怀柔区2013—2014学年度第一学期初三期末质量检测
数学试卷2014.1
考生须知 本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。
在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA＝，则∠A的度数是
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．两个相似三角形周长的比是2:3，则它们的面积比是
A． 2:3 B． 3:2C．4:9 D．9:4
3．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠A＝50°，
则∠BOC的度数为
A．40°B．50°
C．80°D．100°
4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，
且DE∥BC，若AD=5，DB=3，DE=4，
则BC等于
A．B．C．D．
5．下列事件中，为必然事件的是
??A．购买一张彩票，一定中奖．B．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球．
??C．抛掷一枚硬币，正面向上．D．打开电视，正在播放广告．
6．将抛物线y＝(x－1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的
解析式为
A．y＝(x－2)2B．y＝x2C．y＝x2+6D．y＝(x－2)2+6
7．如图，A，B是反比例函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则
A．S=2B．2＜S＜4
C．S=4D．S＞4
8．如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD
相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以
1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动．
设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，
则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．Rt△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，则∠A的正切值为_________.
10．抛物线的最小值是．
11．已知扇形的半径为4㎝，圆心角为120°，则此扇形的弧长是㎝.
12．如图，圆心B在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B
与y轴的正半轴交于点A（0，1）.过点P（0，－7）的
直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD长的所有可能的
整数值有_______个；它们是.
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．已知抛物线y=x2-4x+3，求出它的对称轴和顶点坐标.
15.如图，在中，，，于.
求证：．
16.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，
求AB的长.
17.一只不透明的袋子中装有2个白球和一个红球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，请用树状图或列表的方法列出所有可能的结果，求出两次摸出的球颜色相同的概率．
18．如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝
(k为常数，且k≠0)的图象都经过点A(m，2)．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接比较：当x＞0时，y1与y2的大小．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB
交BC于点D，AB=10，AC=6，
求D到AB的距离.
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若AB=5，sin∠P=，求BC的长．
21．已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，
⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，
EF⊥AC，垂足为F.
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.
22．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，
点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向
以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，
△PBQ的面积为y（cm2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并在右图中
画出函数的图像；
（2）求△PBQ面积的最大值.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．理解与应用
小明在学习相似三角形时，在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书，第37页遇到这样一道题：
如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，联结CP.
要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是____________，或_________.
请回答：
（1）小明补充的条件是____________________，或_________________.
（2）请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠A=60°，AC2=AB2+AB.BC.
求∠B的度数．
24.（1）如图1，在等边△ABC中，点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C），联结AM，以AM为边作等边△AMN，联结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是边BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C），联结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．联结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
25.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧），已知点坐标为（6，0）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）联结AB，过点作线段的垂线交抛物线于点,如果以点为圆心的圆与抛物线的对称轴相切，先补全图形，再判断直线与⊙的位置关系并加以证明；
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间.问：当点运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积.
5
A
B
C
O
第7题图
O
O
O
O
t/s
t/s
t/s
t/s
S/cm2
S/cm2
S/cm2
S/cm2
8
4
16
16
16
16
8
8
8
4
4
4
8
8
8
8
A． B． C． D．
A
B
D
C
E
x
y
A
O
图2
图1
备用图
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