二轮复习真题演练
阅读理解型问题
1．（2013·义乌）在义乌市中小学生“我的中国梦”读数活动中，某校对部分学生做了一次主题为：“我最喜爱的图书”的调查活动，将图书分为甲、乙、丙、丁四类，学生可根据自己的爱好任选其中一类．学校根据调查情况进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
请你结合图中信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 200
名学生；
（2）被调查的学生中，最喜爱丁类图书的学生有 15
人，最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的 40
%；
（3）在最喜爱丙类图书的学生中，女生人数是男生人数的1.5倍，若这所学校共有学生1500人，请你估计该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有多少人？
1．解：（1）共调查的学生数：
40÷20%=200（人）；
（2）最喜爱丁类图书的学生数：200-80-65-40=15（人）；
最喜爱甲类图书的人数所占百分比：80÷200×100%=40%；
（3）设男生人数为x人，则女生人数为1.5x人，由题意得：
x 1.5x=1500×20%，
解得：x=120，
当x=120时，5x=180．
答：该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有180人，120人．
2．（2013·天门）垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：
根据图表解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在抽样数据中，产生的有害垃圾共 3
吨；
（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占 ，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为5 000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？
2．解：（1）观察统计图知：D类垃圾有5吨，占10%，
∴垃圾总量为5÷10%=50吨，
故B类垃圾共有50×30%=15吨，
故统计表为：
（2）∵C组所占的百分 比为：1-10%-30%-54%=6%，
∴有害垃圾为：50×6%=3吨；
（3）5000×54%× ×0.7＝378（吨），
答：每月回收的塑料类垃圾可以获得378吨二级原料．
3．（2013·河北）某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：
①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？
②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．
3．解：（1）D错误，理由为：20×10%=2≠3；
（2）众数为5，中位数为5；
（3）①第二步；② = =5.3，
估计260名学生共植树5.3×260=1378（颗）．
4．（2013·海南）如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（-5，1）、（-1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（3）点C1的坐标是 （1，4）
；点C2的坐标是 （1，-4）
；过C、C1、C2三点的圆的圆弧 的长是 π
（保留π
4．解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）C1（1，4），C2（1，-4），
根据勾股定理，OC= ，
过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆， 的长= π．
故答案为：（1，4）；（1，-4）； ．
5．（2013·龙岩）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB= 1，AD= ．
（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为 ；
（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE 于点F，则四边形B′FED′的面积为 ；
（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）
5．解：（1）∵△ADE反折后与△AD′E重合，
∴AD′=AD=D′E=DE= ，∴AE= ；
（2）∵由（1）知AD′= ，
∴BD′=1，
∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，
∴B′D′=BD′=1，
∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE= ，
∴四边形ADED′是正方形，
∴B′F=AB′= -1，
∴S梯形B′FED′= （B′F D′E）·B′D′= （ -1 ）×1= - ；
（3）∵∠C=90°，BC= ，EC=1，
∴tan∠BEC= ，
∴∠BEC=60°，
由翻折可知：∠DEA=45°，
∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，
∴ = ·2π· = ．
故答案为： ； - ．
6．（2013·北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分．
（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为 0.03
平方千米；
（2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；
（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位 数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系．根据小娜的发现，请估计，将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）．
第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表：
| 日接待游客量 （万人次） | 单日最多接待游客量 （万人次） | 停车位数量 （个） |
第七届 | 0.8 | 6 | 约3000 |
第八届 | 2.3 | 8.2 | 约4000 |
第九届 | 8（预计） | 20（预计） | 约10500 |
第十届 | 1. 9（预计） | 7.4（预计） | 约 3700 |
6．解：（1）∵月季园面积为0.04平方千米，月季园所占比例为20%，
则牡丹园的面积为：15%× =0.03（平方千米）；
（2）植物花园的总面积为：0.04÷20%=0.2（平方千米），
则第九届园博会会园区陆地面积为：0.2×18=3.6（平方千米），
第七、八界园博会的水面面积之和=1 0.5=1.5 （平方千米），
则水面面积为1.5平方千米，
如图：
；
（3）由图标可得，停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为500，[ww~w.z%^z&.c@om]
则第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为：500×7.4≈3700．
故答案为：0.03；3700．
7．（2013·六盘水）（1）观察发现
如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP BP的值最小，做法如下：
作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP BP的最小值．
如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP PE的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP PE的最小值为 ．
（2）实践运用
如图（3）：已知⊙O的直径CD为2， 的度数为60°，点B是 的中点，在直径CD上作出点P，使BP AP的值最小，则BP AP的值最小，则BP AP的最小值为 ．
（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．
7．解：（1）观察发现
如图（2），CE的长为BP PE的最小值，
∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点
∴CE⊥AB，∠BCE= ∠BCA=30°，BE=1，
∴CE= BE= ；
故答案为 ；
（2）实践运用
如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，
∵BE⊥CD，
∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，
∵ 的度数为60°，点B是 的中点，
∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，
∴∠EOC=30°，
∴∠AOE=60° 30°=90°，
∵OA=OE=1，
∴AE= OA= ，
∵AE的长就是BP AP的最小值．
故答案为 ；
（3）拓展延伸
如图（4）．
8．（2013·盐城）阅读材料
如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．
解决问题[
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出 的值（用含α的式子表示出来）
8．解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：
如答图②所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC ∠COF=90° ∠COF，∠COD=∠DOF ∠COF=90° ∠COF，[www@..c~^o*#m]
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF与△COD中，
，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD．
（2）答：（1）中的结论不成立．
如答图③所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴ =tan30°= ，∠BOC=90°．
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF 的中点，
∴ =tan30°= ，∠DOF=90°．
∴ = ．
∵∠BOF=∠BOC ∠COF=90° ∠COF，∠COD=∠DOF ∠COF=90° ∠COF，
∴∠ BOF=∠COD．[
在△BOF与△COD中，
∵ = ，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴ ．
（3）如答图④所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，
∴ =tan ，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，
∴ = tan ，∠DOF=90°．
∴ =tan ．
∵∠BOF=∠BOC ∠COF=90° ∠COF，∠COD=∠DOF ∠COF=90° ∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵ =tan ，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴ ．
9．（2013·日照）问题背景：
如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．
（1）实践运用：
如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP AP的最小值为 ．
（2）知识拓展：
如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE EF的最小值，并写出解答过程．
9．解：（1）如图，作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，
此时PA PB最小，且等于AE．
作直径AC′，连接C′E．
根据垂径定 理得弧BD=弧DE．
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠C′AE=45°，
又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°，
∴∠C′=∠C′AE=45°，
∴C′E=AE= AC′=2 ，
即AP BP的最小值是2 ．
故答案为：2 ；
（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，[来源:Zxxk.Com]
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′·sin45°=AB·sin45° =10× =5 ，
∴BE EF的最小值为5 ．
10．（2013·衢州）【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点 M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
10．（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立．
理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）解：∠ABC=∠ACN．[
理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴ ，
又∵∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
11．（2013·咸宁）阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC ，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
11．解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE ∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC ∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．（2分）
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
（2）作图如下：
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE= ∠BCD=30°，
∴BE= CE= AB．
在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°，
∴ ，
∴ ．
12．（2013·南京）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似．
（1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ；其中，互为顺相似的是 ①
；互为逆相似的是 ②③
．（填写所有符合要求的序号）．
（2）如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不与点A，B，C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．
12．解：（1）互为顺相似的是 ①；互为逆相似的是 ②③；
（2）根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：
第一种情况：如图①，点P在BC（不含点B、C）上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2，分别使∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似．
第二种情况：如图②，点P在AC（不含点A、C）上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M．
当点P在AM（不含点M）上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似．[来源:中*#育^&%网]
第三种情况：如图③，点P在AB（不含点A、B）上，过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AC于点D、E．当点P在AD（不含点D）上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AQP1与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ACB，∠BP2Q2=∠BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2
都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE（不含点E）上时，过点P3只能画出1条截线P3Q′，使∠BP3Q′=∠BCA，此时△Q′BP3与△ABC互为逆相似．
