分式及分式方程
◆知识讲解
1．分式
用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，若B中含有字母，式子就叫做分式．
2．分式的基本性质
=（其中M是不等于零的整式）
3．分式的符号法则
=．
4．分式的运算
（1）加减法：．
（2）乘除法：·
（3）乘方（）n=（n为正整数）
5．约分
根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分．
6．通分
根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分．
◆例题解析
例1填空题：
（1）若分式的值为零，则x的值为________；
（2）若a，b都是正数，且－=，则=______．
【解答】（1）由x2=4，得x=±2，把x=2代入分母，得x2－x－2=4－2－2=0，
把x=－2代入分母，得x2－x－2=4+2－2=4≠0，故答案为－2．
（2）由整体代换法：把－=，b2－a2=2ab，[来源:中.考.资.源.网]
即a2－b2=－2ab，代入=，故答案为．
例2选择题：
（1）已知两个分式：A=，其中x≠±2，
那么A与B的关系是（）
A．相等B．互为倒数C．互为相反数D．A大于B
（2）已知的值为（）
A．－B．C．D．－
【解答】（1）B=，
∴A+B=0，A，B互为相反数，选C．
（2）设=k，则a=2k，b=3k，c=4k，
代入，选C．
例3先化简再求值：，其中a满足a2－a=0．
【解答】原式==（a－2）（a+1）=a2－a－2
由a2－a=0得原式=－2
（2011四川南充市，15，6分）先化简，再求值：(－2),其中x=2.
==
====
==
当=2时，==-1
方法二：===
==
当=2时，==-1.
分式方程
◆知识讲解
1．．．整式方程．．，，．：：，，：，，：．：，，，．：=．（）（），．．=4的解相同．（）（）．（）=4，，．是原方程的解．代入方程2x2－kx+1=0，．（），，．．，，，：，，，，，，，？？，：．，，（），（）．，+=1，．，，：，，，．（），，（），（）．：，，．
2.（2011山东威海，8，3分）计算：的结果是（）
A．B．C．D．【答案】
3.（2011四川南充市，8，3分）当分式的值为0时，x的值是（）
（A）0（B）1（C）－1（D）－2
4.（2011浙江丽水，7，3分）–的结果为（）
A. B.－ C.－1 D.1－a
【答案】C
5.（2011江苏苏州，7,3分）已知，则的值是
A.B.－C.2D.－2
【答案】
6.（2011重庆江津，2，4分）下列式子是分式的是()
A.B.C.D.
【答案】
7.（2011江苏南通，10，3分）设m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，则的值等于
2 B. C. D.3
【答案】A
8.（2011山东临沂，5，3分）化简（x－）÷（1－）的结果是（）
A． B．x－1C． D．
【答案】B
9.（2011广东湛江11,3分）化简的结果是
ABCD1
【答案】
10．（2011浙江金华，7，3分）计算–的结果为（）
A.B.－C.－1D.1－a
【答案】C
二、填空题
1.（2011浙江省，11，4分）当时，分式有意义．
【答案】
2.（2011福建福州，14分）
3.（2011山东泰安，22，3分）化简：（-）÷的结果为。
【答案】x-6
4.（2011浙江杭州15，4）已知分式，当x＝2时，分式无意义，则＝，当<6时，使分式无意义的x的值共有个．
【答案】6，2
5.x＝2的值是
【答案】1
6.（2011浙江省嘉兴，11，5分）当时，分式有意义．
【答案】
7.（2011福建泉州，14，4分）当=时，分式的值为零.
【答案】2；
8.（2011山东聊城，15，3分）化简：＝__________________．
【答案】
9.2011四川内江，15，5分）如果分式的值为0，则x的值应为．
【答案】－3
10．（2011四川乐山11，3分）当x=时，
【答案】3
11.若m为正实数，且，=
【答案】
12.（201，，3分）化简=________．[来源:中.考.资.源.网]
【答案】1．
13.=▲．
【答案】x
三、解答题
1.（2011安徽，15，8分）先化简，再求值：
，其中x=－中.考.资.源.网【答案】.
2.（2011江苏扬州，19（2）,4分）（2）
【答案】==[来源:Www.zk5u.com]
3.
4..
【答案】原式
5.（2011四川重庆，21，10分）先化简，再求值：(－)÷，其中x满足x2－x－1＝0．
【】原式＝(－)÷＝÷＝×＝
当x2－x－1＝0时，x2＝x＋1，原式＝1．
6.（2011福建泉州，19，9分）先化简，再求值，其中．
【答案】解：原式 4分
6分
当时，原式． 9分中.考.资.源.网
7.
【答案】解:
8.（2011湖南邵阳，18，8分）已知，求的值。
【答案】，∴x-1=1.
故原式=2+1=3
9.（2011广东株洲，18，4分）当时，求的值．
【答案】
当时，原式
10．（2011江苏泰州，19（2），4分）
【答案】＝＝＝a
11.（（2011山东济宁，16，5分）计算：
【答案】原式=………………2分
=………………4分中.考.资.源.网
=………………5分
12.，然后从不等组的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．
【答案】
=
解不等组得：－－
13.（2011重庆江津，21（3），6分）先化简,再求值:,其中·
【答案】==1-x·中.考.资.源.网代入得原式=1-=·[来源:中.考.资.源.网]
14.计算
【答案】
15.．
==．[来源:中.考.资.源.网]，得．
16.（2011广东肇庆，19，7分）先化简，再求值：，其中．
【答案】解:＝
＝
＝
当时，原式＝＝
17.(20011江苏镇江,18（1）,4分)(2)化简:
答案：（2）原式=
18.（2011重庆市潼南,21,10分）先化简，再求值：，其中a=-1.
【答案】解：原式=---------------------4分
=----------------------8分中.考.资.源.网---------------------10分
19.（2011山东枣庄，19，8分）先化简，求值：，其中．
＝……………………2分
＝
＝,………………………………………………………………………5分
当时，原式＝＝．………………………………………8分
20．（2011湖北宜昌，16，7分）先将代数式化简，再从-1，1两数选取一个适当的数作为的值代入求值.
【答案】=（3分,省略不扣分）＝x（6分）当x＝1时，原式＝1．（7分）（直接代入求值得到1，评4分），
中.考.资.源.网
分式
一、选择题
[来源:中.考.资.源.网]
A组
1、（2011年北京四中模拟26）
若分式有意义，则应满足（）
A．=0B．≠0
C．=1D．≠1
答案：D
3、（淮安市启明外国语学校2010－2011学年度第二学期期中试÷的结果是（）
A．m－1B．mC．D．
答案：A
4、（2010－2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）化简，其结果是（）[来源:中.考.资.源.网]
A． B． C． D．中.考.资.源.网
答案：D
5、（2011年浙江杭州七模）在函数中，自变量x的取值范围是A． B． C．≤ D．≥
答案：B
B组中.考.资.源.网
1、（2011浙江慈吉模拟）已知分式,当取时,该分式的值为0;当取时,分式无意义;则的值等于（）
A.B.C.D.中.考.资.源.网
答案：B
2、（2011年三门峡实验中学3月模拟）要使式子有意义，a的取值范围是（）
Aa≠0B、a＞－2且a≠0Ca＞－2或a≠0Da≥－2且a≠0D
3、（2011杭州上城区一模）下列判断中，你认为正确的是（）
A．0的倒数是0 B.是分数C.大于1 D.的值是±2
答案：C
4、（安徽芜湖2011模拟）化简的结果为
A． B． C． D．1中自变量x的取值范围是（▲）
A．x≤3B．x＝4C．x＜3且x≠4D．x≤3且x≠4
答案：A
6、（2011深圳市全真中考模拟一）化简的结果是
(A)一4(B)4(C)(13)+4
答案：A
7、（2011年北京四中33模）若分式的值为0,则x的值为
A．4 B.－4 C.±4 D.3
D[来源:中.考.资.源.网]
二、填空题
A组
1、（2011年北京四中三模）若x为的倒数，则的值为.
答案：
2、（2011年北京四中四模）化简得_____.
答案：
4．（2011年江苏连云港）若一个分式含有字母2，且当时，它的值为2，则这个分式可以是．
（写出一个即可）
答案（不唯一）；
B组
1、（2011浙江慈吉模拟）化简:=______________.
答案：
2、（2011天一实验学校二模）在函数中，自变量的取值范围是．
答案：
4、（2011深圳市三模）函数函数中自变量的取值范围是；
答案：且；
5、（浙江杭州靖江2011模拟）函数y=的自变量x的取值范围是_____________。（原创）
答案：
6、（2011广东南塘二模）若ab＝1，x＝，y＝，则xy＝。
答案：1
7、（赵州二中九年七班模拟）函数中，自变量x的取值范围是当x=________时，有意义且
三、解答题
1、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）【根据习题改编】
先化简，再求值：，其中a=－1
答案：解:原式=
当a=－1时,原式=[来源:中.考.资.源.网]，其中.
解：原式＝
＝
3、（2011年如皋市九年级期末考）化简（－）÷．
答案：（2）（－）÷[来源:中.考.资.源.网]
=×
=．
4、（2011年北京四中模拟26）
计算·
答案：解原式=
（3）（2011年江苏连云港）
答案原式………3分
………6分
(2))解：原式＝……………………………………………………………2′
＝……………………………………………………………………3′
＝…………………………………………………………………………4
中.考.资.源.网已知，的值分解因式已知，求的值
中.考.资.源.网
（2）
（3），不妨设
6、（2011年浙江杭州二模）
答案：解：
7.（浙江省杭州市瓜沥镇初级中学2011年中考数学模拟试卷）（本题满分6分）
请你先化简，再从-2，2，中选择一个合适的数代入求值.
答案：
8．先将化简，然后选取一个使原式有意义且你喜欢的数代入求值．解：原式．取x2时，原式0（说明：x可取不是0和1的任何数值）．
答案：1
B组
1、（2011年重庆江津区七校联考）先化简，再求值：，其中．
答案：
解：
＝
＝
当原式＝
2、（2011年杭州三月月考）计算：．
答案：
3、（2011年三门峡实验中学3月模拟）
先化简，再求值：，其中x=原式==
=
=2x+6
当x=时，原式=2()+6=先化简，再求值：，其中x=.解：原式==
=
=
当x=2+时，原式=，求代数式的值．
答案：原式=
=
=
，
原式原式=1
6、（2011年深圳二模）先化简，再请你用喜爱的数代入求值
解：原式＝
＝ｘ＋2－
＝
当ｘ＝6时，原式＝
7、（2011年广东澄海实验学校模拟）化简:
解：原式===
8、（2011深圳市三模）
化简求值：，其中；
解：原式
当时，原式
9、（2011深圳市模四）
先化简，再请你用喜爱的数代入求值
解：原式＝＝ｘ＋2－＝
当ｘ＝6时，原式＝(选取的x不能为0,2，﹣2)
10、（2011年黄冈市浠水县）先化简，再求值：，其中．
答案：解：原式=
=
=．
将代入上式得原式=．
11、（北京四中2011中考模拟13）先化简，在求值:，其中.
答案：原式
当时；原式
14、（浙江杭州金山学校2011模拟）（中考复习学案实数章改编）计算
答案：原式=
15、（浙江杭州进化2011一模）化简求值：，其中
答案：
原式
当时，原式
16、已知：x,y满足求代数式的值．（要求对代数式先化简，再求值．）
解：
解得： 中.考.资.源.网
=
=
将代入，则
原式==
17、（）先化简，再求值：÷，其中.
÷中.考.资.源.网[来源:Www.zk5u.com]
当x=时原式=[来源:中.考.资.源.网]
18、（2011年浙江省杭州市模2）已知，求的值，不妨设
[中.考.资.源.网，其中。
答案：
20、（2011北京四中二模）化简：
答案：中.考.资.源.网
21、（2011灌南县新集中学一模）化简求值：，其中==．
当时，原式====1．中.考.资.源.网均不为0，且，求的值。
答案：解：设＝k，则
……………①
……………②
……………③
由①+③得，2b+2c=12k,∴b+c=6k……………④
由②＋④，得4b=9k,∴b=，分别代入①，④得，a=,c=
∴
分式方程.
选择题
1、（重庆一中初2011级10—11学年度下期3月月考）某公司承担了制作600个广州亚运会道路交通指引标志的任务，原计划天完成，实际平均每天多制作了10个，因此提前5天完成任务．根据题意，下列方程正确的是()
A．B．
C．D．的解为（）
A．1B．-1C．-2D．-3
答案：D
3、（2011年浙江杭州27模）分式方程—1=的解是（）中.考.资.源.网中.考.资.源.网
2.(浙江省杭州市瓜沥镇初级中学2011年中考数学模拟试卷)关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是.
答案：a＜6且a≠4
3、（北京四中模拟）方程的解是
答案：x=5
4、（2011杭州模拟26）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是.
答案：a＜6且a≠4
5.（2011.河北廊坊安次区一模）张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，则张明平均每分钟清点图书的数量本．
答案:20
6.（2011北京四中二模）正在修建的西塔（西宁——塔尔寺）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单独完成，甲工程队比乙工程队少用10天；若甲、乙两队合作，12天可以完成.若设甲单独完成这项工程需要x天.则根据题意，可列方程为____________.
答案：
解答题
1、（2011年北京四中四模）解方程
答案：去分母，得整理后，得解这个方程，得检验：把x=－2代入它不等于0，
所以x=－2是原方程的根；把x=1代入它等于0，所以x=1是增根.
原方程的根是x=－2.
2、（2011年北京四中五模）小强老师为了今年的升中考试，他先用120元买了若干本数学复习资料，后来又用240元买同样的数学复习资料：这次比上次多20本，而且店家给予优惠，每本降价4元.请问第一次他买了多少本复习资料？
解：设第一次买了x本，（1分）则：
（3分）
∴x＝10或x＝－60（舍去）（5分）
答：（略）（6分）[来源:中.考.资.源.网]
3．（淮安市启明外国语学校2010－2011学年度第二学期期中试解方程.
答案：x=2,检验x=2是原方程的增根，原方程无解
4．（2011；；……
（1）按此规律写出关于x的第n个方程为，此方程的解为
（2）根据上述结论，求出的解。
答案：（1）；
（2）
由（1）得
∴
经检验，，是原方程的解.
5.（2011年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题.
答案：去分母，得，
去括号，得，
整理，得，
解，得，
经检验：是原方程的增根，是原方程的根.
6．．
答案：，
．
经检验知，是原方程的解．
7、（2011年北京四中模拟26）解方程
答案：解设原方程可化为。
解得当
解得解得
经检验是原方程的根。
8、（2011年北京四中模拟28）解方程：
答案：解：设，则原方程化为------------------------------------1分
则-------------------------------------------------------------------------2分
解得：------------------------------------------------------------------2分
当时，，解得--------------------------------------------2分
当时，，解得--------------------------------------------2分
经检验，原方程的解是，-----------------------------------------1分中.考.资.源.网[来源:中.考.资.源.网WWW.ZK5U.COM]
1、（2011年浙江杭州三模）杭州国际动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？
（2）如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？
答案：解：（1）设动漫公司第一次购进套玩具，由题意得：
………3分
解这个方程，得………1分
经检验，是所列方程的根．
．………1分
所以动漫公司两次共购进这种玩具600套
（2）设每套玩具的售价为元，由题意得：
………3分
解这个不等式，得………1分
所以每套玩具的售价至少是200元．………1分
9、(2011山西阳泉盂县月考)②解分式方程：－=3
②x=3
10.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)解方程：
答案：
11、先化简，再求值①其中x满足x2－3x+2=0.
①原式=x1当x=2时原式=x=2
（
解：方程两边都乘以，得：中.考.资.源.网
经检验：是原方程的根；
13.（2011年兴华公学九下第一次月考）解分式方程：（6分）
答案：，去分母： （2分）
化简：，解得：． （4分）
检验：不是原方程的解． （5分）
所以原方程的解为．
14.（2011年黄冈市浠水县中考调研试题）解方程组
答案：经检验是原方程组的解。
15.（2011浙江杭州模拟7）为了帮助地震灾区重建家园，某号召自愿捐款．请你根据两位的对话，计算出第一次捐款的人数解设第一次捐款的人数为根据题意列方程得
解得经检验是原方程的根答：第一次捐款人解分式方程：
经检验，是原方程的解中.考.资.源.网
答案：解：去分母得：1=x-1-3x+6
2x=4
x=2
检验：x=2为增根，舍去
∴原方程无解
3、（2011北京四中模拟）解方程
答案：两边都乘以得：
∴∴
检验：把代入=中.考.资.源.网是原分式方程的解。
4、（北京四中2011中考模拟12）解方程：解方程：
答案：.解：去分母,得
5、（2011浙江杭州育才初中模拟）日本在地震后，核电站出现严重的核泄漏事故，为了防
止民众受到更多的核辐射，我国某医疗公司主动承担了为日本福田地区生产2万套防辐射衣
服的任务，计划10天完成，在生产2天后，日本的核辐射危机加重了，所以需公司提前完
成任务，于是公司从其他部门抽调了50名工人参加生产，同时通过技术革新等手段使每位
工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务。求该公司原计划安排
多少名工人生产防辐射衣服？（原创）
答案：解：设公司原计划安排x名工人生产防核辐射衣服,则每个工人每天生产件，由题意得
解得
经检验是方程的解，也符合题意。
答：公司原计划安排750名工人生产防核辐射衣服
6、（2011年安徽省巢湖市七中模拟）5·12汶川大地震发生以后，全国人民众志成城．首长到帐篷厂视察，布置赈灾生产任务，下面是首长与厂长的一段对话：
首长：为了支援灾区人民，组织上要求你们完成12000顶帐篷的生产任务．
厂长：为了尽快支援灾区人民，我们准备每天的生产量比原来多一半．
首长：这样能提前几天完成任务？
厂长：请首长放心！保证提前4天完成任务！
根据两人对话，问该厂原来每天生产多少顶帐篷？设该厂原来每天生产顶帐篷，根据题意得：
．
解方程得：．
经检验：是原方程的根，且符合题意．
答：该厂原来每天生产1000顶帐篷．
C（-2m-n）2=4m-nD（a+b）-1=a-1+b-1
2分式的最简公分母是（）
A72xyz2B108xyzC72xyzD96xyz2
3用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（）
A0.00036B-0.0036C-0.00036D-36000
4如果把分式中的x,y都扩大3倍，那么分式的值（）
A扩大3倍B不变C缩小3倍D扩大2倍
5若分式的值为0，则x的值为（）
A2B-2C2或-2D2或3
6计算的结果是（）
A1Bx+1CD
7工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x人挖土，其它的人运土，列方程
①②72-x=③x+3x=72④上述所列方程，正确的有（）个[来源:中.考.资.源.网WWW.ZK5U.COM]中，分式的个数是（）
A2B3C4D5
9若分式方程有增根，则a的值是（）
A-1B0C1D2
10若的值是（）
A-2B2C3D-3
11把分式方程，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（）
A1-(1-x)=1B1+(1-x)=1c1-(1-x)=x-2D1+(1-x)=x-2
12已知，则直线y=kx+2k一定经过（）
A第1、2象限B第2、3象限C第3、4象限D第1、4象限
二填空（21分）
1写出一个分母至少含有两项且能够约分的分式
2
37m=3,7n=5,则72m-n=
4一组按规律排列的式子：，其中第7个式子是
第n个式子是
5=
6方程的解是
7若=[来源:中.考.资.源.网]2
中.考.资.源.网
四解下列各题（8分）
1已知的值2若0
五（5）先化简代数式，然后在取一组m,n的值代入求值
六解方程（12分）
12
[来源:中.考.资.源.网][来源:中.考.资.源.网]参考答案
一CACBBCCBCADB
二1如，23b，3，4-，52，63，7
三1，2，3
四1提示：将所求式子的分子、分母同时除以ab。值为
2
五化简得m+n，当m=2,n=1时m+n=3
六1x=-7,2x=1是增根，原方程无解
七设第一天捐款x人，由题意得方程
解得x=200，经检验x=200是符合题意的解，所以两天捐款人数为x+(x+50)=450
人均捐款4800÷x=24。答（略）
……2′
……1′
……1′
……1′
……1′
……1′
……1′
……1′
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