初中数学分类讨论题目精选
题型1.考查数学概念及定义的分类
规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。
例题1．求函数的图象与x轴的交点？
点拔：二次项系数中含有参数k，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对分类讨论.
解：（1）当时，即时，此函数为，故其与x轴只有一个交点（1，0）
（2）当时，此函数为二次函数，.①当时，Δ＝0.抛物线与x轴的交点只有一个.，交点坐标为（1，0）②当时，Δ＞0，函数与x轴有两个不同的交点..
综合所述：当或时，函数图像与x轴只有一个交点（1，0）；当且时，函数图像与x轴有两个不同交点.
变式思考：已知关于x的方程
（1）若方程有实数根，求k的取值范围
（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求ΔABC的周长.
易误：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC的腰，故应考虑其所有可能情况.
解：（1）∵方程有实数根.∴①当k＝0时，原方程变为，方程有实数根.
②当时，，解之得，∴故k的取值范围是.
（2）①若b=c，则，解得，此时方程的根为b＝c＝2，又∵a＝3，满足三角形三边关系，∴
②若a=b或a=c，则，∴，此时方程另一根为：，满足三角形三边关系，∴.
题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.
规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.
例题2、如图（1）边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）一次函数的图像随的不同取值变化时，位于的右下方由和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）.
（1）当取何值时，S＝3？
（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S与的函数图像.
点拔：设与正方形ABCD的交点为M，N，易知ΔDMN是等腰RtΔ，只有当MD＝时，，那么，此时求得，第（2）问中，随着的变化，S的表达式发生变化，因而须分类讨论在不同取值时S的表达式，进而作出图像.
解：（1）设与正方形ABCD的交点为M，N，
∵的解析式，在x轴，y轴上所截线段相等.
∴ΔDMN为等腰RtΔDMN
∵S＝3，∴
又∵
∴MD＝ND＝，∴ON＝OD－DM＝4－，
即D点的坐标为（0，4－）
∴，即当时，S＝3.
（2）∵直线与轴的交点M的坐标为
∴当0≤t＜2时，
当2≤t＜4时，
当t≥4时，S＝4
根据以上解析式，作图如下图（图2）
变式思考：如图所示，在平行四边形ABCD中，，
∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.
①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值.
易误：讨论变量的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.
解：（1）当点P运动2秒时，AP＝2cm，由∠A＝60°，知AE＝1，PE＝.∴.
（2）①（i）当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ＝t，AF＝，QF＝，AP＝t+2，AG＝1+，PG＝.
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为.
（ii）当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动，设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ＝t，AF＝，DF＝4－，QF＝，BP＝t－6，
CP＝10－t，PG＝（10－t）.
而BD＝，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为.
（iii）当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动，设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ＝20－2t，OF＝（20－2t），CP＝10－t，PG＝（10－t）.
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为.
故S关于t的函数关系式为
②（附加题）当0≤t≤6时，S的最大值为；
当6≤t≤8时，S的最大值为.
当8≤t≤10时，S的最大值为
所以当t＝8时，S有最大值为.
题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.
规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.
例题3、在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合），
设BO＝x，ΔAOC的面积为.
（1）求关于的函数解析式，并写出函数的定义域.
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O
与圆A相切时ΔAOC的面积.
点拔：（1）过点A作AD⊥BC于D点∵AB＝AC＝
∴AD＝=2
∴OC=BC－BO=4－x，故ΔAOC的面积与的函数解析式为即（2）由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，故解题中须分类讨论.
解：（1）过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠BAC=90°AB=AC=
∴BC=4AD＝BC＝2
∴
即
（2）当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点O与点D不重合时，在RtΔAOD中，
∵⊙A的半径为1，⊙O的半径为x
∴①当⊙A与⊙O外切时
解得
此时，ΔAOC的面积
②当⊙A与⊙O内切时，解得
此时ΔAOC的面积
∴当⊙A与⊙O相切时，ΔAOC的面积为.
变式思考、如图，直线与x轴，y轴分别交于点M，N
（1）求M，N两点的坐标；
（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，
为半径的圆与直线相切，求点P的坐标.
易误：本题是一道函数与圆的综合题，注意第（2）
小问涉及到分类讨论，与直线相切时的情况，本题可分为两大类，四小类，切勿漏掉，解决此类问题关键是把握标准，正确的分类.
解：（1）当x＝0时，y＝4.当y＝0时，，∴x＝3.
∴M（3，0），N（0，4）
（2）①当点在y轴上，并且在N点的下方时，设⊙与直线相切于点A，连接A，则A⊥MN.
∴∠AN＝∠MON＝90°，∵∠NA=∠MNO，∴△AN∽△MON，∴
在Rt△OMN中，OM＝3，ON＝4，∴MN＝5.
又∵，∴，∴点坐标是（0，0）
②点在x轴上，并且在M点的左侧时，同理可得点坐标是（0，0）
③当在x轴上，并且在M点的右侧时，设⊙与直线相切于点B，连接，则∴OA//.∵OA＝，∴.
∴，∴点坐标是（6，0）
④当点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得.
∴.∴点坐标是（0，8）
综上，P点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）.
题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类
规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.
例题4、如图所示，抛物线的顶点为A，直线与y轴的交点为B，其中m＞0.
（1）写出抛物线对称轴及顶点A的坐标
（用含有m的代数式表示）
（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数.
（3）动点Q在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由.
点拨：（1）对称轴，顶点A（m,0）（2）把x＝m代入得∴点A（m,0）在直线上，直线与y轴相交，则B点的横坐标为：；B点坐标为，由三角函数知识可得：
即∠OAB＝60°（3）因为全等的对应关系，因而需进行分类论，找准对应关系，从而解决问题。
解：（1）对称轴为直线，顶点A（m，0）
（2）把代入函数
∴点A（m,0）在直线上.当x=0时，
∴∴∠OAB=60°
(3)如图，以P、Q、A为顶点的三角形与ΔOAB全等，共有以下4种情况：
①∴点的坐标为，代入抛物线解析式得：∴∴
②∴
∴∴
③∴点的坐标为代入抛物线解析式得：∴∴
④∴点的坐标为，代入抛物线解析式得：∴∴
分析可知，关于抛物线对称轴的对称点均符合题意；
综上所述，符合条件的P点分别为；（0，3），，，.
变式思考、已知抛物线的顶点坐标为（4，－1）与y轴交于点C（0，3），O是原点.
（1）求这条抛物线的解析式.
（2）设此抛物线与x轴的交点A、B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点，使以O，B，P为顶点的三角形与ΔAOC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
易误：解决此类问题，必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心，对两三角形的对应角（或边）进行分类讨论，逐步找到符合题意的结论.
解：（1）可设.∵交y轴于点C（0，3），∴3＝16a－1，∴.
∴抛物线的解析式为，即.
（2）存在
当y＝0时，则，∴∴A（2，0），B（6，0）.
设P（0,m），则OP＝.在△AOC与△BOP中，
①若∠OCA＝∠OBP，则△BOP∽△COA，∴.
OP＝，∴.
②若∠OCA＝∠OPB，则△BOP∽△AOC，∴.
，∴.
∴存在符合题意的点P，其坐标为（0，4）、（0，－4）、（0，9）或（0，－9）
图（2）
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