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用七巧板能拼出多少种图形?

2014-02-05  dongchang

  七巧板是中国十分知名的益智游戏。在19世纪初,来广州从事贸易的欧美商人将一些精美的象牙七巧板带回国。很快,像近代的魔方一样,七巧板就此风靡世界,成为19世纪世界最流行的智力谜题之一。七巧板的玩法有多少种?用它能拼出多少种图形?

七巧板的初始状态

七巧板的初始状态

 

  七巧板的构造一目了然——是由一个正方形切割成的七块几何平板。包括两个大三角、一个中三角、两个小三角、一个正方形和一片平行四边形。制作七巧板的材料各异,有木质、象牙、金属及其它材质。七巧游戏由一套七巧板和一些仅有轮廓的图形组成。玩法亦极易理解:将其拼凑成各种事物图形,如人物、动植物、房亭楼阁、车轿船桥等,可一人玩,也可多人进行比赛。

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  据清代陆以湉《冷庐杂识》记载,七巧板是由唐宋时期的宴几演变而来的,原为文人的一种室内游戏,后在民间演变为拼图板玩具:宋朝有个叫黄伯思的人,对几何图形很有研究,他热情好客,发明了一种用6张小桌子组成的“宴几”——请客吃饭的小桌子。经改进,6张桌子变成7张桌子,可以根据吃饭人数的不同,把桌子拼成不同的形状,比如3人拼成三角形,4人拼成四方形,6人拼成六方形……这样用餐时人人方便,气氛更好。后来,有人把宴几缩小改变到只有七块板,用它拼图,演变成一种玩具。因为它十分巧妙好玩,所以人们叫它“七巧板”。

七巧桌

七巧桌

 

  到了明末清初,皇宫中的人经常用它来庆贺节日和娱乐,拼成各种吉祥图案和文字,故宫博物院至今仍保存着清代的七巧板,北京颐和园和苏州留园中还各珍藏了一张晚清时期运用七巧板原理制作成的七巧桌。

七巧板的变化——动物篇

七巧板的变化——动物篇

 

  虽然七巧板的构造和玩法非常简单,不过其中蕴含的变化与原理可十分精妙——据不完全统计,七巧板能拼出1600种以上不同图案,从人物到动物、建筑物乃至中英文字母等。利用七巧板可以阐明若干重要几何关系,其原理便是古算术中的“出入相补原理”。

七巧板的变化——建筑物篇

七巧板的变化——建筑物篇

 

  出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建,是古中国数学中一条用于推证几何图形的面积或体积的基本原理。其内容有如下4个:

 

  1. 一个几何图形,可以切割成任意多块任何形状的小图形,总面积或体积维持不变,等于所有小图形面积或体积之和;

 

  2. 一个几何图形,可以任意旋转,倒置、移动、复制,面积或体积不变;

 

  3. 多个几何图形,可以任意拼合,总面积或总体积不变;

 

  4. 几何图形与其复制图形拼合,总面积或总体加倍。


 用现代语言来概括的说,出入相补原理阐述了这样一个事实:一个平面图形从一处移置他处,面积不变。又若把图形分割成若干块,那么各部分面积之和等于原来图形的面积,因而图形移置前后,诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。

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  再用浅显易懂的现代数学原理来剖析一下:把七巧板中的小正方形边长定为1,则各块所有边长只有4个数值:1,√2,2,2√2,构成一个等比数列。所有的角只有3个值:45°,90°,135°,构成一个等差数列;而且其中任何两个角的和、差,如果不计180°平角,大于180°的角减去180°,则仍是这三个角之一。

 

  正是这些特点,使得简单的七个图形可以拼成多达1600种以上的形状。

 

  日本数学家大约在上世纪20年代提出一个问题:七巧板可以拼成多少个凸多边形?不久之后,浙江大学的两位数学教师在《美国数学月刊》上发表了论文,结论指出:能拼成的凸多边形只有13个。他们的成果得到数学界的赞扬。七巧板可以拼成多少个五边形?这个问题由美国学者解决,结论是18个。

 

  有两个关于七巧板的小计算问题如下:

 

  问题1:如果一副七巧板的总面积是16,那么其中每一块的面积各是多少?

 

  其答案很容易算出:七块小板的面积分别是4,4,2,2,2,1,1。容易看出,用七巧板中两块面积为1的小板可以拼成任何一块面积为2的小板;用其中任何一块面积为2的小板和两块面积为1的小板可以拼成一块面积为4的小板。

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  问题2:上图所示的七巧板人物造型——三个人,一个在踢球,一个在溜冰,还有一个在跳藏族舞蹈,各有各的乐趣。这三个七巧板人物的头部面积与全身面积之比各是多少?

 

  图中表现人物头部的是一块正方形小板,面积为2;而每个人物图形都是由一副七巧板拼成的,七块小板面积的总和是16。所以在每个人物图中,头部面积与全身面积的比都是1比8。
通常,一个成年男子的头部高度与全身高度的比大约是1比7.5左右。由此看来,画到纸上,如果全身所占面积是头部所占面积的8倍左右,看上去就比较匀称。怪不得七巧板人物那样生动,原来比例匀称帮了其大忙呢!

各种姿势的人

各种姿势的人

 

  七巧板的变化多端,但排列规则却很简单:

 

  1. 在排列七巧板的时候,所有的组件都必须使用到,而且只限使用这七个组件排列;

 

  2. 七个组件之间可以“角边相接”,或“边边相接”,但绝对不能重叠,因此,不论排成哪种图形,其总面积一定相等;

 

  我们知道了七巧板排列的简单规则,再来探索一下它的玩法,七巧板的玩法有四种:

 

  1. 依图成形,即是根据已知的图形来排列出答案;

 

  2. 见影排形,从已知的图形找出一种或一种以上的排法;

 

  3. 自创图形,你可以自己创造新的玩法及排法;

 

  4. 数学研究,也就是利用七巧板来求解或证明数学问题。

 

  现存最早的七巧板之一是一套象牙雕刻的七巧板。这套七巧板很有可能是由罗伯特·沃恩从广州购得并带到美国的。罗伯特·沃恩是费城的商人,在1796至1815年间来往于广州的商贸船中。这套七巧板的锦盒底部写有:“F·沃恩一八零二年四月四日”。这套七巧板也许是罗伯特·沃恩给他的第四个孩子弗朗西丝·沃恩的礼物。

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  虽然这套是目前已知最早的有纪录的七巧板,但是我们还是可以推测,在西方商人于1802年购得这款精美雕刻的象牙质七巧板时,七巧板在中国应该已经流行开来。在这之前,木制或纸板制的七巧板也应该早已出现在中国民间了。七巧板的玩法简易,你可以用七块板块拼出各种各样那千变万化的图案,也可以跟朋友们比赛试试看谁拼的最多。


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