57×57=3249
注：①两位数的平方，十位数字是5的也可用此方法。
582=3364
58×58=（5×5+8）×100+8×8=3364
②两位数的平方，十位数是4的，其方法为25减去其个位数的补数，后面连上补数自乘的积。如：472=（25-3）×100+32=2200+9=2209
四．
被乘数和乘数的个位数字相同，十位数字之和不等于10的两位数乘法。
方法：（1）乘数的个位数字与被乘数的个位数相乘得一积；
（2）两十位数字之和与一个位数字相乘得一积；
（3）乘数的十位数与被乘数的十位数相乘得一积：
如：23×43=989
26×36=936
五．
被乘数和乘数的十位数字相同，个位数字之和不等于10的两位数乘法：
方法：（1）乘数的个位数与被乘数的个位数相乘得一积。
（2）乘数的个位数字加上被乘数的个位数字之和与被乘数的十位数字相乘得一积；
（3）乘数的十位数与被乘数的十位数相乘又得一积。
注：① 任意两位数的平方，也可用此方法
如： 12×12=144
31×31=961
26×26=676
六．
②两位数的平方十位是9的，其方法为：原数减去其补数，后面连上补数自乘的积。
如：
922=8464
972=9409
七．
被乘数和乘数的十位数字相差为1，个位数字之和等于10 的两位数乘法：
方法：校用两平方差公式：（A+B）（A—B）=A2—B2
如： 52×48=2496，分解为
(50+2)(50—2)=502—22=2496
注：①个位数字之差为2，4，6，8，10的两个数相乘也可用此法：
24×28=（26-2）×（26+2）=262-22=676-4=672
②此方法还可以推广到多位数乘法：
592×608=（600-8）（600+8）=6002—82=359936
八．
任意两位数乘法：
方法：（1）被乘数的十位数与乘数的个位数相乘之积加上被乘数的个位数字与乘数的十位数相乘之积的和得一数（即交叉相乘积相加×10）。
（2）两个位数字相乘得一数，两十位数字相乘得一数×100。
（3）三位数相加就是所求之积。
如：24×35=22+620=840
24×35=（2×5+3×4）×10+2×3×100+4×5=220+600+20=840
以上各种方法，可应用小数乘法，计算结果按“计数定位法”定出小数点的位置（多位数乘法也如此）。
多位数乘法
一．
运算中涉及的问题：
1.
什么叫补数？
凑数整十、整百、整千、整万……的数，叫补数。即：两数之和等于10、100、1000、10000……，它们互为补数。
2.
找补数的方法：前位凑九，末（个）位凑十。
3.
补数的特点：某数是几位，补数一定是几位。例如：
98的补数的02、9985的补数是0015等。
4.
补数乘法的定位：乘数是几位，被乘数的个位向右移几位就是积的个位。
二．
运算方法：
1.
112=121、 1112=12321、
111112=1234321……类推。
如果不是11相连，可把它们变成11相连、分二步计算
如：2222×5555=1111×2×1111×5=1234321×10=12343210
2.
任何数乘以11，首尾（末）两位数字不变，中间的数字就是相邻的两数之和：
如：63×111=6993
三．
如果被乘数是99相连（不管多少位），都在被乘数的首位减去乘数的补数、然后再在所得差的后面把补数昉上。如：
（1）
99999×99999=9999800001（99999的补数是00001）
（2）
999×65=96435（65的补数是35，999—35=964）
（3）
999999×726485=726484273515（726485的补数是273515）
（999999—273515=726484）
四．
如果被乘数遇到前4后5中间数字是大数相连时，
其方法为：前4本位减补数一半，后5本位加补数一半，中间是9不动，中间数字不足9的在下位按0补加补数次数，最后再扩大10倍。如：4995×758=3786210（785的补数是242、一半121）
五．
两个乘数都接近数百、数千……的乘法：
1、
两乘数都比数百数千数万……小的计算方法：
①
一乘数减去另一乘数的补数（接近100数字的乘以1，接近200数字的乘以2……）。
② 在所得的数后面补一些0（接近数百的补两个0，数千的补三个0……）。
③ 再加上两个数的补数相乘之积。
例：1、987×986=973182（987的补数是013、986的补数是014）
987—014=973000+182=973182
987×986=（987—014）×1000+013×014=973000+182=973182
例2、 1968×1972=3880896
1968×1972=（1968-28）×2×1000+32×28÷=3880000+896=3880896(1968的补数是32、1972的补数是28)
2.
两个数都比数百、数千……大的。
其方法：
（1）
将一乘数的零头与另一乘数相加（接近100数的乘1，接近200的乘2……）
（2）
在所得数的后面补一些0同（上）
（3）
再加上两个数的零头之积。
例：1、112×105=11760
112×105=（105+12）×1×100+12×5=11700+60=11760
例2、204×215=43860
204×215=（204+15）×2×100+4×15=43800+60=43860
3、一个乘数比数百、数千、整万……大而另一个乘数比数百、数千、数万……小。
其方法：
（1）
先将较大数的零头与较小数相加，（接近100的数乘以1，接近200的数乘以2……）
（2）
在所得数的后面补一些0（接近数百的数补两个零、接近数千的补三个
零……）
（3）
最后再减去较大数的零头与较小数的补数之积。
例：①256236（489的补是11）
524×489=（489×24）×5×100-24×11=256500-264=256236
②1015×998=1012970
1015×998=（998+15）×100—15×2=1013000-30=1012970
六、任意多位数乘法：（按大中小组进行计算）
1、2、3为小数组，4、5、5为中数组，7、8、9为大数组（一般把数位少的做作被乘数）。
（1）
凡被乘数遇到1、2、3时，其方法为：
是1：下位减补数一次（或1倍）
被乘数
是2：下位减补数二次（或2倍）
是3：下位减补数三次（或3倍）
|
例如：231×79（79的补数是21）
算序：
①在被乘数个位数字1的下位减去补数一次（21），得23—079（破折号前为被乘数，破折号后为乘积，下同）；
②在被乘数十位3的下位减去补数三次（21×2=63）得2-2449；
③在被乘数百位2的下位减去补数二次（21×4=42）得18249（乘积）。
|
231
- 021
23079
- 063
22449
-042
18249
|
（2）凡是被乘数的各位数字遇到4、5、6时，其方法为：
是4：本位减补数一半，下位加补数一次
被乘数
是5：本位减补数一半
是6：本位减补数一半，下位减补数一次
|
例如：456×758=345648（758的补数是242）
算序：
①
在被乘数个位6的本位减补数一半121.下位减242得45—4548；
②
在被乘数十位数5的本位减121，得4—42448；
③
在被乘数百位4的本位减121，下位加242得345648（积）。
|
456
- 121
- 242
454548
- 121
442448
-121
+ 242
345648
|
（3）凡是被乘数的各位数遇到7、8、9时，其方法为;
是9：本位减补数一次，下位加补数一次。
被乘数
是8：本位减补数一次，下位加补数二次。
是7：本位减补数一次，下位加补数三次。
|
例如：987×879=867573 （879的补数是121）
算序：
①
被乘数个位7的本位减121，下位加363得98-6153；
②
被乘数十位8的本位减121，下位加242得9-76473；
③
被乘数百位9的本位减121，下位加121得867573（积）。
|
987
- 121
+ 363
986153
- 121
+ 242
976473
-121
+ 121
867573
|
（4）凡是被乘数遇到989697等大数联运算时，其方法为：
被乘数后位按10补加补数，前位遇到9不动，前位遇到6、7、8时，按9补加补数次数（均由下位补加补数次数），最后被乘数首位减补数一次。
|
例如：9798×8679=85036842 (8679的补数1321)
算序：
①
被乘数个位8的下位加2642，得979-82642；
②
被乘数十位9不动；
③
被乘数百位7的下位加2642，得9-8246842；
④
被乘数的首位减1321，得85036842（乘积）。
|
9798
+ 02642
97982642
+
02642
98246842
-1321
85036842
|
注：如果被乘数首位不是大数时，首位是1，下位减补数二次；首位数是2，下位减补数三次；首位是3，本位减补数一半；下位加补数一次，首位是4，本位减补数一半；首位是5，本位减补数一半，下位减补数一次。
说明：下位减补数五次（或5倍），等于本位减补数一半。下位减补数十次（或10倍）等于本位减补数一次。
破华口诀
加一。减一。逢五加五。
1、2、3依次减，4、5、6减一半，7、8、9当10看，除法加，乘法减，遇到0全不算。
多位数除法
一、
速算法
除法的目的是求商，但从被除数中突然看不出含有多少商时，可用试商，估商的办法，看被乘数最高几位数含有几个除数（即含商几倍），就由本位加补数几次，其得数就是商。
二、
计算定位：
除数是一位，个位为本位，除数是二位，十位为本位，除数是三位，百位为本位，……类推。
三、
小数组：
1倍：由本位加补数一次。
被除数含商
2倍：由本位加补数二次。
3倍：由本位加补数三次。
|
例如：7995÷65=123，（65的补数是35）
算序：
①被除数前两位79中含除数65一倍，加补数一次（35），得1-1495（破折号前为商，破折号后为被除数，下同）；
②被乘数149中含除数二倍，加补数二次（35×2=70）得12-195；
③被除数195含除数三倍，加补数三次（35×3=105）得123（商）。
|
7995
+35
11495
+ 70
12195
+ 105
12300
|
四、
中数组：凡是将除数含有除数4、5、6倍时、其方法为：
4倍：前位加补数一半，本位减补数一次。
被除数含商
5倍：前位加补数一半，本位不动。
6倍：前位加补数一半，本位加补数一次。
|
例如：35568÷78=456（78的补数是22）
算序：
①
355中含有除数4倍，所以前位加11，本位减22，得4-4368；
②
436中含除数5倍，前位加11，本位不动，得45-468；
③
468中含除数6倍，前位加11，本位加22，得456（商）。
|
35568
+11
- 22
44368
+
11
45468
+ 11
+
22
45600
|
五、
大数组：
9倍：前位加补数一次，本位减补数一次。
被除数含商
8倍：前位加补数一次，本位减补数二次。
7倍：前位加补数一次，本位减补数三次。
|
例如：884352÷896=987（896的补数是104）
算序：
①8843中含除数9倍，前位加104，本位减104，得9-77952；
②7795中含除数8倍前位加104，本位减208，得98-6272；
③6272含除数7倍，前位加补数一次104，本位减补数三次（104×3=312（得986（商））。
|
884352
+ 104
- 104
977952
+ 104
-
208
986272
+ 104
-
312
986000
|
《几何证题口诀》
几何证题并不难，首先过好审题关；
字斟句酌细钻研，命题反复看几遍；
看图正确利思考，已知求证要写全；
知识除向更重要，证明方法要优选；
扣紧题意析疑难，根据结论寻条件；
字迹工整层次清，论证步骤写周全。
一些数的和
一、
自然数和：1+2+3……+n=1/2n（n+1）
二、
奇数和：1+3+5+……+（2n-1）=n2
三、
偶数和：2+4+6+……+2n=n（n+1）
《实用知识》
一、
速算地亩（以米为单位）
宽的一半再加宽，得下和数乘长边。
向前移动三位点，地亩面积容易算。
注：如果是三角形、梯形及其它图形，可以这样计算。
面积一半加面积，向前移动三位点。
二、
量猪重
胸围（厘米）2×体长（厘米）÷7600=猪重（市斤）
三、
量牛或羊的体重：
胸围（厘米）2×体长（厘米）÷5400=体重（市斤）
四、1-14岁正常人的身长和体重：
身长（厘米）=（年龄×5）+80
体重（市斤）=（年龄×4）×+16
数学游戏
一、
猜年龄及出生月份：（出生月份×2+5）×50+年龄-365
二、
猜男女数：（总人数×2+5）×50＋女数－365
三、
猜住房数：（大小总房数×2＋7）×5＋大房数－20
四、
猜及排行数：（姊妹总数×2＋3）×5+排行数
习题
一、
两位数乘法：
63×67=
42×48=
88×64=
66×37=
21×23=
42×43=
24×84=
32×27=
54×38=
二、
多位数乘法：
113×108=
998×985=
9999×4268=
1012×997=
趣味算术
|
一根竹竿二丈一，三分之一插进泥；
七分之一露出水，问你井水有几尺深。
答：（11）
三个闺女来看娘，三五七天各一趟，
今日一同娘家走，何日一齐来看娘。
答：(105)
三只猫吃三只老鼠用了三分钟时间，按同样的速度，一百只猫吃一百只老鼠需要用多少分钟时间？
答：（用了三分钟）
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一个老头来卖梨，连筐共重一百一，
卖去梨的整一半，连筐还有五十七，
这个梨筐几斤重？请你给回回皮。
答：（4斤）
出了十道考试题，每对一题得五分，
错答不但不给分，总分里面扣三分，
小华不知对几道，得了二分哭回门。
答：（对4道）
一条绳子不知央，三折来与四折量，
三比四折长二尺，这条绳子有多长。
答：（24）
|
速效秒开方
口诀
加一。减一。逢五加五。逢偶配系。逢质配奇。
秒开方：在一秒钟之内能把一个数字的根开出来的方。
平方：一个数的本身自乘的积。
速效秒开方：迅速有效的在一秒钟内，能够把一个数值的根开出来的方。
一、
加一计算的开根的办法
加一定理：
凡是这个数大于正整数时，给它的第一位数加上最后一位数的个位数的和，就是这个数的开放根。
例如：√121
=11
10×10=100<121
10+1=11
√441
=21
20×20=400<441
20+1=21
√961
=31
30×30=<900<961
30+1=31
√1681
=41
40×40=1600<1681
40+1=41
√2601 =51
50×50=2500<2601
50+1=51
√3721
=61
60×60=3600<3721
60+1=61
√5041
=71
70×70=4900<5041
70+1=71
√6561
=81
80×80=6400<6561
80+1=81
√8281
=91
90×90=8100<8281
90+1=9
二、减一定理：
凡是这个数小于正整数时，给它的第一位数减去最后一位数的个位数的差，就是这个数的开放根。
例如：√361
=19
20×20=400>361
20-1=19
√841
=29
30×30=900>841
30-1=29
√1521
=39
40×40=1600>1521
40-1=39
√2401
=49
50×50=2500>2401
50-1=49
√3481
=59
60×60=3600>3481
60-1=59
√4761
=69
70×70=4900>4761
70-1=69
√6241
=79
80×80=6400>6241
80-1=79
√7921
=89
90×90=8100>7921
90-1=89
√9801
=99
100×100=8100<9801
100-1=99
三、逢五加五：
定理：凡是这个数大于正整数时，给它第一位数加上最后一位数的个位数的五，就是这个数的开放根。
例如： √225
=15
10×10=100<225
10+5=15
√625
=25
20×20=400<625
20+5=25
√1225
=35
30×30=900<1225
30+5=35
√2025
=45
40×40=1600<2025
40+5=45
√3025
=55
50×50=2500<3025
50+5=55
√4225
=65
60×60=3600<4225
60+5=65
√5625
=75
70×70=4900<5625
70+5=75
√7225
=85
80×80=6400<7225
80+5=85
√9025
=95
90×90=8100<9025
90+5=95
四、逢偶配系：
定理：凡是这个数大于正整数时，给它的第一位数加上最后一位数的个位数的开方根，就是这个数的开方根。
例如：√144
=12
10×10=100<144
10+2=12
√484
=22
20×20=400<484
20+2=22
√1024
=32
30×30=900<1024
30+2=32
√1764
=42
40×40=1600<1764
40+2=42
√2704
=52
50×50=2500<2704
50+2=52
√3844
=62
60×60=3600<3844
60+2=62
√5184
=72
70×70=4900<5184
70+2=72
√6724
=82
80×80=6400<6724
80+2=82
√8464
=92
90×90=8100<8464
90+2=92
√196
=14
10×10=100<196
10+4=14
√876
=24
20×20=400<876
20+4=24
√1656
=34
30×30=900<1656
30+4=34
√1936
=44
40×40=1600<1936
40+4=44
√2916
=54
50×50=2500<2916
50+4=54
√4096
=64
60×60=3600<4096
60+4=64
√5476
=74
70×70=4900<5476
70+4=74
√7056
=84
80×80=6400<7056
80+4=84
√8836
=94
90×90=8100<8836
90+4=94
√256
=16
10×10=100<
256
10+6=16
√676
=26
20×20=400<
676
20+6=26
√1296
=36
30×30=900<1296
30+6=36
√2116
=46
40×40=1600<2116
40+6=46
√3136
=56
50×50=2500<3136
50+6=56
√4356
=66
60×60=3600<4356
60+6=66
√5776
=76
70×70=4900<5776
70+6=76
√7396
=86
80×80=6400<7396
80+6=86
√9216
=96
90×90=8100<9216
90+6=96
√324
=18
10×10=100<324
10+8=18
√784
=28
20×20=400<784
20+8=28
√1444
=38
30×30=900<1444
30+8=38
√2304
=48
40×40=1600<2304
40+8=48
√3364
=58
50×50=2500<3364
50+8=58
√4624
=68
60×60=3600<4624
60+8=68
√7744
=78
70×70=4900<7744
70+8=78
√6724
=88
80×80=6400<6724
80+8=88
√9604
=98
90×90=8100<8464
90+8=98
五、逢质配奇：
定理：凡是这个数大于正整数时，给它的第一位数加上最后一位数的个位数的和（这个数是用2除不尽的）就是这个数的开方根。
例如：
√289
=17
10×10=100<289
10+7=17
√729
=27
20×20=400<729
20+7=27
√1369
=37
30×30=900<1369
30+7=37
√2209
=47
40×40=1600<2209
40+7=47
√3249
=57
50×50=2500<3249
50+7=57
√4489
=67
60×60=3600<4489
60+7=67
√5929
=77
70×70=4900<5929
70+7=77
√7569
=87
80×80=6400<7569
80+7=87
√9409
=97
90×90=8100<9409
90+7=97
√169
=13
10×10=100<169
10+3=13
√529
=23
20×20=400<529
20+3=23
√1089
=33
30×30=900<1089
30+3=33
√2209
=43
40×40=1600<2209
40+3=43
√2809
=53
50×50=2500<2809
50+3=53
√3069
=63
60×60=3600<3069
60+3=63
√5329
=73
70×70=4900<5329
70+3=73
√6889
=83
80×80=6400<6889
80+3=83
√8649
=93
90×90=8100<8649
90+3=93
以尾数定根
特殊定理
不是3×3=9是7×7=49，二者必居其一
|
数字
|
1、9
|
2、8
|
3、9
|
4、6
|
5
|
|
开方根个位数
|
1
|
4
|
7
|
6
|
5
|
（任何数字相开都是压住最后两位数，假设个数和十位都是0来开这个数值。只能小于这个数的整数根。）
★【速算技巧一：估算法】
“估算法”毫无疑问是资料分析题当中的速算第一法，在所有计算进行之前必须考虑能否先行估算。所谓估算，是在精度要求并不太高的情况下，进行粗略估值的速算方式，一般在选项相差较大，或者在被比较数据相差较大的情况下使用。估算的方式多样，需要各位考生在实战中多加训练与掌握。
进行估算的前提是选项或者待比较的数字相差必须比较大，并且这个差别的大小决定了“估算”时候的精度要求。
★【速算技巧二：直除法】
李委明提示：
“直除法”是指在比较或者计算较复杂分数时，通过“直接相除”的方式得到商的首位（首一位或首两位），从而得出正确答案的速算方式。“直除法”在资料分析的速算当中有非常广泛的用途，并且由于其“方式简单”而具有“极易操作”性。
“直除法”从题型上一般包括两种形式：
一、比较多个分数时，在量级相当的情况下，首位最大/小的数为最大/小数；
二、计算一个分数时，在选项首位不同的情况下，通过计算首位便可选出正确答案。
“直除法”从难度深浅上来讲一般分为三种梯度：
一、简单直接能看出商的首位；
二、通过动手计算能看出商的首位；
三、某些比较复杂的分数，需要计算分数的“倒数”的首位来判定答案。
【例1】 中最大的数是（
）。
【解析】直接相除： ＝30＋， ＝30-， ＝30-， ＝30-，
明显 为四个数当中最大的数。
【例2】32409/4103、32895/4701、23955/3413、12894/1831中最小的数是（
）。
【解析】
32409/4103、23955/3413、12894/1831都比7大，而32895/4701比7小，
因此四个数当中最小的数是32895/4701。
李委明提示：
即使在使用速算技巧的情况下，少量却有必要的动手计算还是不可避免的。
【例3】6874.32/760.31、3052.18/341.02、4013.98/447.13、2304.83/259.74中最大的数是（
）。
在本节及以后的计算当中由于涉及到大量的估算，因此我们用a+表示一个比a大的数，用a-表示一个比a小的数。
【解析】
只有6874.32/760.31比9大，所以四个数当中最大的数是6874.32/760.31。
【例4】5794.1/27591.43、3482.2/15130.87、4988.7/20788.33、6881.3/26458.46中最大的数是（
）。
【解析】本题直接用“直除法”很难直接看出结果，我们考虑这四个数的倒数：
27591.43/5794.1、15130.87/3482.2、20788.33/4988.7、26458.46/6881.3，
利用直除法，它们的首位分别为“4”、“4”、“4”、“3”，
所以四个倒数当中26458.46/6881.3最小，因此原来四个数当中6881.3/26458.46最大。
【例5】阅读下面饼状图，请问该季度第一车间比第二车间多生产多少？（
）
A.38.5％
B.42.8%
C.50.1%
D.63.4%
【解析】5632-3945/3945=1687/3945=0.4＋=40%+，所以选B。
【例6】某地区去年外贸出口额各季度统计如下，请问第二季度出口额占全年的比例为多少？（
）
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度 全年
出口额（亿元）
4573
5698
3495
3842
17608
A.29.5％
B.32.4%
C.33.7%
D.34.6%
【解析】5698/17608＝0.3＋=30%+，其倒数17608/5698＝3＋，所以5698/17608＝(1/3)-，所以选B。
【例7】根据下图资料，己村的粮食总产量为戊村粮食总产量的多少倍？（
）
A.2.34
B.1.76
C.1.57
D.1.32
【解析】直接通过直除法计算516.1÷328.7：
根据首两位为1.5*得到正确答案为C。
★【速算技巧三：截位法】
所谓“截位法”，是指“在精度允许的范围内，将计算过程当中的数字截位（即只看或者只取前几位），从而得到精度足够的计算结果”的速算方式。在加法或者减法中使用“截位法”时，直接从左边高位开始相加或者相减（同时注意下一位是否需要进位与错位），知道得到选项要求精度的答案为止。在乘法或者除法中使用“截位法”时，为了使所得结果尽可能精确，需要注意截位近似的方向：
一、扩大（或缩小）一个乘数因子，则需缩小（或扩大）另一个乘数因子；
二、扩大（或缩小）被除数，则需扩大（或缩小）除数。
如果是求“两个乘积的和或者差（即a*b+/-c*d），应该注意：
三、扩大（或缩小）加号的一侧，则需缩小（或扩大）加号的另一侧；
四、扩大（或缩小）减号的一侧，则需扩大（或缩小）减号的另一侧。
到底采取哪个近似方向由相近程度和截位后计算难度决定。
一般说来，在乘法或者除法中使用”截位法“时，若答案需要有N位精度，则计算过程的数据需要有N+1位的精度，但具体情况还得由截位时误差的大小以及误差的抵消情况来决定；在误差较小的情况下，计算过程中的数据甚至可以不满足上述截位方向的要求。所以应用这种方法时，需要考生在做题当中多加熟悉与训练误差的把握，在可以使用其它方式得到答案并且截位误差可能很大时，尽量避免使用乘法与除法的截位法。
★【速算技巧四：化同法】
所谓”化同法”，是指“在比较两个分数大小时，将这两个分数的分子或分母化为相同或相近，从而达到简化计算”的速算方式。一般包括三个层次：
一、将分子（分母）化为完全相同，从而只需要再看分母（或分子）即可；
二、将分子（或分母）化为相近之后，出现“某一个分数的分母较大而分子较小”或“某一个分数的分母较小而分子较大”的情况，则可直接判断两个分数的大小。
★【速算技巧五：差分法】
李委明提示：
“差分法”是在比较两个分数大小时，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难以解决时可以采取的一种速算方式。
适用形式：
两个分数作比较时，若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅仅大一点，这时候使用“直除法”、“化同法”经常很难比较出大小关系，而使用“差分法”却可以很好地解决这样的问题。
基础定义：
在满足“适用形式”的两个分数中，我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数”，分子与分母都比较小的分数叫“小分数”，而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数我们定义为“差分数”。例如：324/53.1与313/51.7比较大小，其中324/53.1就是“大分数”，313/51.7就是“小分数”，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是“差分数”。
“差分法”使用基本准则——
“差分数”代替“大分数”与“小分数”作比较：
1、若差分数比小分数大，则大分数比小分数大；
2、若差分数比小分数小，则大分数比小分数小；
3、若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。
比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1与313/51.7作比较”，因为11/1.4＞313/51.7（可以通过“直除法”或者“化同法”简单得到），所以324/53.1＞313/51.7。
特别注意：
一、“差分法”本身是一种“精算法”而非“估算法”，得出来的大小关系是精确的关系而非粗略的关系；
二、“差分法”与“化同法”经常联系在一起使用，“化同法紧接差分法”与“差分法紧接化同法”是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。
三、“差分法”得到“差分数”与“小分数”做比较的时候，还经常需要用到“直除法”。
四、如果两个分数相隔非常近，我们甚至需要反复运用两次“差分法”，这种情况相对比较复杂，但如果运用熟练，同样可以大幅度简化计算。
【例1】比较7/4和9/5的大小
【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：
大分数
小分数
9/5
7/4
9－7/5－1=2/1(差分数)
根据：差分数=2/1＞7/4=小分数
因此：大分数=9/5＞7/4=小分数
李委明提示：
使用“差分法”的时候，牢记将“差分数”写在“大分数”的一侧，因为它代替的是“大分数”，然后再跟“小分数”做比较。
【例2】比较32.3/101和32.6/103的大小
【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：
小分数
大分数
32.3/101
32.6/103
32.6－32.3/103－101=0.3/2(差分数)
根据：差分数=0.3/2=30/200＜32.3/101=小分数（此处运用了“化同法”）
因此：大分数=32.6/103＜32.3/101=小分数
［注释］ 本题比较差分数和小分数大小时，还可采用直除法，读者不妨自己试试。
李委明提示（“差分法”原理）：
以例2为例，我们来阐述一下“差分法”到底是怎样一种原理，先看下图：
上图显示了一个简单的过程：将Ⅱ号溶液倒入Ⅰ号溶液当中，变成Ⅲ号溶液。其中Ⅰ号溶液的浓度为“小分数”，Ⅲ号溶液的浓度为“大分数”，而Ⅱ号溶液的浓度为“差分数”。显然，要比较Ⅰ号溶液与Ⅲ号溶液的浓度哪个大，只需要知道这个倒入的过程是“稀释”还是“变浓”了，所以只需要比较Ⅱ号溶液与Ⅰ号溶液的浓度哪个大即可。
【例3】比较29320.04/4126.37和29318.59/4125.16的大小
【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：
29320.04/4126.37
29318.59/4125.16
1.45/1.21
根据：很明显，差分数=1.45/1.21＜2＜29318.59/4125.16=小分数
因此：大分数=29320.04/4126.37＜29318.59/4125.16=小分数
［注释］ 本题比较差分数和小分数大小时，还可以采用“直除法”（本质上与插一个“2”是等价的）。
【例4】下表显示了三个省份的省会城市（分别为A、B、C城）2006年GDP及其增长情况，请根据表中所提供的数据回答：
1.B、C两城2005年GDP哪个更高？
2.A、C两城所在的省份2006年GDP量哪个更高？
GDP（亿元）
GDP增长率
占全省的比例
A城
873.2
12.50%
23.9%
B城
984.3
7.8%
35.9%
C城
1093.4
17.9%
31.2%
【解析】一、B、C两城2005年的GDP分别为：984.3/1＋7.8%、1093.4/1＋17.9%；观察特征（分子与分母都相差一点点）我们使用“差分法”：
984.3/1＋7.8%
1093.4/1＋17.9%
109.1/10.1%
运用直除法，很明显：差分数＝109.1/10.1%＞1000＞984.3/1＋7.8%＝小分数，故大分数＞小分数
所以B、C两城2005年GDP量C城更高。
二、A、C两城所在的省份2006年GDP量分别为：873.2/23.9%、1093.4/31.2%；同样我们使用“差分法”进行比较：
873.2/23.9%
1093.4/31.2%
220.2/7.3%=660.6/21.9%
212.6/2%=2126/20%
上述过程我们运用了两次“差分法”，很明显：2126/20%＞660.6/21.9%，所以873.2/23.9%＞1093.4/31.2%；
因此2006年A城所在的省份GDP量更高。
【例5】比较32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小
【解析】32053.3与32048.2很相近，23487.1与23489.1也很相近，因此使用估算法或者截位法进行比较的时候，误差可能会比较大，因此我们可以考虑先变形，再使用“差分法”，即要比较32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小，我们首先比较32053.3/23489.1和32048.2/23487.1的大小关系：
32053.3/23489.1
32048.2/23487.1
5.1/2
根据：差分数=5.1/2＞2＞32048.2/23487.1=小分数
因此：大分数=32053.3/23489.1＞32048.2/23487.1=小分数
变型：32053.3×23487.1＞32048.2×23489.1
李委明提示（乘法型“差分法”）：
要比较a×b与a′×b′的大小，如果ａ与ａ＇相差很小，并且ｂ与ｂ＇相差也很小，这时候可以将乘法a×b与a′×b′的比较转化为除法ab′与a′b的比较，这时候便可以运用“差分法”来解决我们类似的乘法型问题。我们在“化除为乘”的时候，遵循以下原则可以保证不等号方向的不变：
“化除为乘”原则：相乘即交叉。
★【速算技巧六：插值法】
“插值法”是指在计算数值或者比较数大小的时候，运用一个中间值进行“参照比较”的速算方式，一般情况下包括两种基本形式：
一、在比较两个数大小时，直接比较相对困难，但这两个数中间明显插了一个可以进行参照比较并且易于计算的数，由此中间数可以迅速得出这两个数的大小关系。比如说A与B的比较，如果可以找到一个数C，并且容易得到A>C，而B<C，即可以判断A>B。
二、在计算一个数值F的时候，选项给出两个较近的数A与B难以判断，但我们可以容易的找到A与B之间的一个数C，比如说A<C<B，并且我们可以判断F>C，则我们知道F=B（另外一种情况类比可得）。
★【速算技巧七：凑整法】
“凑整法”是指在计算过程当中，将中间结果凑成一个“整数”（整百、整千等其它方便计算形式的数），从而简化计算的速算方式。“凑整法”包括加/减法的凑整，也包括乘/除法的凑整。
在资料分析的计算当中，真正意义上的完全凑成“整数”基本上是不可能的，但由于资料分析不要求绝对的精度，所以凑成与“整数”相近的数是资料分析“凑整法”所真正包括的主要内容。
★【速算技巧八：放缩法】
“放缩法”是指在数字的比较计算当中，如果精度要求并不高，我们可以将中间结果进行大胆的“放”（扩大）或者“缩”（缩小），从而迅速得到待比较数字大小关系的速算方式。
若A>B>0，且C>D>0，则有：
1）A+C>B+D
2）A-D>B-C
3）A*C>B*D
4）A/D>B/C
这四个关系式即上述四个例子所想要阐述的四个数学不等关系，是我们在做题当中经常需要用到的非常简单、非常基础的不等关系，但确实考生容易忽略，或者在考场之上容易漏掉的数学关系，其本质可以用“放缩法”来解释。
★【速算技巧九：增长率相关速算法】
李委明提示：
计算与增长率相关的数据是做资料分析题当中经常遇到的题型，而这类计算有一些常用的速算技巧，掌握这些速算技巧对于迅速解答资料分析题有着非常重要的辅助作用。
两年混合增长率公式：
如果第二期与第三期增长率分别为r1与r2，那么第三期相对于第一期的增长率为：
r1＋r2＋r1× r2
增长率化除为乘近似公式：
如果第二期的值为A，增长率为r，则第一期的值A′：
A′＝A/1＋r≈A×（1-r）
（实际上左式略大于右式，r越小，则误差越小，误差量级为r2）
平均增长率近似公式：
如果N年间的增长率分别为r1、r2、r3……rn，则平均增长率：
r≈r1＋r2＋r3＋……rn/n
（实际上左式略小于右式，增长率越接近，误差越小）
求平均增长率时特别注意问题的表述方式，例如：
1.“从2004年到2007年的平均增长率”一般表示不包括2004年的增长率；
2.“2004、2005、2006、2007年的平均增长率”一般表示包括200４年的增长率。
“分子分母同时扩大/缩小型分数”变化趋势判定：
1.A/B中若A与B同时扩大，则①若A增长率大，则A/B扩大②若B增长率大，则A/B缩小；A/B中若A与B同时缩小，则①若A减少得快，则A/B缩小②若B减少得快，则A/B扩大。
2.A/A＋B中若A与B同时扩大，则①若A增长率大，则A/A＋B扩大②若B增长率大，则A/A＋B缩小；A/A＋B中若A与B同时缩小，则①若A减少得快，则A/A＋B缩小②若B减少得快，则A/A＋B扩大。
多部分平均增长率：
如果量A与量B构成总量“A＋B”，量A增长率为a，量B增长率为b，量“A＋B”的增长率为r，则A/B=r-b/a-r，一般用“十字交叉法”来简单计算：
A：a
r-b
A
r
=
B：b
a-r
B
注意几点问题：
1.r一定是介于a、b之间的，“十字交叉”相减的时候，一个r在前，另一个r在后；
2.算出来的A/B=r-b/a-r是未增长之前的比例，如果要计算增长之后的比例，应该在这个比例上再乘以各自的增长率，即A′/B′=（r-b）×（1＋a）/（a-r）×（1＋b）。
等速率增长结论：
如果某一个量按照一个固定的速率增长，那么其增长量将越来越大，并且这个量的数值成“等比数列”，中间一项的平方等于两边两项的乘积。
【例1】2005年某市房价上涨16.8%，2006年房价上涨了6.2%，则2006年的房价比2004年上涨了（
）。
A.23%
B.24%
C.25%
D.26%
【解析】16.8%＋6.2%＋16.8%×6.2%≈16.8%＋6.2%＋16.7%×6%≈24%，选择B。
【例2】2007年第一季度，某市汽车销量为10000台，第二季度比第一季度增长了12%，第三季度比第二季度增长了17%，则第三季度汽车的销售量为（
）。
A.12900
B.13000
C.13100
D.13200
【解析】12%＋17%＋12%×17%≈12%＋17%＋12%×1/6＝31%，10000×(1＋31%)＝13100，选择C。
【例3】设2005年某市经济增长率为6%，2006年经济增长率为10%。则2005、2006年，该市的平均经济增长率为多少？（
）
A.7.0%
B.8.0%
C.8.3%
D.9.0%
【解析】r≈r1＋r2/2=6%＋10%/2=8%，选择B。
【例4】假设A国经济增长率维持在2.45％的水平上，要想GDP明年达到200亿美元的水平，则今年至少需要达到约多少亿美元？（
）
A.184
B.191
C.195
D.197
【解析】200/1＋2.45%≈200×（1-2.45%）=200-4.9=195.1，所以选C。
［注释］ 本题速算误差量级在r2=(2.45%)2≈6/10000，200亿的6/10000大约为0.12亿元。
【例5】如果某国外汇储备先增长10％，后减少10％，请问最后是增长了还是减少了？（
）
A.增长了
B.减少了
C.不变
D.不确定
【解析】A×（1＋10％）×（1－10％）＝0.99A，所以选B。
李委明提示：
例5中虽然增加和减少了一个相同的比率，但最后结果却是减少了，我们一般把这种现象总结叫做“同增同减，最后降低”。即使我们把增减调换一个顺序，最后结果仍然是下降了。
★【速算技巧十：综合速算法】
李委明提示：
“综合速算法”包含了我们资料分析试题当中众多体系性不如前面九大速算技巧的速算方式，但这些速算方式仍然是提高计算速度的有效手段。
平方数速算：
牢记常用平方数，特别是11~30以内数的平方，可以很好地提高计算速度：
121、144、169、196、225、256、289、324、361、400
441、484、529、576、625、676、729、784、841、900
尾数法速算：
因为资料分析试题当中牵涉到的数据几乎都是通过近似后得到的结果，所以一般我们计算的时候多强调首位估算，而尾数往往是微不足道的。因此资料分析当中的尾数法只适用于未经近似或者不需要近似的计算之中。历史数据证明，国考试题资料分析基本上不能用到尾数法，但在地方考题的资料分析当中，尾数法仍然可以有效地简化计算。
错位相加/减：
A×9型速算技巧：A×9=A×10-A；如：743×9=7430-743=6687
A×9.9型速算技巧：A×9.9=A×10+A÷10；如：743×9.9=7430-74.3=7355.7
A×11型速算技巧：A×11=A×10+A；如：743×11=7430+743=8173
A×101型速算技巧：A×101=A×100+A；
如：743×101=74300+743=75043
乘/除以5、25、125的速算技巧：
A×5型速算技巧：A×5=10A÷2；A÷5型速算技巧：A÷5=0.1A×2
例8739.45×5=87394.5÷2=43697.25
36.843÷5=3.6843×2=7.3686
A× 25型速算技巧：A×25=100A÷4；A÷ 25型速算技巧：A÷25=0.01A×4
例7234×25=723400÷4=180850
3714÷25=37.14×4=148.56
A×125型速算技巧：A×125=1000A÷8；A÷125型速算技巧：A÷125=0.001A×8
例8736×125=8736000÷8=1092000
4115÷125=4.115×8=32.92
减半相加：
A×1.5型速算技巧：A×1.5=A+A÷2；
例3406×1.5=3406＋3406÷2=3406＋1703＝5109
“首数相同尾数互补”型两数乘积速算技巧：
积的头＝头×（头+1）；积的尾=尾×尾
例：“23×27”，首数均为“2”，尾数“3”与“7”的和是“10”，互补
所以乘积的首数为2×(2＋1)=6，尾数为3×7=21，即23×27=621
【例1】假设某国外汇汇率以30.5％的平均速度增长，预计8年之后的外汇汇率大约为现在的多少倍？（
）
A.3.4
B.4.5
C.6.8
D.8.4
【解析】（1＋30.5％）8＝1.3058≈1.38＝（1.32）4＝1.694≈1.74＝2.892≈2.92＝8.41，选择D
［注释］
本题速算反复运用了常用平方数，并且中间进行了多次近似，这些近似各自只忽略了非常小的量，并且三次近似方向也不相同，因此可以有效的抵消误差，达到选项所要求的精度。
【例2】根据材料，9～10月的销售额为（
）万元。
A.42.01
B.42.54
C.43.54
D.41.89
【解析】257.28－43.52－40.27－41.38－43.26－46.31的尾数为“4”，排除A、D，又从图像上明显得到，9-10月份的销售额低于7-8月份，选择B。
［注释］
这是地方考题经常出现的考查类型，即使存在近似的误差，本题当中的简单减法得出的尾数仍然是非常接近真实值的尾数的，至少不会离
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