2014-01-04 14:03:11 归档在 我的博文 | 浏览 904 次 | 评论 0 条 在数学高考中,数列主要考查:已知数列的通项公式或递推关系,求数列的某项;由数列的递推关系求数列的通项公式.利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式解决等差数列的问题;在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列,并能用有关知识解决相应的问题;考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等比中项的性质与证明;以数列为载体,考查数列求和的各种方法和技巧结合函数、不等式、方程、几何等知识,综合考查数列和式的相关性质,如和式的最值、单调性、不等关系式的证明等.根据我多年组织学生高考复习经验,现归纳其常见题型如下: 一、已知an与Sn的关系式求通项公式是高考中的常见题型。 例:设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求a1的值; (2)求数列{an}的通项公式. 解: (1)令n=1时,T1=2S1-1, ∵T1=S1=a1,∴a1= (2)n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2, 则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2] =2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1. 因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式, 所以Sn=2an-2n+1(n≥1) 当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1, 两式相减得an=2an-2an-1-2, 所以an=2an-1+2(n≥2),所以an+2=2(an-1+2), 因为a1+2=3≠0, 所以数列{an+2}是以3为首项,公比为2的等比数列. 所以an+2=3×2n-1,∴an=3×2n-1-2, 当n=1时也成立; 所以an=3×2n-1-2. 二、将等差(比)数列求和公式与等差(比)数列的性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”结合命题. 例:在等差数列{an}中,已知Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n. 解: 设{an}的公差为d,则由Sn=m,Sm=n, 得 ②-①得(m-n)a1+·d=n-m, ∵m≠n,∴a1+d=-1. ∴Sm+n=(m+n)a1+d =(m+n)=-(m+n). 三、运用公式法法、分组求和法、倒序相加法、并项求和法、裂项相消法、错位相减法等常见方法求和的题型在高考中频频出现。 例:设数列{an}满足a1+ (1)求数列{an}的通项; (2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. 解 (1)∵a1+ ∴当n≥2时, a1+ ①-②得3n-1an=,∴an=. 在①中,令n=1,得a1=,适合an=,∴an=. (2)∵bn=,∴bn=n·3n. ∴Sn=3+2×32+3×33+…+n·3n,③ ∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n·3n+1.④ ④-③得2Sn=n·3n+1-(3+32+33+…+3n), 即2Sn=n·3n+1-,∴Sn=+. 四、数列求和的考查是高考命题的重点,也常与求数列的通项一起考查。 例:已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 则a2=a1+d,a3=a1+2d, 由题意,得 解得或 所以由等差数列的通项公式,可得 an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7. 故an=-3n+5或an=3n-7. (2)由(1),知当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|an|=|3n-7|= 记数列{|an|}的前n项和为Sn. 当n=1时,S1=|a1|=4;(9分) 当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5 当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an| =5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7) =5+ =n2-n+10. 当n=2时,满足此式. 综上,Sn= 五、以现实生活中的“增长率”、“贷款”等问题为背景命题,考查数列的通项、前n项和等知识. 例:某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. (1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式; (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示). 解: (1)由题意, 得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4 500-d an+1=an(1+50%)-d=an-d. (2)由(1),得an=an-1-d =-d =2an-2-d-d … =n- 整理,得an=n-1(3 000-d)-2d =n-1(3 000-3d)+2d.(10分) 由题意,得am=4 000, 即m-1(3 000-3d)+2d=4 000. 解得d==. 故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.
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