康托的集合定义与罗素悖论
作者：郑学安 文章来源：《数学通报》 点击数：3894 更新时间：2007-3-14 
集合论是19世纪80年代由康托Cantor创立的，现在己发展为独立的数学分支。它的基本概念与方法己渗入到数学的各个领域，成为现代数学的基石。 1902年，英国哲学家罗素( Russell)提出了著名的罗素悖论。罗素悖论的出现，使得有的学者认为康托的集合定义有缺陷，集合论的基础有问题。但是用目前大学本科逻辑学教科书中关于初等逻辑的基础知识，对康托的集合定义作准确的逻辑分析，就会发现，康托的集合定义是合乎逻辑的正确定义，罗素悖论从反面证明了康托的集合定义是正确的。 1、康托的集合定义及其逻辑分析 康托的集合定义是： “将具有某种特征或满足一定性质的所有对象或事物视为一个整体时，这一整体就称为集合，而这些事物或对象就称为属于该集合的元素。” 这就定义了数学的一个新的概念一一集合。 什么是概念呢？在目前大学逻辑学的教科书中，可找到如下的叙述： “概念是反映对象特有属性或本质属性的思维形式。” 在康托的集合定义中，“特征”一词指的是特有属性，“性质”一词指的是本质属性，所以康托的集合定义符合逻辑学的要求，因而是正确的定义。 概念有两个基本的逻辑特征，即内涵与外延，因此康托的集合定义就包含了下面两个逻辑原则。 外延原则：集合由其元素完全确定。 概括原则：若P是描述或刻划对象的特有属性或本质属性的立题或条件，则｛x|P(x)｝是集合，其中P (x)指“P (x)为真”或“x满足条件p”。 从上面的概括原则立即可得到，若P是一个命题或条件，则｛x|p(x)｝可能是一个集合，也可能不是集合。 2、罗素悖论及其重要作用 得出罗素悖论的概括原则与上面叙述的概括原则不同，可用准确的逻辑语言叙述如下。 罗素悖论的概括原则是：若P是描述或刻划对象的属性的命题或条件，则｛x|P(x)｝是一个集合。 我们来讨论集合的某些属性。因为自然数集合N不是自然数，即N不是N的元素，可以记为N T=｛A｜A 这就自然要问，T是否为T的元素。 假定T 假定T∈T，根据（1）式，T必满足T 这就导致了悖论，并称这一悖论为罗素悖论。 用康托集合定义的概括原则来分析（1）式，容易发现，A 罗素后来也发现了这一问题，后来罗素建议将他定义的T称为类。一般地，若p是一个命题，称｛x|p(x)｝为类。集合必然是类，但类可能不是集合。 罗素悖论说明了，若否定或取消康托集合定义中特有属性或本质属性的要求，就会产生悖论，这就从反面证明了康托集合定义的正确性，这是罗素悖论的第一个重要作用。 罗素悖论第一次具体构造出不是集合的类，从而证明了{x|p(x)}可以不是集合，这是罗素悖论的第一个重要作用，这就告诉人们，在集合论的公理体系中，反映康托集合定义的概括原则的公理，其本质之一就是排除罗素悖论，所以在集合论的ZF公理系统中，就用“分离公理模式”来排除罗素悖论，而在朴素集合论中，正如康托早就强调的那样，只有当x是一个集合时，才能用{x|p(x)}来表示集合。 罗素悖论更重要的作用，在于它的出现促进了现代数学的一个重要分支一数理逻辑的发展，它使得康托的集合理论建立在更坚实的基础之上，数学大厦的基础十分坚实而稳固。 参考文献 1、周民强。实变函数论。北京：北京大学出版社，2004.3。1 2、普通逻辑编写组。普通逻辑。上海：上海人民出版社，2002。4。 105, 108 3、张锦文。公理集合论导引。北京：科学出版社，1999, 2 .1一3
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