二次根式的知识点汇总
知识点一:二次根式的概念
形如()的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。
知识点二:取值范围
1.???二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2.???二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。
知识点三:二次根式()的非负性
()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。
注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。
知识点四:二次根式()的性质
()
文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,.
知识点五:二次根式的性质
文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注:
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六:与的异同点
1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,?,而
2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而.
?
二次根式测试题(一)
1.下列式子一定是二次根式的是()
A.B.C.D.
2.若,则()
A.b>3B.b<3C.b≥3D.b≤3
3.若有意义,则m能取的最小整数值是()
A.m=0B.m=1C.m=2D.m=3
4.若x<0,则的结果是()
A.0B.—2C.0或—2D.2
5.下列二次根式中属于最简二次根式的是()
A.B.C.D.
6.如果,那么()
A.x≥0B.x≥6C.0≤x≤6D.x为一切实数
7.小明的作业本上有以下四题:①;②;
③;④。做错的题是()
A.①B.②C.③D.④
8.化简的结果为()A.B.C.D.
9.若最简二次根式的被开方数相同,则a的值为()
A.B.C.a=1D.a=—1
10.化简得()A.—2B.C.2D.
11.①;②。
12.二次根式有意义的条件是。
13.若m<0,则=。
14.成立的条件是。
15.比较大小:。
16.,。
17.计算=。
18.的关系是。
19.若,则的值为。
20.化简的结果是。
21.求使下列各式有意义的字母的取值范围:
(1)(2)(3)(4)
22.化简:
(1)(2)(3)(4)
23.计算:
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
24.若x,y是实数,且,求的值。
二次根式测试题(二)
1.下列说法正确的是()
A.若,则a<0B.C.D.5的平方根是
2.二次根式的值是()
A.B.C.D.0
3.化简的结果是()
A.B.C.D.
4.若是二次根式,则a,b应满足的条件是()
A.a,b均为非负数B.a,b同号C.a≥0,b>0D.
5.已知a A.B.C.D.
6.把根号外的因式移到根号内,得()
A.B.C.D.
7.下列各式中,一定能成立的是()
A.B.
C.D.
8.若x+y=0,则下列各式不成立的是()
A.B.C.D.
9.当时,二次根式的值为,则m等于()
A.B.C.D.
10.已知,则x等于()
A.4B.±2C.2D.±4
11.若不是二次根式,则x的取值范围是
12.已知a<2,
13.当x=时,二次根式取最小值,其最小值为
14.计算:;
15.若一个正方体的长为,宽为,高为,则它的体积为
16.若,则
17.若的整数部分是a,小数部分是b,则
18.若,则m的取值范围是
19.若
20.已知a,b,c为三角形的三边,则=
212223
2425
26已知:,求的值
28.阅读下面问题:;
试求:⑴的值;⑵的值;⑶(n为正整数)的值。
二次根式(一)
1.C2.D3.B4.D5.A6.B7.D8.C9.C10.A
11.①0.3②12.x≥0且x≠913.—m14.x≥115.<
16.1817.18.相等19.120.
21.(1)(2)(3)全体实数(4)
22.解:(1)原式=;(2)原式=;
(3)原式=;(4)原式=。
23.解:(1)原式=49×;(2)原式=;
(3)原式=;
(4)原式=;
(5)原式=;(6)原式=。
24.解:∵x—1≥0,1—x≥0,∴x=1,∴y<.∴=.
二次根式(二)
1.C2.B3.B4.D5.A6.C7.A8.D9.B10.C
11.x<512.2-a13.—1014.;15.12
16.717.118.m≥319.20.
21.解:原式=;
22.解:原式=;
23.解:原式=;
24.解:原式=
25.解:原式=;26.解:
27.解:,∴。∴
原式=
28.解:登山者看到的原水平线的距离为,现在的水平线的距离为
29⑴=⑵=⑶=
1
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