如何由数列的递推公式求通项？

如何由数列的递推公式求通项？

徐辉

知数列的递推公式求其通项是高中数学的重要内容，也是高考数学的重点、热点和难点内容之一，这部分内容往往会作为比较难的题目出现，需要结合函数知识，通过引入辅助数列，利用等差等比数列的定义，综合应用迭加、迭乘、待定系数、等价转换等方法与思想进行求解.下面我们通过举例来加以说明.

 

 

1．递推公式为型

若递推公式为型，其中，数列是正项数列。解此种类型数列，可对等式两边同时取对数，得，进而可知，即数列是首项为、公比为的等比数列，然后利用等比数列知识写出数列的通项公式，最后再写出数列的通项公式.

例1．已知数列满足，，求通项公式.

解：在等式两边取对数得，即

所以数列是以为首项，以2 为公比的等比数列，

故

.

 

 

２．递推公式为型

若递推公式为型，则只需将原递推公式化为，再以迭加法可知，于是．

例２．已知数列满足，求.

解：由题得,

所以有，，…，

上述各式迭加可得

即，．

故．

 

 

３．递推公式为型

若递推公式为型，则只需将原递推公式化为，再以迭乘法即可知，于是．

例３．已知数列满足，求通项公式.

解：由,得

则，, …，

上述各式迭乘可得

即，.

故.

 

 

4．递推公式为型

若递推公式为型，其中、为常数且，则只需把原递推公式化为（此式可化为，与递推公式比较可得），则数列是以为首项、以为公比的等比数列，于是数列的通项可知，从而可知数列的通项公式．

例４．已知数列满足，求通项公式．

解：令，与比较，可得，

于是：可写为，即，

再由知：数列是以2为首项以3为公比的等比数列，

故，

从而．

 

 

5．递推公式为型

若递推公式为，其中、为常数，，则只需把原递推公式两边同除以得，再令，则原递推公式可化为，从而此类型题可化为前一类型求解．

例５．已知数列满足，求通项公式．

解：在原递推式两边同除以得：

令，则

上式可写为：，

再由，知，

从而数列是以为首项以为公比的等比数列

故，

，

故．

 

 

6．递推公式为型

若递推公式为，其中、为常数且，只需把原递推公式化为（此式可化为，与比较可知，于是Ａ，Ｂ可知），从而此类型题可化为前一种类型求解．

例６．已知数列满足，求通项公式．

解：设

与比较可知：，解得或

①若，则

故数列是以为首项，以为公比的等比数列

所以

故，，…，

由迭加法可得：

从而．

②若，则，即数列为常数数列，

从而，由知：

则

但由知：

而，故这种情况不符合题意，应舍去．

综上所述，数列通项公式为．

 

 

从以上几例可以看出，已知数列的递推公式求其通项，需首先考察递推公式的类型，然后根据类型的不同，选用合适的解题方法。在数学解题的过程中，只有有的放矢的进行求解，才能提高解题的速度与正确率，取得比较好的解题效果。