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平面向量在高考中常见题型分析

2014-02-22  皓月冷星

2013-11-21 15:04:14

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平面向量在高考中常见题型分析

我长期从事文科教学,在教学实践中发现对平面向量这一章,文科绝大多数学生还是很容易接受此章的基本内容,大部分学生学起来也并不感到吃力,在考试中也容易得分,经过对这几年高考中对平面向量内容的分析,认为对于平面向量这一章在高考中主要包含一下几个主要考点:1)在平面几何图形中主要考查向量加法的平行四边形法则及加减法的三角形法则。2)对共线向量定理的应用,主要考查应用向量的坐标运算求向量的模。3)应用平面向量基本定理进行向量的线性运算。4)应用向量的垂直与共线条件,求解参数。5)对平面向量数量积的运算、化简、向量平行与垂直的充要条件的应用,并以平面向量的数量积为工具,考查其他综合应用题,常与三角函数等知识结合,考查其综合应用性问题,常与三角函数、解析几何等结合.根据这些基本知识,在高考复习中,我们如何提高学生应用平面向量基本知识,提高他们的解题能力呢?

一)要引导学生准确把握平面向量的概念和运算

例:设ab是两个非零向量.(  )

A.若|ab||a||b|,则ab

B.若ab,则|ab||a||b|

C.若|ab||a||b|,则存在实数λ,使得bλa

D.若存在实数λ,使得bλa,则|ab||a||b|

解答:把等式|ab||a||b|两边平方,得(ab)2(|a||b|)2

2a·b=-2|a|·|b|,而a·b|a||b|cosab〉,

所以cosab〉=-1.又因为〈ab[0π]

所以〈ab〉=π,即ab为方向相反的共线向量.故C正确.

平面向量的概念和运算时常以选择题、填空题的形式出现,有时解答题的题设条件也以向量的形式给出,命题的出发点主要是以平面图形为载体表达平面向量、借助向量表达相交或共线等问题.借助平面几何、解析几何等知识,考查线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件,或以向量为载体求参数的值.

二)引导学生熟悉常考常新的平行向量的运算问题

例:设向量ab满足|a|2b(2,1),且ab的方向相反,则a的坐标为________

解:∵ab方向相反,可设aλb(λ<0)

aλ(2,1)(2λλ).由|a|2

解得λ=-2,或λ2(),故a(4,-2)

在解此类问题中,容易出现两个问题:(1)忽视了ab方向相反这一条件,致使出现了增解;(2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件,在高考中常常以坐标法考查向量共线的应用较多.

三)注重平面向量的数量积在平面几何中的应用

例:在矩形ABCD中,设ABAD的长分别为2,1.MN分别是边BCCD上的点,且满足,则·的取值范围是________

解:如图,以A点为坐标原点建立平面直角坐标系,则各点坐标为A(0,0)B(2,0)C(2,1)D(0,1),设k,则点M的坐标为(2k),点N的坐标为(22k,1)

(2k)(22k,1)·2(22k)k43k,而0≤k≤1,故1≤43k≤4.

在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时,首先要想到是否能建立平面直角坐标系,利用坐标运算题目会容易的多,平面向量数量积的应用主要考查利用数量积解决垂直、长度、夹角等问题.

四)注重平面向量与三角函数的交汇问题

例:在ABC中,已知·3B·.

(1)求证:tan B3tan A

(2)cos C,求A的值.

(1)证明 因为·3B·

所以AB·AC·cos A3BA·BC·cos B

AC·cos A3BC·cos B,由正弦定理知

从而sin Bcos A3sin Acos B

由上式可知cos A>0cos B>0,所以tan B3tan A.

(2)解 因为cos C0<C<π

所以sin C

从而tan C2,于是tan[π(AB)]2

tan(AB)=-2,亦即=-2

(1)=-2,解得tan A1或-

因为cos A>0,故tan A1,所以A.

解决平面向量与三角函数的交汇问题,要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式,在考试中平面向量的有关知识,常与三角函数、解析几何结合在一起在解答题中出现,主要是以三角函数、解析几何等知识为载体,考查数量积的定义、性质等.

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