图中可以看出，70?N刚好出现极昼，则太阳直射点纬度应为20?N，70?N与晨昏线的切点为A点，A所在经线应是夜半球中央经线，地方时应为0时，与之相对应的D所在经线应是昼半球中央经线，地方时应为12时，此时A点的太阳高度角为0?（午夜太阳高度角），D点的太阳高度角为40?（正午太阳高度角）。80? N上B、C两点午夜太阳高度角为10?和正午太阳度角为30?，怎么利用70? N的太阳高度角求知极昼其他纬度的（午夜和正午）高度角呢？
地球是个球面，每个纬度的地平面都不相同，同一半球不同纬度上任意两点地平面的夹角＝两点纬度差，同一天太阳光线方向始终不变（如图此时直射20?N），但是纬度的变化引起地平面变化，导致各个纬度的太阳高度夹角变化，纬度差多少，太阳高度角差就是多少。从极昼圈（70?N）到极点之间某一纬度（以80?N为例），从图上看出，0时经线极昼部分随着纬度的升高（注意从极昼圈开始），与太阳光线的夹角由0? 逐渐增大，纬差多少度（10?），则午夜太阳高度角就是多少度（0? ＋10?＝10?）；反观12时经线极昼部分，随着纬度的升高（注意从极昼圈开始），各纬度地平面与太阳光线的夹角逐渐变小，纬差多少度（10?），正午太阳高度角就为极昼圈的正午太阳高度角减去多少度（40?－10?＝30?）。
另外，由图可知:（正午太阳高度角－午夜太阳高度角）/2＝当地与极点的纬度差。

【典型例题纠错】读以下两幅经纬网图，完成（1）～（3）题。

（1）关于甲、乙、丙、丁四地方位的正确叙述是
A．甲在乙的东南方向 B．丙在乙的东北方向 C．丁在甲的西北方向 D．乙在丁的西南方向.
（2）若此时国际标准时间为3月21日 8 时整，则
A．甲地处于昼半球范围内             B．乙地的区时为17时
C．丙地与甲地分属于两个不同的日期. D．丁地的地方时是 11时 20分
（3）若 6月 22日在丙地观测太阳并做记录，则下列记录正确的是
A．太阳从东南方升起        B．当太阳在正南方时，太阳高度为 23.5°
C．正午时太阳在天顶位置    D．当地 0点时，太阳高度为 3.5°.
【错因分析】该题组出错的原因一是不会在经纬网上辨别方向；二是对太阳视运动、日期判断等知识理解不透；三是对有关时间、正午太阳高度等的计算错误。读图可知甲、乙两地位于南半球，甲位于乙的西北方向：丙、丁位于北半球，丙位于丁的东南方向；丁位于东经 40度，甲位于西经 130度以西，因而丁在甲的东北方向；乙位于西经 130度以东，因而乙在丁的西南方向。国际标准时间为 3月21日 8时整，甲地大约为 3月 20日 23时，应位于夜半球；乙地位于西 9区，区时为 3月 20日 23时；丁地的地方时为 l0时 40分；丙地为 21日 12时，从而可知丙地与甲地分属于两个不同的日期。6月 22日为北半球夏至日，太阳直射北回归线，丙地太阳从正北方向升起，正午时太阳在南方的天空，正午太阳高度为 43.5°；该日丙地出现极昼现象，当地 0点时，太阳高度为 3.5°。
【纠错心得】解答有关经纬网判读的试题时应注意以下几方面：地球自转的方向无论南北半球都是自西向东，两点间判读方向要取最短距离，即两点间的劣弧段，看两点的经度和是否大于180°；当太阳直射北半球时出现极昼现象的地点都是正北日出、正北日落，其他地方为东北日出、西北日落（除极夜区）,出现极昼的地点在地方时0时时，太阳高度为一天中的最小值，该太阳高度的数值加上正午太阳高度的数值除以 2 为直射点的纬度数。
【纠错体验】读南半球某区域经纬网图，回答 4～5 题。