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徐大帅哥期末《分式方程》训练题
【例1】解下列分式方程
⑴3
24x?
?
2xx?
=1
2
⑵2
242111xxxxx?????
⑶
2242141xx???
【例2】用换元法解方程2
261xxxx????
【例3】解方程：⑴2468
1357xxxxxxxx???????????
；⑵2232411
221xxxxxxxx??????????
【例4】解方程??????????11111
11220092010xxxxxxx??????????
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【例5】解关于x的方程2221mmm
x????
【例6】⑴已知解关于x的方程
211224kxxxx??????
时有增根，则此增根应为．
⑵若关于x的方程
24322kxxxx????
无解，则实数k的值为．
【例7】列方程解应用题
为了适应经济发展的需要，某地区的铁路提速改造工程全面开工建设，工程完成后，从甲站
至乙站的旅客列车的平均速度将提高到现在的1.5倍，运行时间缩短1小时20分钟，已知甲
站与乙站相距400千米，那么现在的旅客列车的平均速度是每小时多少千米？
【例8】某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款
1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
⑴甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
⑵乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
⑶若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
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【答案】
【例1】解下列分式方程
⑴3
24x?
?
2xx?
=1
2
⑵2
242111xxxxx?????
⑶
2242141xx???
【解析】⑴x=5
3
⑵1
2x??
⑶经检验：此方程无解
【例2】用换元法解方程2
261xxxx????
【解析】经检验，1221xx???，是原方程的解
【例3】解方程：⑴2468
1357xxxxxxxx???????????
；⑵2232411
221xxxxxxxx??????????
【解析】⑴解法一：方程两边分别通分得(2)(3)(1)(4)
(1)(3)xxxxxx???????(6)(7)(5)(8)(5)(7)xxxxxx????????
，
∴22
(1)(3)(5)(7)xxxx?????
，
∴(1)(3)(5)(7)xxxx?????，
∴832x??，∴4x??．
经检验，4x??是原方程的解．
解法二：可将8
7xx??
与4
3xx??
调换位置，变为2864
1753xxxxxxxx???????????
再左右两边通分.
解法三：将分式分离常数，原方程为1111
1357xxxx???????
，再解分式方程，更为简单.
⑵原方程变形为
2211112221xxxx????????
，
即
2211221xxxx?????
，∴22221xxxx?????，
解得3x??．经检验3x??是原方程的解．
【例4】解方程??????????11111
11220092010xxxxxxx??????????
【分析】方程左边适合先裂项，然后对消化简，再去分母．
【解析】原方程可化为
1111111111220092010xxxxxxx??????????????
化简，得1111
2010xxx????
所以11
2010x??
所以2011x?
检验：把2011x?代入原方程中的每一个分母，各分母均不为零．所以2011x?是原方程的根．
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【例5】解关于x的方程2221mmm
x????
【分析】解含有字母系数的方程要整理成一元一次方程的一般形式axb?，然后根据a，b的情况讨论
求解．
【解析】原方程可化为
????????1121mmxmm?????
当1m??时，2
1mxm???
，但当2m?时，0x?不是原方程的根；
当1m?时，原方程无解；
当1m??时，原方程化为00x?，x为任意值，但0x?为原方程增根．
综上所述，当1m?或2m?时，方程无解；当1m??时，解为所有不等于0的数；当1m??且
2m?时，方程有唯一解，21mxm???．
【例6】⑴已知解关于x的方程
211224kxxxx??????
时有增根，则此增根应为．
⑵若关于x的方程
24322kxxxx????
无解，则实数k的值为．
【解析】⑴去分母整理得??22220xkxk?????．
因为原分式方程有增根，则可能是2或2?．
令2x?，代入方程得1
2k?
；
令2x??，代入方程得60?矛盾，所以2x??不可能是方程的根，即原分式方程不可能产生
增根2x??．
所以本题会产生的增根应为2x?．
⑵去分母整理得??32kx???
当3k?时，方程无解，从而原方程无解；
当3k?时，方程有唯一解2
3xk???
，若原方程无解，则只有当这个唯一解是增根时．
而原分式方程的增根可能是0或2，又因为20
3k???
，所以令22
3k???
得2k?，即2k?
时，原方程只有增根2x?，故无解．
综上所述，k的值为2或3．
【例7】列方程解应用题
为了适应经济发展的需要，某地区的铁路提速改造工程全面开工建设，工程完成后，从甲站
至乙站的旅客列车的平均速度将提高到现在的1.5倍，运行时间缩短1小时20分钟，已知甲
站与乙站相距400千米，那么现在的旅客列车的平均速度是每小时多少千米？
【解析】设现在旅客列车的平均速度为x千米/时．
根据题意得400400201
1.560xx???
，
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解之得，100x?．
经检验100x?是原方程的解，且符合题意．
答：现在旅客列车的平均速度为100千米／时．
【例8】某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款
1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
⑴甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
⑵乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
⑶若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
【解析】∵在不耽误工期的前提下
∴第⑵方案舍去；
得规定日期为x天，工作总量为1
∴甲的工效为1
x
，乙的工效为1
6x?
∴??111331
66xxxx?????????????
??633166xxxxxx????????
方程两边同乘以??6xx?
得??????32636xxxxx?????
2261836xxxxx?????
318x?6x?
方案⑴花费：1.267.2??万元
方案⑶花费：??31.20.530.5????
31.71.56.6????万元
∵6.6万元7.2?万元
∴方案⑶最节省工程款．
经检验，6x?是原方程的解，∴6x?且符合实际．
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