本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无线；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后，将答题卡收回。
复数的共轭复数是
A.
B.
C.
D.
3.执行如右图所示的程序框图，如输入，则输出的值为
A.9
B.
C.5
D.
已知向量，，.若，则
A.2B.1C.0D.
已知命题，若是真命题，则实数的取值范围为
A.B.C.D.
已知，则函数有零点的概率为
A.B.C.D.
若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，
且与交点的连线过点，则双曲线的离心率为
A.B.C.D.
已知函数的一段图像如图所示，△的顶点与坐标原点重
合，是的图像上一个最低点，在轴上，若内角所对边长为，
且△的面积满足，将右移一个单位得到，则
的表达式为
A.
B.
C.
D.
为了了解小学生的作业负担，三名调研员对某校三年级1至5名进行学情调查，已知这5
个班在同一层楼并按班号排列。若要求每名调研员均参与调查，但不在相邻两个班调查，
每个班只安排一名调研员，则不同的调查方案有
A.48种B.42种C.36种D.24种
已知，若关于的方程恰好有4个不相等
的实数根，则实数的取值范围为
A.B.C.D.
某设备零件的三视图如右图所示，则这个零件的表面积为_____.
二项式展开式中的常数项是_______.
已知幂函数的图像经过点，则
_________.
已知实数满足，且，则的最小值为_______.
已知有限集(n≥2).如果A中元素满足
，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合是“复活集”；
②若，且是“复活集”，则；
③若，则不可能是“复活集”；
④若，则“复合集”A有且只有一个，且n=.
其中正确的结论是_____________.（填上你认为所有正确的结论序号）
（本小题满分12分）
已知是等比数列的前项和，成等差数列.
（Ⅰ）求数列的公比；
（Ⅱ）证明：成等差数列.
（本小题满分12分）
绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：
甲 37 21 31 20 29 19 32 23 25 33 乙 10 30 47 27 46 14 26 10 44 46
（Ⅰ）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；
（Ⅱ）从甲、乙两块试验田中棉花株高在[30,40]中抽4株，记在乙试验田中取得的棉花苗株数为，求的分布列和数学期望（结果保留分数）.
（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，点在单位平面上，∠xOA=α，
∠AOB=，且α∈(，).
（Ⅰ）若cos(α+)，求的值；
（Ⅱ）过点A,B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.设f(α)=S1+S2,求函数f(α)的最大值.
19.（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且满足AD=DC=CB=在直角梯形ACEF中，，已知二面角E-AC-B是直二面角.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当在多面体ABCDEF的体积为时，求锐二面角D-EF-B的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的焦点坐标为,,过垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且.
（Ⅰ）求椭圆形的方程；
（Ⅱ）过点作相互垂直的直线，分别交椭圆于试探究是否为定值？并求当圆边形的面积S最小时，直线的方程.
21.（本小题满分14分）
已知函数有且只有一个零点，其中a＞0.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对任意的，有成立，求实数k的最大值；
（III）设，对任意，证明：不等式恒成立.
绵阳市高2011级第三次诊断性考试
数学（理科）参考答案及评分意见
一、选择题：每小题5分，共50分．
1．D2．A3．B4．C5．D6．C7．A8．B9．B10．C
二、填空题：每小题5分，共25分．
11．22 12．180 13． 14．9+ 15．①③④
提示：第15题：①是正确的；
②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，由Δ>0，可得t<0，或t>4，故②错；
③不妨设A中a1(n-1)!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n>(n-1)!，事实上，(n-1)!≥(n-1)(n-2)=n2-3n+2=(n-2)2-2+n>2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．
三、解答题：共75分．
16．解：（Ⅰ）由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9=S3+S6．
当q=1时，即得，不成立．当时，即得，
整理得：，即，
解得：（舍去），或．……………………7分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
∴，∵，∴，成等差数列．…………………12分 甲 乙 9 1 0 4 0 5 3 9 0 1 2 7 6 3 2 1 7 3 0 4 7 6 4 6 17．Ⅰ）画出的茎叶图如右所示．
根据茎叶图可得统计结论如下：
结论一：甲苗的平均高度小于乙苗的平均高．
甲苗比苗长得整齐．Ⅱ）ξ的取值为0，1．
，，
∴ξ的分布列：
ξ 0 1 P ………………………………………………………11分
．………………………………………………………………12分Ⅰ）由三角函数的定义，……………………2分，
∴，………………………………………………………………4分，
∴．…………………………………………………………………………6分
Ⅱ）由，．
又，于是，
∴，………………8分
∴
=
=
=
=
，即12分19．Ⅰ）证明：取AB的中点G，结CG底面ABCD梯形AB=AG=a，
∴四边形ADCG是平行四边形，得AD=CG=a，
∴CG=AB
∴AC⊥BC．
又∵二面角E-AC-B是直二面角，即平面ACEF平面ABCD平面ACEFⅡ）解：连结DG交AC于H，结FH平面ACEF平面ABCD由Ⅰ）知BC面ACEFDH面ACEF，EF=a．
∴
．
∴．
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CE为x，y，z轴建立空间坐标系，
∴
，
设面BEF的法向量n=(x，y，z)，
，
同理可得面DEF法向量n2．
∴．
∴锐二面角D-EF-B的余弦值．………………………………………………12分（a>b>0），
由焦点F2的坐标为(1，0)知a2-b2=1，①
再由，整理得y=．
∵过F2垂直于长轴的弦长|AB|=3，
∴．②
联立①、②可解得a2=4，b2=3．．………………………………………………………3分
（Ⅱ）若l1、l2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，
此时，|P1P2|=4，|P3P4|=|AB|=3，
于是=．………………………………………………………5分
若l1、l2的斜率均存在且不为0设的方程：，则的方程：联立方程消x得：
∴．
同理可得：．
∴综上知（定值）．………………………………………………9分
，
∴，
∴．
当，时，
∴四边形P1P3P2P4的面积S最小时，l1、l2的直线方程：（Ⅰ）的定义域为，．
由，得.
当时，；当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数，
∴在处取得最大值．
由题意知，．…………………………………4分（Ⅱ）（Ⅰ）=ln(x+1)-x，
当k0时，，知k0不合题意.
当时，设.
则.
令，得，.
①≤0，k≤-时，在上恒成立，
在上增，从而总有，
即在上恒成立.
②，时，对于，，
在上单调递减.
当取时，，即不成立.故不合题意.
综上，的最大值为.……………………………………………………8分
（Ⅲ）由，则要证明，
只需证明，
即证，
即证．
设，则只需证明，化简得．
设，则，
∴在上单调递增，
∴．
即，得证．
故原不等式恒成立．………………………………………………………14分
A
B
C
D
F
E
G
x
y
z
H
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