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測圜密率之有關圜形面積及體積
TheVolumeofaCylinder,aConeanda
Frustumin“CèYuánMìLǜ”
上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112
何世強HoSaiKeung
Abstract:Thisarticlenarratesthecalculationsofthevolumeofacylinder,acone,
afrustum,theareaofaringfield,etc.πisrepresentedbyinfinite
series.
提要：《測圜密率》乃清?徐有壬著。其書涉及以無窮級數表圓周率及三角
函數，與圓形及球形有關之面積及體積等。本文談及圓柱、圓錐、平
截頭圓錐等之體積；環形面積、己知圓內方積求圓積等。所涉及之π
皆以無窮級數表示。
關鍵詞：《測圜密率》、圜囷、圓錐、圓臺、環田、圜內容方。
《測圜密率》乃清?徐有壬﹝公元1800年至1860年﹞所著。有關該書之簡
介及徐有壬之生平，可參閱筆者另文〈《測圜密率》之π無窮級數表示法及其証
明〉。
圜囷求積
囷，圓柱形﹝Cylinder﹞之穀倉曰囷。《說文》：“稟之圓者。”現已知一圓
柱形穀倉之底部直徑及其高，求其體積。積，即今之謂體積。以下為圜囷圖：
-2-
本題十分簡單，圓柱體積=圓面積×高，唯《測圜密率》所用之π乃是
無窮級數，遂令人感覺《測圜密率》所採用之算法與現代不同。
設穀倉底部之直徑為D，其高為h，求其體積。其法為先置以下各數﹝楷
體為原文﹞：
底徑自乘，乘高，三之四而一，為第一數；
第1數：D2h43。
四分第一數之一，二除之，三除之，為第二數；
第2數：D2h43×41×3212?=D2h43×41×321?。
四分第二數之一，九乘之，四除之，五除之，為第三數；
第3數：D2h43×
241
×3212?×5432?=D2h43×
241
×21×543?。
四分第三數之一，二十五乘之，六除之，七除之，為第四數；
第4數：D2h43×
341
×3212?×5432?×7652?=D2h43×
341
×21×43×765?。
…
順是以下皆如是遞求，至單位下乃相併，為圜囷積。
第n數：D2h43×
141?n
×3212?×5432?×7652?×9872?×111092?×…
)12)(1(2)32(
2
???nnn
=D2h43×
141?n
×21×43×65×87×109×…
)12)(1(232???nnn
-3-
=D2h43×
)12(!)!1(24!)!32(D31????nnnn
(n≥2)。
以上各數求和得：
D2h43+D243×41×321?+D2h43×
241
×21×543?+D2h43
×
341
×21×43×765?+…
=D2h43[1+41×321?+
241
×21×543?+
341
×21×43×765?+…]。
《測圜密率》採用無約簡項表達。上式又可寫成：
D2h43(1+?
????
?n
kkkk
k
21)12(!)!1(2
!)!32(41)。
=4D2h3(1+?
????
?n
kkkk
k
21)12(!)!1(2
!)!32(41)。
因為π=3(1+?
????
?n
kkkk
k
21)12(!)!1(2
!)!32(41)，故上式即4D2hπ，此乃現時常用之
公式。
π之項數可無窮，故π亦可寫成3(1+??
???
?
21!)!1(2
!)!32(41
kkk
k)。
至於π之級數展式及其証明法，可參閱筆者另文：〈《測圜密率》之π無
窮級數表示法及其証明〉。
以上各數除第1數外皆適用於以下各題。
圓錐求積
圓錐體”﹝Cone﹞之體積為其相同高度圓柱體體積之31，即上題體積答案之
31。以下為圓錐體圖：
-4-
底徑自乘，乘高，四而一為第一數。即
第1數：4D2h。
四分第一數之一，二除之，三除之，為第二數；
第2數：4D2h×41×3212?=D2h43×41×321?。
…
其餘各數與圜囷求積相同。求其和得：
31D
2h
43[1+41×321?+241×21×543?+341×21×43×765?+…]
因為π=3[1+41×321?+
241
×21×543?+×
341
×21×43×765?+…]，
故前式=31×4D2hπ=12D2hπ。
《測圜密率》採用無約簡項，亦可表示為：
D2h41[1+41×321?+
241
×21×543?+
341
×21×43×765?+…]。
圓臺求積
圓臺，即一圓錐截去上尖之部分，今又稱之為“平截頭圓錐體”
﹝Frustum﹞。設上圓直徑為D1，下圓直徑為D2，故求圓臺體積圓即求兩圓錐形
-5-
體積之差，設上圓錐形之高為h1，下圓錐形之高為h2，兩圓之距離為h2–h1=
h，h為圓臺之高，故圓臺體積=314D22h2π–314D21h1π。以下為圓臺圖：
根據相似?對應邊成比例性質可知
2
1hh=
2
1DD，又因為h1+h=h2，所以：
hhh?11
=
2
1DD
D2h1=D1h1+D1h
h1(D2–D1)=D1h
h1=
12
1DDD?h及h2=
12
1DDD?h+h。
圓臺體積可化簡為12?(D22h2–D12h1)，將h2及h1以h、D2及D1表之式
代入，可得：
12?[D2
2(
12
1DDD?h+h)–D1
2
12
1DDD?h]
=12?[
12
122DDDD?h+
12
1222DD)DD(D??h–
12
121DDDD?h]
=12?×
12
3132
DDDD??hh
=12h?×
12
21212212
DD)DDDD)(DD(????
-6-
=12h?(D22+D2D1+D12)。
此即所謂“上下徑相乘，又各自乘，併，以乘高，四而一，為第一數”。
第1數：4h(D22+D2D1+D12)。
四分第一數之一，二除之，三除之，為第二數；
第2數：4h(D22+D2D1+D12)×41×3212?=4h(D22+D2D1+D12)×41×321?。
…
除第1數外，其餘各數與圜囷求積相同。
又因為π=3[1+41×321?+
241
×21×543?+×
341
×21×43×765?+…]，
故圓臺體積=4h(D22+D2D1+D12)[1+41×321?+
241
×21×543?+
×
341
×21×43×765?+…]。
環田求積
環田面積乃大圓面積減小圓面積即可得。若大圓圓徑為D2﹝外徑﹞，小圓
圓徑為D1﹝內徑﹞，以下為環田圖：
於是：
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環田面積=π4D22–π4D21=4?(D22–D12)=4?(D2+D1)(D2–D1)。
此即所謂：
內外徑相加為和，相減為較。和較相乘，三之四而一為第一數。
和為D2+D1，而較為D2–D1，因兩平方之差等於其和與較之積，因此：
第1數：43(D2+D1)(D2–D1)。
四分第一數之一，二除之，三除之，為第二數；
第2數：43(D2+D1)(D2–D1)×41×3212?=43(D2+D1)(D2–D1)×41×321?。
四分第二數之一，九乘之，四除之，五除之，為第三數；
第3數：43(D2+D1)(D2–D1)×
241
×3212?×5432?
=43(D2+D1)(D2–D1)×
241
×21×543?。
四分第三數之一，二十五乘之，六除之，七除之，為第四數；
第4數：43(D2+D1)(D2–D1)×
341
×3212?×5432?×7652?
=43(D2+D1)(D2–D1)×
341
×21×43×765?。
…
其餘各數與圜囷求積相同。
其和為43(D2+D1)(D2–D1)[1+41×321?+
241
×21×543?+
×
341
×21×43×765?+…]。
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圜內容方積求圜積
題目相當於：若已知圜內有一正方形，其面積為A，試以A表圜面積。以
下為圜內容方圖：
正方形面積為A，則其一邊長為√A，圜直徑平方為2(√A)2=2A，故圜面
積為41×2Aπ=21Aπ。
故《測圜密率》曰：
方積折半三之為第一數；
第1數：23A。
四分第一數之一，二除之，三除之，為第二數；
第2數：23A×41×3212?=23A×41×321?。
四分第二數之一，九乘之，四除之，五除之，為第三數；
第3數：23A×
241
×3212?×5432?=23A×
241
×21×543?。
四分第三數之一，二十五乘之，六除之，七除之，為第四數；
第4數：23A×
341
×3212?×5432?×7652?=23A×
341
×21×43×765?。
…
其餘各數與圜囷求積相同。
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若將π寫成3[1+41×321?+
241
×21×543?+×
341
×21×43×765?+…]，
則圜面積為
23A[1+41×321?+241×21×543?+×341×21×43×765?+…]
=21Aπ。
球內立方積求球積
題目相當於：若已知球內有一正立方體，其體積為E，試以E表球體積。
正立方體積為E，則其一邊長為E?，球直徑平方為3(E?)2=3E?，故球直
徑為3?E?，半徑為?3?E?。
若球體積為V，則：
V=34π(?3?E?)3
V2=916π2(?3?E?)6=916π2×641×27E2=41×91π227E2=91π2272
2??????E
=32
2??????E
π2。
《測圜密率》曰：
立方折半自乘，二十七因之為第一數；
第1數：272
2??????E
。
副置第一數，三除之四除之為第二數；
第2數：272
2??????E
×4312?。
四因第二數，五除之六除之為第三數；
-10-
第3數：272
2??????E
×4312?×6522?。
九因第三數，七除之八除之為第四數；
第4數：272
2??????E
×4312?×6522?×8732?。
十六因第四數，九除之十除之為第五數；
第5數：272
2??????E
×4312?×6522?×8732?×10942?。
二十五因第五數，十一除之十二除之為第六數；
第6數：272
2??????E
×4312?×6522?×8732?×10942?×121152?。
順是以下皆如是遞求，至單位下乃相併，為球積之自乘冪，開平方得球積。
故球體積之平方為：
V2=272
2??????E
(1+4312?+4312?×6522?+4312?×6522?×8732?+
4312?×6522?×8732?×10942?+4312?×6522?×8732?×10942?×121152?+…)。
開平方可得：
V={272
2??????E
(1+4312?+4312?×6522?+4312?×6522?×8732?+
4312?×6522?×8732?×10942?+4312?×6522?×8732?×10942?×121152?+…)}
?。
《測圜密率》有以下一術以求π2。
第五術為“圜徑冪求圜周冪”。設圜徑冪為D2，則圜周冪為π2D2。以下為
求π2D2之法：
圜徑自乘九之為第一數；
第1數：9D2。
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副置第一數，三除之四除之為第二數；
第2數：9D2×4312?。
四因第二數，五除之六除之為第三數；
第3數：9D2×4312?×6522?。
九因第三數，七除之八除之為第四數；
第4數：9D2×4312?×6522?×8732?。
十六因第四數，九除之十除之為第五數；
第5數：9D2×4312?×6522?×8732?×10942?。
二十五因第五數，十一除之十二除之為第六數；
第6數：9D2×4312?×6522?×8732?×10942?×121152?。
…
第n數：9D2×4312?×6522?×8732?×10942?×121152?×…
nnn2)12()1(
2
??
=9D2??!2122
2
n
kn
k??
?。
順是以下皆如是遞求，至單位下乃相併為圓周之自乘冪。
若D=1，而n之值相當大，則上式各數之和趨向π2。
即π2=9(1+4312?+4312?×6522?+4312?×6522?×8732?+
4312?×6522?×8732?×10942?+4312?×6522?×8732?×10942?×121152?+…)
π2=9(1+????
?
?
?n
k
n
kn
k
2
2
2
!2
12)。
-12-
下表為以上之級數算至第6項：
算式值
99
9×4312?0.75
9×4312?×6522?0.1
9×4312?×6522?×8732?0.016071428
9×4312?×6522?×8732?×10942?0.0025
9×4312?×6522?×8732?×10942?×121152?0.0004734848484
合計9.8690449128484
上表右欄最下一列為π2之近似值。
若前題球體積之平方為：
V2=272
2??????E
(1+4312?+4312?×6522?+4312?×6522?×8732?+
4312?×6522?×8732?×10942?+4312?×6522?×8732?×10942?×121152?+…)
=32
2??????E
×9(1+4312?+4312?×6522?+4312?×6522?×8732?+
4312?×6522?×8732?×10942?+4312?×6522?×8732?×10942?×121152?+…)
=32
2??????E
π2。
注意本題之π2所等於之無窮級數無作出証明。
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