蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数. (1)试给出f(4),f(5)的值,并求f(n)的表达式(不要求证明); (2)证明: +++…+<. 分析:(1)根据图象的规律可得f(4)和f(5)的值.根据相邻两项的差的规律可分析得出f(n)-f(n-1)=6(n-1),进而根据合并求和的方法求得f(n)的表达式 (2)根据(1)中求得的f(n)可得 的表达式,进而利用裂项的方法证明原式. 解答:解:(1)f(4)=37,f(5)=61. 由于f(2)-f(1)=7-1=6, f(3)-f(2)=19-7=2×6, f(4)-f(3)=37-19=3×6, f(5)-f(4)=61-37=4×6, 因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1), 所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n 2-3n+1. 又f(1)=1=3×1 2-3×1+1,所以f(n)=3n 2-3n+1. (2)当k≥2时, =<=(). 所以 ++++<1+[(1?)+()++()= 1+(1?)<1+=. 点评:本题主要考查了数列的求和问题.数列的求和是数列的重要内容之一,出等差数列和等比数列外,大部分的数列求和都需要一定的技巧,如裂项法、倒序相加,错位相减,分组求和等.
|