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一段无厘头的对话，暗含曲折的推理，在哥德巴赫大神的指引下，居然能神奇地得出结论。禁不住想：数字到底是人造的、还是神造的？ ---- 进入正题 ---- 鬼谷子是孙膑、庞涓的老师，他从2到99中选出两个不同的整数，把两数之和S告诉了庞涓、把两数的乘积M告诉了孙膑。 1、庞涓对孙膑说：虽然我无法确定这两个数是什么，但我肯定你也不知道这两个数是什么。 2、孙说：我本来不知道，但是你这么说，我就知道了。 3、庞说：既然你知道了，那我也就知道了。 问：这两个数字是什么？ （题目到此戛然而止，如果是在考试的话，是不是有种被雷劈中、然后坠入万丈深渊的感觉？） ---- 推理步骤 ---- 其实就是推导三句话的数学含义 1、庞涓知道两数之和S，就敢说孙膑一定不知道，这意味着：这个和数S不是两个素数(质数)的和，否则孙膑就有可能猜出答案。 例如，庞涓的和S不能是16，否则万一两个数是5+11，孙膑拿着乘积M=55肯定能猜出来。再如，和也不能是15，因为可能是2+13，孙膑拿着26也能猜出来…等等。 因此这句话大大限制了庞涓可能拿到的和数S。原则上可以从2+3一直试到98+99，试出所有可能的和。但不用这么麻烦，哥德巴赫猜过：所有大于4的偶数都可以写成两个素数的和，所以庞涓的和S只能是奇数(一下子少了一半吔)。 (顺便说一句，哥猜还没有被最终证明，但计算机科学家们好像已经通过粗鲁的硬算，验证到10的100次方以内都是成立的。哥大神，你这么会猜，能猜六合彩不？) 但奇数和仍然有很多，怎么能简便写出所有可能的和数{Si}呢？ 我家的王可意小朋友说：奇数和必然是一个偶数+一个奇数(聪明，有前途)，所以鬼老师必然是选了一奇一偶的两个数。而且，别忘了，这两个数不能同为素数。 不妨来试一下，如果偶数大于等于4，它本身就不是素数，这样对另外一个奇数就没有任何限制了，也就没法缩小可能的和数{Si}的范围。 好在有个特别二的2，它既是偶数，又是素数，庞涓的和数S总是可以拆分为2+一个奇数，这时奇数就必须是非素数，即9、15、21、25、27、33…，而可能的和数{Si}就可以简便地写出来，即11、17、23、27、29、35… 这就是第一句话告诉我们的，庞涓同学的和数S只能是上面这些数当中的一个。 （微言大义啊，抹把汗，继续第二句） 2、孙膑同学作为兵圣孙子的后代，电光火石之间已经猜到可能的和数{Si}，又风驰电掣地将每个和拆分为所有可能的两个数，再得出对应的可能的乘积{Mj}si（即每一个Si都对应一组Mj）。 例如，如果庞涓和是11，可能的积就是2*9=18、3*8=24、4*7=28、5*6=30。如果庞涓和是17，可能的积就是2*15=30、3*14=42、4*13=52、5*12=60、6*11=66、7*10=70、8*9=72…… 接下来再跟鬼老师告诉自己的乘积一对比，只有一个能对上，不是它，还能是谁？ (孙膑心想，怎么这么巧，我手上的乘积刚好只出现了一次，而不像30=5*6也=2*15这样出现一次以上。如果我的乘积是30，就猜不出到底是5*6、还是2*15了。嗯，这手气得去买体彩啊！结果孙膑买彩票输惨了，回来给鬼老师哭诉，鬼老师哭笑不得：这那是手气呢？明明是题目给定的条件，不然哪里有解？这个月吃泡菜吧。) 可气的是，各位看官，我们不知道这孙子的孙子的孙子到底拿到的乘积M是多少，而只出现一次的乘积有很多，例如2*9=18、3*8=24、4*7=28、4*13=52、4*19=76……都只出现一次(大家动手试试，可以将庞涓可能的和数{Si}所对应的可能的积{Mj}si都写出来)，所以我们还是不知道答案，还得再看庞涓第三句话怎么说。 3、更气人的，庞涓这会也猜出答案了。他知道他的和数S，他只需将和数S拆分为两个数并得出乘积，如果有且仅有一个乘积是与其它所有{Mj}si都不相同的，就可以判定了。但苍天啊、大地啊，我们既不知道庞涓的和数S，也不知道孙膑的乘积M，这咋办呢？ 这时奇迹出现了，冥冥之中，自有定数。若你写出所有可能的和数{Si}所对应的所有可能的乘积{Mj}si，就会发现，只有和数S=17这一组中不重复的乘积是唯一的，即4*13=52，所有其它和数S'对应的乘积组中，都有多个不重复的乘积，例如和数=11这一组有2*9=18、3*8=24、4*7=28都是唯一的乘积，和数=23这组有4*19=76、7*16=112都是唯一的乘积。如果摊上这些和数的话，庞涓是猜不出来的。所以答案只可能是4和13！ ---- 后话 ---- 能一直看到这里，您辛苦了！ 1）这道智力题是我见过推理最曲折的。从大学开始，20多年里，我至少做过4次，每次重做的时候，都完全想不起原来是怎么做的了。不知是谁想出这么目眩神迷的题，数论史上应该记下他的名字。 2）之前上小学5年级的儿子学习奥数，我们花了半天的时间研究出答案。虽然他做不出来，但学校讲过素数的概念，所以大致能听懂，而且还推了两步。相信我，到高中毕业，数理化大不了就这么难了，其他都是渣渣，怕什么，加油！ 3）很多人讨厌奥数，觉得坑害了孩子的童年，但其实最重要的是家长要花时间陪着孩子，无论是奥数、还是弹钢琴，都可以像游戏一样，没有太大压力，甚至还可以有趣。如果家长以为给孩子报个培训班，让老师去教，家长可以偷懒，这才是最坑的。当然，很多奥数班老师也挺坑人的。 4）曾有一位理论物理学家很不屑研究全球暖化的“环境专家”的数理能力。作为本科学物理、后来改行跟全球暖化沾边的人，必须承认他说的是事实。太多的“专家”严重缺乏基本的概念和逻辑思维锻炼。大学生和研究生也缺乏，早点意识到问题，还能补救。 5）如果小学生、初中生能看懂，而家长朋友看不懂，这对小朋友们是多大的精神鼓励啊！:-) 正如卡尔萨根所说：好奇是天性，理解是乐趣 |
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