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面積

 黄家裕38 2014-03-06

面积是一个用作表示一个曲面平面图形所占范围的,可看成是长度(一维度量)及体积(三维度量)的二维类比。对三维立体图形而言,图形的边界的面积称为表面积

计算各基本平面图形面积及基本立体图形的表面积公式早已为古希腊及古中国人所熟知。

面积在近代数学中占相当重要的角色。面积除与几何学微积分有关外,亦与线性代数中的行列式有关。在分析学中,平面的面积通常以勒贝格测度(Lebesgue measure)定义。

我们可以利用公理,将面积定义为一个由平面图形的集合映射至实数函数

定义[编辑]

其中一个定义面积的方法是利用公理定义。面积可以定义为一个由所有(可测)平面图形组成的集合M映射至实数的函数a,并满足以下条件:

  • 对于所有S \in M,有a(S) \ge 0
  • S, T \in M,则S \cup T \in MS \cap T \in M,且a(S \cup T) = a(S) + a(T) - a(S \cap T)
  • S, T \in MS \subseteq T,则T - S \in M,且a(T - S) = a(T) - a(S)
  • S \in MS全等于T,则T \in M,且a(S) = a(T)
  • 任一矩形R均属于M。若矩形的长为\ell而宽为w,则a(R) = \ell w
  • Q为一平面图形。若存在唯一的实数c,使得所有满足S \subseteq Q \subseteq T的有限个矩形的联集(finite union of rectangles)ST均有a(S) \le c \le a(T),则Q \in M,且a(Q) = c

可以证明,满足上述条件的函数存在。 [1]

单位[编辑]

面积的测量单位主要包括:

市制:

台制:

香港:

面积公式[编辑]

多边形公式[编辑]

长方形[编辑]

A rectangle with length and width labelled
这个长方形的面积是 lw.

最基本的面积公式是长方形的公式。当l是长,w是宽时,其公式为:[4]

A=lw

当其图形是一个正方形时,l = w,因此正方形的公式为:[4]

A=s^2

长方形的面积计算方法是根据面积的基本定义。

A diagram showing how a parallelogram can be re-arranged into the shape of a rectangle
面积相同

切割图形[编辑]

有些简单的公式可以切割的方式得出。

例如平行四边形,可以切割成一个梯形和一个直角三角形,如同右图。如果三角形移到梯形的另一边,就可以变成一个梯形。因此,梯形的公式有点像长方形的公式:[4]

A=bh

至于同样的平行四边形可以分割为两个全等三角形。因此三角形的公式为:[4]

A = \frac{1}{2}bh

曲线图形面积[编辑]

A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram
圆形可以分割为很多扇形

圆形面积公式是基于基本的面积公式,假设有一个半径为r的圆形,分成很多扇形,那一个扇形的面积就会很接近三角形,就像右图一样。如果分得够细小,就可以看到半径为r的圆形面积相等如一个高为r,底为πr的平行四边形。[5]

\pi \times r^2

我们也可以用积分得到更肯定为准确的答案

A \;=\; \int_{-r}^r 2\sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2

计算不规则之图形面积,可用填补法切割法来计算之。

表面积[编辑]

一些基本的立体表面积公式:

  • 立方体6 \times x^2x是立方体的边长)
  • 长方体2 \times (l \times w + w \times h + h \times l)lwh分别是长方体的长、宽和高)
  • 球体4 \times \pi \times r^2r是球体的半径)
  • 球冠2 \times \pi \times r \times h(球冠是指被平面截下的部分球面;r是球体的半径;h是球冠高)
  • 直立圆锥体\pi \times r \times (r + \sqrt{r^2 + h^2})r是圆锥体底部的半径,h是它的高)
  • 直立圆柱体2 \times \pi \times r \times (h + r)r是圆柱体圆形底部的半径,h是它的高)
其他面积公式
形状公式变量所代表的
等边三角形\frac\sqrt{3}{4}s^2\,\!s是一条边的长度。
三角形[6]\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\! s 是周长的一半,abc是三条边的长度。
三角形[4]\tfrac12 a b \sin(C)\,\!ab是任意两条边,而C是两条边的夹角。
三角形[6]\tfrac12bh \,\!bh是底和高。
菱形\tfrac12abab分别是菱形的两条对角线
平行四边形bh\,\!b是底长,h是高。
梯形\frac{(a+b)h}{2} \,\!ab是平行的边和h是平行的边之间的高。
正六边形\frac{3}{2} \sqrt{3}s^2\,\!s是正六边形边的边长。
正八边形2(1+\sqrt{2})s^2\,\!s是正八边形边的边长。
正多边形\frac{1}{4}nl^2\cdot \cot(\pi/n)\,\!   l   是边长而n是边数量。
正多边形\frac{1}{4n}p^2\cdot \cot(\pi/n)\,\!   p   是周长n是边数量。
正多边形\frac{1}{2}nR^2\cdot \sin(2\pi/n) = nr^2 \tan(\pi/n)\,\!   R   外切圆的半径,r内切圆的半径,而n是边数量。
正多边形\tfrac12a p \,\!a边心距,或称作内切圆的半径,而p是多边形的周长。
圆形\pi r^2\ \text{or}\ \frac{\pi d^2}{4} \,\!r是半径和d是直径。
扇形\frac{\theta}{2}r^2\ \text{or}\ \frac{L \cdot r}{2}\,\!r\theta分别是半径和角度,L是周界。
椭圆形[4]\pi ab \,\!ab分别是半长轴半短轴
圆柱体表面面积2\pi r (r + h)\,\!rh分别是半径和直径。
圆柱体侧表面面积2 \pi r h \,\!rh分别是半径和直径。
球体表面面积4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\!rd分别是半径和直径。
锥体表面面积[7]B+\frac{P L}{2}\,\!B是底面积,P是底周长而,L是斜高。
锥体平截头体的表面面积[7]B+\frac{P L}{2}\,\!B是底面积,P是底周长,L是斜高。
正方形转换成圆形段面积\frac{4}{\pi} A\,\!A是正方形面积。
圆形转换成正方形后面积\frac{1}{4} C\pi\,\!C是圆形面积。
鲁洛三角形\frac{\pi x^2}{6}-\frac{3 \sqrt{x^2-(\frac{x}{2})^2}}{2}+\frac{\sqrt{x^2-(\frac{x}{2})^2}}{2}x是鲁洛三角形内三角形的边。

单位列表[编辑]

公制[编辑]

名称符号定义平方米的换算
平方佑米、平方尧米Ym2边长为1佑米(尧米)的正方形的面积1048
平方皆米、平方泽米Zm2边长为1皆米(泽米)的正方形的面积1042
平方艾米Em2边长为1艾米的正方形的面积1036
平方拍米Pm2边长为1拍米的正方形的面积1030
平方兆米、平方太米Tm2边长为1兆米(太米)的正方形的面积1024
平方吉米Gm2边长为1吉米的正方形的面积1018
平方百万米、平方兆米Mm2边长为1百万米(兆米)的正方形的面积1012
平方公里、平方千米km2边长为1公里(千米)的正方形的面积106
平方公引、平方百米hm2边长为1公引(百米)的正方形的面积104
平方公丈、平方十米dam2边长为1公丈(十米)的正方形的面积102
平方米、平方米m2边长为1(米)的正方形的面积1
平方公寸、平方分米dm2边长为1公寸(分米)的正方形的面积10-2
平方厘米、平方厘米cm2边长为1厘米(厘米)的正方形的面积10-4
平方公厘、平方毫米mm2边长为1公厘(毫米)的正方形的面积10-6
平方微米cm2边长为1微米的正方形的面积10-12
平方纳米、平方纳米nm2边长为1纳米(纳米)的正方形的面积10-18
平方皮米pm2边长为1皮米的正方形的面积10-24
平方飞米fm2边长为1飞米的正方形的面积10-30
平方阿米am2边长为1阿米的正方形的面积10-36
平方介米、平方仄米zm2边长为1介米(仄米)的正方形的面积10-42
平方攸米、平方幺米ym2边长为1攸米(幺米)的正方形的面积10-48

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