科学公园 : 给高中生的狭义相对论

2014-04-01  宝轮散人

 

专题作者:锁相

相对论与量子力学是现代物理的两大支柱,前者取代了高速运动下的经典物理,后者取代了微观下的经典物理。相对论在现实生活中的应用远少于量子力学,但似乎相对论更被科学爱好者所熟知,这也许跟其创建者爱因斯坦的传奇经历有关,也跟相对论的入门知识比较系统化有关。相对论分为狭义相对论与广义相对论,前者讨论的是做匀速运动的惯性参照系,后者讨论做任意运动的参照系。

本系列文章是关于狭义相对论的科普,预设读者是对物理感兴趣的高中毕业生,因此文章中将尽量不出现数学公式和过多的物理术语。部分必须出现的术语将在文章末尾的“名词解释”部分进行简单阐述。关于狭义相对论产生的思想根源将在此系列文章的最后一篇“牛顿时空观的局限与广义相对论”中介绍。

(一)相对论的两个基本假设

爱因斯坦在实验观察的基础上,提出了狭义相对论的理论假设,人们将之归纳为相对性原理和光速不变原理。相对性原理比较符合人们的理解,也符合物理学家的美感,毕竟物理学是寻找规律的科学。光速不变原理则完全颠覆了经典认识,但是,基于实验观察,麦克斯韦方程组(详见名词解释)的结论被一一验证了,所以我们必须承认光速不变,并把它作为理论的基石。

相对性原理:物理学的定律在所有惯性系中具有不变的形式。

光速不变原理:光的传播速度为常数c,与惯性系的运动速度无关,或者说,跟光源的速度无关。

我们这一系列的故事里需要地面,一辆火车,一辆玩具车,一位乘客,一只蚂蚁,一个灯泡。火车在地面上匀速地开往前方,车厢里面乘客坐着,看着一辆载着蚂蚁的玩具车在车厢里面朝火车头方向匀速运动。火车的速度是50/秒,乘客看见玩具车的速度是1/秒。我想大家应该可以达成共识,玩具车对于地面的速度是51/秒。灯泡是一个只出现一次的道具,在特定时间和特定位置成为光源。

图零:经典力学速度叠加示意图,运动的火车里有一个静坐的乘客和一辆行驶的玩具车。(说明:图标来自网络。为了画图和示意方便,图中的比例不合常理。)

我们开始从相对性原理和光速不变原理开始考虑我们经典思维的矛盾之处。在下面的讨论中,依据图一的示意图讨论,这时候的乘客和蚂蚁都当成一个没有体积的点,他们在坐标轴yz上是重合的,从车厢内看,乘客静止,使用一个跟车厢相同的x轴,我们称之为x1,蚂蚁运动,它使用的x轴我们成为x2。当x轴上蚂蚁经过乘客的瞬间,蚂蚁、乘客和灯泡因为都是质点,在y轴和z轴上重合,在某个时间点,这三个物体空间上重合在一起。灯泡的x轴我们用x3表示,在接下来的讨论中,我们会发现,x3的定义方式不重要,灯泡跟着乘客静止也好,跟着蚂蚁运动也好,甚至以任意速度运动也好,我们得到的结论是一样的。当蚂蚁、乘客和灯泡三者在空间中位置重叠时,灯泡亮了无限短的时间,于是灯泡产生一个光点。光随时间从一个点变成一个光球面,并且光球面逐渐扩大,随着时间向远方传播。

当玩具车经过乘客的瞬间,小灯泡在蚂蚁和乘客交叠的位置上亮了一下。对于乘客而言,灯泡发出的光波是以乘客为中心的一个球面,这个球面沿着径向前进的速度就是光速c,这一点大家都可以想象得到。那么,由于相对性原理,蚂蚁也觉得那一瞬间发出的光波也是一个球面。假如蚂蚁不动,蚂蚁和人的感觉到一模一样的球面在向远方延伸。然而,蚂蚁在玩具车上,蚂蚁惯性系里面的球面永远以随玩具车运动着的蚂蚁为球心,跟乘客惯性系里面的球面只会重叠一次。因为光速不随惯性系改变,蚂蚁和乘客各自有不同的光球面,在这个问题上没有统一的认识。同样的一个光源,在相对运动的两个观察者眼中,形成了两个不一样的光球面。

这似乎没有什么大不了的,但是我们现在假如玩具车的车头有一个光探测器,蚂蚁和探测器的距离为d,那么在玩具车的惯性系里面,探测器将在d/c的时间间隔后探测到信号。在乘客的惯性系里面,他的光球面与蚂蚁的光球面不重叠,将在更晚的时间后才能被探测器感知。探测器探测到了一个光信号这件事情,本来是一件单一而确定的事情,然而,根据相对论,光探测这件事情在两个参照系中并不会同时发生。不同的光球面将造成蚂蚁和乘客对时间认识的不统一。

图一:蚂蚁和乘客重叠时灯泡发光,蚂蚁、乘客和灯泡被认为体积无限小,只占据空间一个点,并且它们在y轴和z轴上的位置是重合的

图二:红圈的半径除以光速表征了蚂蚁的惯性系中光波球面到达探测器的时间,绿色的线代表了探测器所在位置

图三:篮圈的半径除以光速表征了乘客的惯性系中光波球面到达探测器的时间。(说明:图标来自网络。为了画图和示意方便,图中的比例不合常理。

上面的例子比较的是一个事情发生的时刻,但是我们在生活中更多体会到的是时间长短,也就是两个时刻的间隔,我们接下来考虑玩具车的顶部可以安置一面镜子。蚂蚁手中一个光源向镜子发射光波,蚂蚁和镜子的距离为L,那么发出信号到接收信号的时间在蚂蚁的惯性系里面是2L/c,如图四所示。但是在乘客眼中,这个探测器是一直往前走的,乘客眼中的光路如图五所表示,可以想象,乘客眼中这件事情发生的时间间隔必然比蚂蚁眼中的时间间隔来得大。这个例子给出了相对论与经典力学的矛盾之处,经典力学中,因为速度可以叠加,所以从不同角度看这个问题时,虽然看到的光路行进距离不一样,但是速度也是不一样的,因此蚂蚁和乘客感觉到的时间间隔是一致的。比如说,在开篇的例子中,玩具车对于车厢的速度是1/秒,而对于地面的速度是51/秒。而相对论中,因为光速不变,所以对于乘客和蚂蚁,他们不存在一个统一的绝对时间。假如我们是地面上的旁观者,我们也将感受到与乘客不一样的时间,上面讨论的乘客和蚂蚁的例子可以适用于任何做匀速运动的惯性系。

图四:蚂蚁惯性系中发射和接收的时间间隔

(二)从时间膨胀到长度收缩

我们已经了解到,相对论改变了人们对经典时空观中时间这一概念的认识,接下来我们讨论相对论对于空间这一概念的影响。

我们再让玩具车从乘客身边开过。玩具车的头尾经过乘客时,乘客的钟分别给这两个事件计时。同样的,蚂蚁的钟也分别计时。根据之前提到的时间膨胀,t2-t1将会比t2’-t1’来得小。请注意我们举了一个与之前光反射截然相反的例子。在之前光反射的例子中,跟着蚂蚁一起移动的钟在玩具车的惯性系中空间位置不变,所以测出来的是本征时间,得到一个较小的时间差。而现在,本征时间钟所在的位置是下图中绿线所在位置,也就是说,本征时间存在于乘客所在的惯性系中了。所以,在现在的例子中,t2-t1是本征时间,也是可能有的最短时间。

图六:在此例中,因为绿线所在位置的钟代表本征时间,所以本征时间存在于乘客所在的惯性系。(说明:图标来自网络。为了画图和示意方便,图中比例不合常理。)

因为运动的相对性,乘客感觉到蚂蚁的运动速度等于蚂蚁感觉到乘客的运动速度。于是,乘客和蚂蚁对距离的判断可以通过时间间隔乘以运动速度得出,那么,乘客测量到的玩具车长度将小于蚂蚁测量到的玩具车长度。由于蚂蚁随着玩具车移动,蚂蚁测量到的长度是本征长度,也就是长度的最大可能值。简单地说,运动的尺子变短了。

如果说我们想要测量长度,那么我们需要一把尺子,之前的蚂蚁和乘客的相对运动让人头昏眼花,于是达成共识最好办法是在静止状态进行测量。我们将选择一个待测量物体在里面保持静止的惯性系,里面测量出来的物体长度被称为本征长度。在之前的例子中,只有乘客能测量到车厢的本征长度,只有蚂蚁能测量到玩具车的本征长度。这把尺子的定义不在乎什么技术手段,并且,根据光速不变原理,我们可以用光一秒内前进的距离作为定标的手段。一秒这个时间的确定,我们可以通过之前介绍的本征时间的方法来定义,在这里就不再详细介绍了。

狭义相对论对时空的影响可以简单地归纳为尺缩时延。具体的影响大小可以通过之前蚂蚁在玩具车中反射光波的方法给予定量计算。所需要的计算只是勾股定理和简单的高中数学,过程列在下图中,可以看到,考虑了相对论后,时间和长度变化的系数是

1?(v/c)2????????

。光速是3E8 /秒,飞机的速度可以是500公里/小时,约为140/秒,相应的相对论修正大约小于正常值10-13次方。我们常说的纳米只是米的-9次方。所以在地球上较快的常见运动物体上,相对论效应非常非常小,这也就是我们的直觉与经典力学吻合的原因。

图七:公式中的c为光速,v为小车移动速度,L为镜子到探测器距离,Dt’为蚂蚁惯性系中事件发生时间间隔, Dt为乘客惯性系中事件发生的时间间隔。(说明:图标来自网络。为了画图和示意方便,图中的比例不合常理。)

时间膨胀与长度收缩的通用表达式可以通过洛伦兹公式给出。在经典力学中,一个坐标系到另一个坐标系的变换是伽利略变换。伽利略变换明显不适用于狭义相对论,因为在伽利略变换中,速度是没有上限的,并且时间膨胀与长度收缩也是跟伽利略变换矛盾的。为狭义相对论准备的数学工具叫洛伦兹变换,这是根据变换的线性性要求(不在此系列文章中介绍了)和四维空间间隔不变性要求(将在后续的相对论中的因果关系四维空间与E=mc2两篇文章中介绍)所得到的。

下面的文章,我们进一步了解相对论中的时空观,考察的对象是相对论中的因果关系,我们看看时间旅行在物理世界里是否会发生,两个观测者之间何时会相互影响。

名词解释:

 

伽利略变换

经典力学中从一个惯性系到另一个惯性系的坐标变换。在火车中,如果用地面坐标表示车厢内物体的坐标,只需要加上火车速度*时间(地坐标=火车坐标+火车速度*火车行驶时间,默认在时间为零时,地面坐标与火车坐标零点重叠)。这个变换还意味着,物体相对于火车的速度、物体相对于地面的速度,两者正好差一个火车速度,默认不同的惯性系共用一个绝对时间,一个物体的长度在不同惯性系中也有一个绝对长度。具体的表达式如下:

xyzt====x+vtyzt

洛伦兹变换

满足在不同惯性系中光速不变的变换。速度不再是象伽利略变换中一样的简单叠加,否则速度将没有上限。这个变换中不存在绝对时间概念,时空是混合在一起的。洛伦兹变换的物理意义就是此系列文章所介绍的狭义相对论。具体的表达式如下:

xyzt====x+vt1?v2/t2???????yzt+xv/c21?v2/t2???????

公式符号说明:以上的公式中,x’, t’代表车厢中的坐标,xt代表以地面为基准的坐标。当这两个坐标的零点重合时,定义tt’都为零。火车沿着x方向以v的速度运动。

 

图五:乘客惯性系中发射和接收的时间间隔因为光速不变,乘客惯性系去衡量蚂蚁惯性系的事件时,将获得一个放大的时间,即所谓的时间膨胀。(说明:图标来自网络。为了画图和示意方便,图中的比例不合常理。)

在上面的描述中,蚂蚁和乘客不是完全对等的。蚂蚁的惯性系中,它用在同一个位置的钟衡量发射和接收这两个时间间隔。在乘客的惯性系中,他用两个不同位置的钟衡量时间间隔。蚂蚁的钟在这个例子中是特别的,被称为本征时间间隔,因为这个钟在其参照系中位置不变,不受位置变化的影响。本征时间间隔是最短的时间间隔。在狭义相对论中,经典理论的同时不再一定是绝对的,两事件之间时间间隔也不再一定是绝对的,在不同参照系之中,最特殊的那个间隔最短,称为本征时间间隔。

在这篇文章中,我们从相对论的两个基本假设开始,导出了相对论中时间膨胀的概念。简单地说,运动的钟走得更慢。这个已经被大量的高能实验所证实,比如能衰变的粒子,在高速运动中的寿命更长。接下来,我们将介绍长度收缩的概念。

名词解释(给有兴趣深究的朋友们)

参照系

参照系指的是一个参照空间和里面计时的钟,比如说一辆车子和车内的时钟。机械运动通常指的是物体A位置在空间的变化,然而我们需要一个对照的物体B才能知道A的运动。通常我们以地面作为参照物,人行走时便相对地面运动了,连接于地面的三维空间为参照空间,也常常忽略的概念直接称为参照系。如果人坐在密封的行进火车里,对比基于火车的参照系,人是静止的,对比基于地面的参照系,人是运动的。我们常常用一个参照系里面的三组直角坐标系来定义一个物体的位置,在火车中,我们可以拿车厢的一个角落作为原点(000),以车厢的长、宽、高定义三个坐标轴,以车厢内的时钟来衡量时间流逝的快慢。这个的概念是广义的,不受限于计时的技术方式,可以是单摆钟,也可以是原子钟。上面的例子中,人在火车的坐标系中,其坐标不随时间改变,在基于地面的坐标系中,其坐标至少有一个随时间改变。

惯性系/惯性参照系

牛顿第一定律存在的参照系。牛顿第一定律:物体保持静止或者沿直线做匀速运动的状态,除非有外力迫使它改变状态。简单地说,惯性参照系是经典力学可以适用的参照系。有时候也简称为惯性系。马赫提出,惯性系就是相对于整个宇宙平均加速度为零的参照系。常用的KF4惯性系就是基于1535颗恒星平均静止位型的参照系。为什么需要在参照系之外考虑惯性系?想想我们常作为惯性系的地球,由于地球自转,赤道上的100高空上自由落体下降时会偏东2厘米,这就是参照系不完全满足牛顿第一定律的例子。如果我们以太阳为惯性系,地球可以被认为是一个转动的参照系,而不是惯性系,那么落体偏东问题就可以在经典力学的领域得到理解。

麦克斯韦方程组

一组描述电磁学基本规律的方程组,由麦克斯韦提出。在静电学和静磁学的基础上,科学界认识到了变化着的电场和磁场可以互相激发,并且在理论上预言了电磁波的存在,指出光就是一种电磁波,电磁波在真空中的速度为光速。在麦克斯韦方程组中,电磁波的速度表达式与参照系无关,暗示着光速在任何参照系都是等大的,更详细的说明见本系列文章最后一篇牛顿时空观的局限与广义相对论。麦克斯韦方程组中电的部分和磁的部分不是对称的,因为在实验上,独立的电荷早已为人熟知,但是孤立的磁荷并不存在。然而,麦克斯韦方程组的物理意义在电荷磁荷之上,它揭示了电磁场可以是独立于电荷外的独立存在,有自己的能量和动量。

(三)相对论中的因果关系

尺缩时延可以由洛伦兹公式给出具体的表达式,在介绍洛伦兹公式出现的条件时,我们提到了间隔不变性,我们先从熟悉的空间距离讲起。

高中介绍过立体几何,自然也知道三维直角坐标系,坐标系的原点可以标示为(0,0,0),假如有一把尺子,一端在(x1,y1,z1)原点上,另外一端的坐标在(x2,y2,z2)上,那么

(x1x2)2+(y1y2)2+(z1z2)2???????????????????????????

就是尺子的长度,也是三维空间中的空间距离。当我们随便使用另外一个三维坐标系时,因为三维空间属于经典力学,经典力学中一个物体的长度是绝对的,所以这个空间距离保持一致。

 

通过之前的介绍,我们知道在狭义相对论中,因为长度收缩,这样的空间距离不变性不再成立。由于狭义相对论中空间和时间的概念不是完全分开的,三维空间已经不足以描述物理规律,在(x,y,z)之外,我们需要加上第四个分量时间t,所以四维空间中空间距离不是不变量,加上时间的空间间隔才是不变量,间隔的平方定义为

s2=c2t2–(x2+y2+z2)

。有时候这个规律直接称为四维空间间隔不变性。时间乘以光速是为了得到距离的单位,才可以与xyz进行比较,这一点不难想象。而为什么时间乘以光速后与空间距离差了一个正负号,解释请见文章末尾的时空坐标变换的必须条件

 

我们可以通过间隔的定义来理解相对论时空观中的因果关系。我们有两个事件,事件1发生在坐标原点(0,0,0,0,事件2发生在(x,y,z,t)(更准确的四维空间坐标定义将在后续的四维空间与E=mc2中介绍)。首先我们考虑s2=0的情况,这时候间隔的一端(事件1)到间隔的另外一端(事件2)等于0。这就意味这两个事件可以用光联系在一起,比如说,在原点发出一束光(事件1),t时间后,(x,y,z)接受到这束光(事件2)。

 

为了画图方面,我们省略了z轴,以x,yct为轴用图八示意。省略z轴是因为实在没办法简单画四个自由度的图。图八中,你站在坐标轴的原点,标着space的平面是x轴和y轴构成的此时此刻的三维空间。沿着时间轴ct向上的部分还未发生,是读者所在地的未来,沿着时间轴ct向下的部分已经发生,是读者所在地的过去。空间间隔=0的面就是圆锥面,所以这个图也被称之为光锥图。因为间隔的划分是绝对的,不随惯性系改变而改变,所以图中的圆锥面在任何惯性系中都是圆锥面,继续啰嗦下去,这个圆锥面内的空间在任何惯性系中永远在圆锥面内,圆锥面外的空间在任何惯性系中永远在圆锥面外。请注意,接下来除了双生子佯谬的讨论,我们只使用了一个坐标系,不存在相对运动的概念。

图八:光锥。图片来源:wikipediaLight cone

管锥面代表了光可以联系最可能间隔,而光速是速度的上限,所以圆锥面外的四维空间是与原点无法联系的四维空间。事件发生在圆锥面外,代表了事件与读者是绝对异地,不论在哪个参照系中观测,事件与读者的现在不可能在同一地点发生。事件发生在上圆锥内,代表了事件发生在读者的绝对未来。事件发生在下圆锥内,代表了事件发生在读者的绝对过去。所谓的绝对未来和绝对过去,这里面就给出了因果关系的限制条件。因果关系,在物理的语言里面,得满足因和果之间的时间先后顺序。

 

我们通过图九来举例光锥与因果律之间的联系。事件A发生在时间=0的异地:读者现在打个喷嚏,事件A就当做我也同时打个喷嚏(这时候我们俩不相对运动,打喷嚏可以有同时发生这样的概念),我们无法判断两个喷嚏之间的因果关系,只能说你和我肯定在两个不同的地方呆着。事件B发生在时间=txy平面原点:事件B读者打完喷嚏后擤鼻子,这个因果关系对于你是显然的,事件B只能在光锥原点的时间顺序之后发生,也就是说,在绝对未来的区间里发生。事件C发生在异地异时间,比如说太阳上发光强度的一个扰动。如果时间t为你喷嚏的1分钟后,那么C在光锥之外(因为太阳光到地球要8分钟),从某些参照系上看,太阳的扰动可能发生在你打喷嚏之前。因为喷嚏和太阳扰动之间的间隔时间小于光能传播的时间,所以这两件事情谁先谁后是无法真正比较的。换句话说,如果你打喷嚏能影响太阳发光强度的话,也只能影响八分多钟后的太阳,然后再过个八分多钟地球上的人才能感觉到。

图九:绝对异地与绝对未来示意图。

我们再在光锥中用双生子佯谬理解绝对未来。双生子佯谬指的是一个钟绕闭合回路回到原点时,它所经历的总时间小于原地点静止的钟所经历的时间。一个经典的例子是:一对双胞胎,哥哥呆在地球上,弟弟在宇宙飞船中高速运动,因为运动的钟变慢,最终哥哥觉得弟弟比较年轻,弟弟觉得哥哥比较年轻。当弟弟返回地球上时,谁比较年轻只能有一个答案,而不能是相对的。从双生子佯谬的定义上,大家不难猜出弟弟比较年轻。在双生子佯谬中,从因果关系考虑,飞船航行和归来必然在飞船离开地球之后。当飞船回到地球时,相当于回到空间坐标原点,回到ct坐标轴上,所以飞船在绝对未来的圆锥内。因为飞船的速度无法超越光速,所以飞船在光锥图中橙色轨迹也只能在绝对未来的圆锥内。

 

最后,我们思考一下时空旅行为什么不可能。因为间隔不变性在任何惯性系内都是一致,所以光锥的绝对未来部分和绝对过去是截然分开的。不论我们用多快的速度旅行,在相对论的知识体系内,我们都无法回到过去。回到过去也是跟因果关系相违背的,至于平行宇宙的说法,没有实验证据可以证明其存在。

 

下一章节,我们将讨论相对论中的四维空间,并由此引出为什么物体的速度无法超越光速和著名的质能关系式E=mc2

 

名词解释:

 

时空坐标变换的必须条件

1,此变换是线性的,这是惯性系的要求,本系列文章不再详细介绍。

2,此变换满足间隔不变性,间隔的平方定义为:

s2=c2t2–(x2+y2+z2)

。这一点来自光速不变原理。假如两个惯性系在原点重叠时,原点处发出一束光,在两个坐标系中,

c2t2=(x2+y2+z2)

c2t′2=(x′2+y′2+z′2)

都必须满足。所以s的定义满足光速不变的要求。至于为什么一定是s这样的表达式,还需要从线性变换的条件进行推导,本系列文章不再详细介绍。

(四)四维空间与质能方程

前面几节由光速不变一下子跳到了任何运动的速度都无法超越光速,也简单地提到时间是四维空间的第四维,但是并不是以(x,y,z,t)的形式出现。这篇文章将通过四维空间的概念解答这一系列问题。

从间隔不变性开始考虑,由光速不变原理,我们可以得到
是可以相比较的量。这两者之间的正负号区别不能省略。一个负数开方将得到虚数单位i,所以我们可以猜测时间与空间对应时以ict为对等,所以四维空间的时空矢量为(x,y,z,ict)。洛伦兹变换可以表示为一个变换矩阵,将一个坐标系的(x,y,z,ict)变为另外一个坐标系的(x’,y’,z’,ict’),就跟在三维空间中转动坐标轴所做的变换一样。

 

我们在高中力学中除了位移之外还学到速度、加速度、动量等,它们都可以有三维的表达式,在四维空间中,它们也需要新的表达式。考虑到我无法不用微积分和线性代数将这件事情讲明白,接下来的关于四维空间一些常见矢量的定义不再详细说明推导过程,大致的原则根源于四维协变量的定义,在文章末尾有简单的介绍。这些四维表达式,都必须满足在速度远小于光速时,相对论的结果与经典力学的结果一致。类似于时空坐标,这些四维矢量都由一个三维矢量和一个标量叠加而成。

1、四维速度

为三维空间中的速度,c为光速,i为虚数单位, 。只考虑相对运动速度v,延x方向时,从一个惯性系速度变换到另一个惯性系速度的表达式为 ,有兴趣可以推导一下,当光源相对地面的运动速度为任意值时,其光相对地面的速度依然为c,不论光往哪个方向运动。当vx=v=c时,这是一个趋近于零/零的极限,然而无穷小和无穷小之间也是可以比较的,答案也是c。加速度并没有速度这样简单的表达式,因此加速度在相对论中没有牛顿力学中的地位。相对论中的力由动量决定,但是不再和加速度成正比关系,这也是高中物理非得介绍力的几种定义方法背后的原因。

2、相对论动量

为三维空间中的动量,W为能量。如果我们用四维速度定义四维动量, ,因为速度的四个分量是简单的ic,所以动量的第四个分量是 ,也就是说 。当v远小于光速时,可以近似为 (这是高中数学缺乏的数学工具泰勒展开,不具体介绍了)。

 

非常明显,第二项就是熟悉的动能项,第一项mc2是个常数,我们称之为静止质量。在经典力学中,常数不重要,而在相对论中,这不再是可以省略的常数,它反映了能量与质量之间的重要关系,也常常被称为质能关系E=mc2。我曾见到好几个大学边上有餐馆以E=mc2命名了,由此可估计这条公式在人们心中的地位。核武器的理论基础也来源于此。鉴于狭义相对论的历史悠久性和相对简单,理论并不是制造核武器的困难所在,核原材料和具体的技术方法才是限制个人制造核武器的障碍。从能量的表达式上,我们可以看到为什么光速是所有物体的速度上限:当速度趋向于光速时,能量将无穷大,所以我们永远无法将一个有质量的物体加速到光速。反过来说,达到光速的光子静止质量为零。

3、四维势矢量

这是麦克斯韦方程组在相对论中表示所需要的矢量。因为超出高中物理太多,只介绍一点,前面三个分量跟磁场有关,后面第四个分量跟电场有关。电场可以用标量表示而磁场用矢量表示的原因在于电场有独立存在的电荷,而磁场没有独立存在的磁荷。这个矢量,多多少少暗示着孤立磁荷是不该存在的。

 

对狭义相对论更进一步的介绍将需要更多的数学工具,如张量和矩阵等概念,这将超越高中生的知识范畴,我们关于狭义相对论的介绍就止于此。

 

名词解释:
四维协变量

惯性系之间的变换相当于四维空间的转动。如果在洛伦兹变换这样的转动下,能保持不变的量称为四维协变量,它们可以是标量、矢量或者张量。已经介绍过的时空间隔s就是一个不变的标量。如果方程能写出协变量的表达式,那么这个方程所表达的物理规律就满足相对性原理。

(五)牛顿时空观的局限性与广义相对论

通常,牛顿时空观的局限性需要在狭义相对论之前介绍,以引出经典力学发展到狭义相对论的逻辑关系。本系列将这部分内容挪到了最后,是为了让读者能快速了解狭义相对论。前面已经陆陆续续介绍了牛顿时空观,只是我们在这里将内容最终汇总一下,并顺便介绍一下广义相对论。

新规律是建立在实验观测的基础上的:经典力学的建立得益于对天体运动的观测,量子力学的建立得益于热辐射的测量,相对论的建立也是基于对光速的测量。新规律指导了新技术的出现:经典力学是工业时代的基础,量子力学是信息时代的基础,相对论的意义,也许到了太空时代才能体会得更加深刻。当代的爱因斯坦也许是许多物理民科对自己的期许,然而,我从来没有见过一个物理民科的理论建立于系统严格的新实验数据之上,这也就是民科之所以为民科,民科理论与相对论这种历史性突破的区别。同时,许多人津津乐道于爱因斯坦的专利局职员身份,却往往忽略了他有一个物理博士头衔,他经历过严格而正式的科学训练。美国2012年博士头衔的比例是总25岁以上人口的3%,放到一百年前的欧洲,博士可以用凤毛麟角来形容。

 

我们继续回到之前使用的乘客、蚂蚁的例子。假如玩具车上的蚂蚁有长度概念,也有时间概念,当玩具车从乘客的脚边经过时,蚂蚁会说,那人的鞋长30厘米,跟我的车子一样长。乘客也会比较,这玩具车的长度正好等于我的鞋子长度。因为蚂蚁和人都是用眼睛测量的,也就是通过光来测量的,而光的速度比玩具车的速度大非常多,所以在经典力学里面,他们可以确定在某一个时刻,玩具车和鞋正好头尾都平齐。当玩具车驶离几米之后,假如生物能用眼睛精确测量长度的话,不管对于谁,鞋和玩具车的长度依然保持不变。

 

以上这些正常人该有的想法就属于牛顿时空观。在蚂蚁所在的运动空间也好,在乘客所在的运动空间也好,空间跟蚂蚁乘客无关,跟他们是否在运动无关。经典力学可以存在于一个绝对空间中,这个空间是一个三维平直框架,延伸到整个宇宙,它规定了物体的大小和位置。这个三维空间框架在日常生活中可以以地面或者地心为基准,也可以以太阳为基准,甚至可以一千多个恒星的平均静止的位置为基准。玩具车也好,火车也好,就是这个大三维框架中里面一个运动的小框架,可以借助于大三维框架表示出来。所以,玩具车和火车所感觉到的空间,本质上是同一个空间。所以玩具车处在不同位置时,乘客不会觉得玩具车的长度有所不同。并且,玩具车对于地面的速度可以由它在车厢内的速度和火车的速度简单叠加。

 

这样子的绝对空间观点隐含着的概念是绝对时间。经典力学中,时间是均匀地流逝着,这正是人直观所感觉到的。假如玩具车上的时间和车厢的时间流逝速度不一致,那么蚂蚁和人分别记录下玩具车分别到达鞋头和鞋尾的时间差,再来乘以玩具车的速度,那么他们对玩具车的长度就会有不一样的答案。因为运动是相对的,蚂蚁和人对于车子速度大小的理解只能是一致的,如果有绝对空间,那么玩具车行驶与否不该改变蚂蚁和人对玩具车的长度理解,于是蚂蚁和人必须体验到一个流逝不变的绝对时间。

 

这样子的想法在一百年前是合理的,放在现在就有些不合适了。打破绝对时空观的工作就是麦克斯韦方程组。相对论并不是单纯拍着脑袋想出来的,也不是没有爱因斯坦、同时代的人就一定建立不了它,相对论有其出现的必然性。麦克斯韦方程组指出,光在真空中的速度是一个常数。那么如果火车是光速,玩具车对于火车是光速,按照我们之前的理解,玩具车对于地面就该是两倍的光速。如果玩具车是一个光子,那么光子也是两倍光速,这就跟麦克斯韦方程组矛盾了。

 

这样的矛盾也许有几种可能:一、麦克斯韦方程组只在某一特殊空间才成立;二、经典力学的时空观和速度叠加方式是正确的,但不适用于电磁波;三、有广义的速度叠加方式,同时满足我们的经典力学和麦克斯韦方程组。历史上人们先倾向于第一个可能性,最终,相对论解决了这个矛盾,告诉我们第三项才是正确答案。

 

除了麦克斯韦方程组之外,根据牛顿力学,假如没有阻力,我们可以无限加速一个高能粒子,经典理论中粒子的速度没有上限,然而在实践上,加速器中高能粒子存在一个速度上限,也就是光速。前两年一个大型加速器报道观察到超过光速的粒子引起了极大轰动,然而,这个结果最后被证明是错误的。

 

由于麦克斯韦方程组突出了牛顿时空观的局限,狭义相对论必须出现。它早已是牢固建立起来了的理论了,是现代核物理和高能物理的基础理论。狭义相对论解决了惯性系下的时空问题,对于更复杂的参照系,需要通过广义相对论理解。受限于数学工具,我没法介绍广义相对论,在我知道的少数书上,广义相对论都是从张量分析和黎曼几何开始,这甚至超过了一个物理本科生的数学基础。广义相对论的基础是等效原理:一个以恒定加速度运动的参照系与在引力场中静止的惯性系是完全等价的。这一个原理的详细说明需要介绍引力质量和惯性质量的等价性,这一点,也是建立在实验基础之上的。

 

之前提到的双生子佯谬就是一个应该用广义相对论解决的问题。在弟弟所在的宇宙飞船上,因为从出发到回程必须经历加速和减速的过程,不满足惯性系的要求,所以不能直接套用狭义相对论。宇宙飞船和地球因为一个是惯性系,一个不是惯性系,双生子的时间流逝不是对等的。这个结论已经在绕地球的飞行实验中证实。如果假设加速减速的时间很短,飞船大部分属于惯性系,那么可以将飞船停下来的瞬间作为中间的参考状态,此时飞船与地球在同个惯性系中,所以飞船前后的时间流逝可以用这个点来比较,那一瞬间可以用地球上哥哥的时间来考虑时间流逝,于是飞船上弟弟会更加年轻。

 

从狭义相对论和广义相对论建立以来,其理论一直得到发展,也不停得到新的实验验证。在已知的物理知识体系中,相对论是现代物理最重要的分支之一。给高中生的狭义相对论系列到此结束,谢谢阅读。


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