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从奇妙的遗产问题到五猴分桃 ——谈借数解题 民间流传着一个奇妙的遗产分配故事。 从前，有一位老人，临终前对他的三个儿子说：“我的遗产就那19头牛，现在就留给你们了。牛是农家之宝，你们不可卖了分钱，更不可宰了分肉。根据你们各人对家庭的贡献不同，就这样分了吧：老大分一半，老二分四分之一，老三分五分之一。” 办完老爸的后事，面对父亲的遗产，哥儿仨傻了。依据父亲的遗言，哥儿仨分得的牛数分别是 19× 19×1/4=4.75(头) 19×1/5=3.8(头) 这样的牛数怎么分得开？ 哥仨只好去问村上的智者。智者说：“我借1头牛给你们牵去分了吧。”结果皆大欢喜，哥仨分得的牛数不但比原来的多，而且都是整数。哥仨得到的牛数依次是 （19+1）×1/2=10(头) （19+1）×1/4=5(头) （19+1）×1/5=4(头) 更让哥仨惊喜的是10+5+4=19(头),从智者那借来的牛仍旧原份没动归还了他，又正好分完了父亲留下的牛。你说奇不奇？ 奇在哪里呢？就因为1/2+1/4+1/5=19/20，所以，尽管智者借了头牛给他们凑成20头足数，哥仨也只能分去其中的19头。 除了运用这种奇妙的借数解题法，还能不能运用别的方法解决这个问题呢？能。运用按比例分配的方法也能解决这个问题。 10+5+4=19 19×10/19=10(头) 19×5/19=5(头) 19×4/19=4(头) 相比智者的借数之法,前者可就简便多了。 借数之法虽然算理深奥，但是算法简单，尤其在解复杂的问题时，能化繁为简，使乱麻一样的线索（条件）变得有条不紊。 看下面这道题： 这个问题很多人都做过，都没找到一个简便的解法。题目难在每次平分都多了1个，这就使问题复杂难缠了。其实，换个思路想一想，还是有化繁为简的方法的。把“多了1个”理解为“少了4个”，这样运用借数之法先借给猴子们4个桃子，那么，每次就都能平分了。而且每只猴子分得的桃数既不会增加，也不会减少。 设这堆桃子至少有X个，借给它们4个后，就共有（x+4）个。五只猴子分别得到a、b、c、d、e个桃子（包括吃了的1个）。 依题意知，除第一只猴子外，每只猴子分桃前，面前的桃子数都是前一只猴子拿走的桃子数的4倍。于是有 a=(x+4)×1/5
b=(x+4) ×1/5×4×1/5=(x+4)×4/25 c=（x+4）×4/25×4×1/5=(x+4)×16/125 d=(x+4)×16/125×4×1/5=(x+4)×64/625 e=(x+4) ×64/625×4×1/5=(x+4)×256/3125 因为e是整数，而256与3125是互质数，所以（x+4）是3125的倍数。 令x+4=3125k(k是正整数),当k=1时,x+4值最少,此时 X+4=3125, x=3121。 上题“奇妙的遗产问题”与这道“五猴分桃问题”有异曲同工之妙，都能运用借数之法轻松地破解了，且借来的牛或桃只是参与了整个分配过程，帮助了解题,简化了解题过程,一起到最后自身都完好无损。这就是借数解题的妙处。 |
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