2012年上海高考理科第17题讲评
大罕
题目:设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105.随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2,随机变量ξ2取值(x1+x2)/2、(x2+x3)/2、(x3+x4)/2、(x4+x5)/2、(x5+x1)/2的概率也为0.2.若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差,则().
A.Dξ1>Dξ2 B.Dξ1=Dξ2
C.Dξ1<Dξ2
D.Dξ1与Dξ2的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关
讲解:要弄清楚本题,首先要复习相关概念.
①一组数据的方差:一组数据x1,x2,…,xn的平均数为m,则方差
s2=(1/n)[(x1-m)2+(x2-m)2+…+(xn-m)2]
②随机变量及分布:若离散型随机变量x的概率分布为
ξ x1
x2 … xi…
xn
P p1
p2 … pi…
pn
这个表称为随机变量的分布表。
③随机变量的数学期望:在上述随机分布表中,称x1p1+x2p2+…+xn
pn 为随机变量x1, x2
,…,xn的数学期望.记为Eξ,即Eξ=x1p1+x2p2+…+xn
pn.
④随机变量的方差:Dξ=(x1-Eξ)2
p1+(x2-Eξ)2
p2+…+(xn-Eξ)2
pn,其中为随机变量ξ的方差.
在弄清楚以上概念及公式后,以下进行计算:
根据随机变量的数学期望公式和随机变量ξ1和ξ2的概率均为0.2,有
Eξ1=0.2(x1+x2+ x3
+x4+x5),
Eξ2=0.2[(x1+x2)/2+(x2+x3)/2+(x3+x4)/2+(x4+x5)/2+(x5+x1)/2]
=0.2(x1+x2+x3+x4+x5),
∴Eξ1= Eξ2,并简记为E,
再根据随机变量的方差公式,有
Dξ1=0.2[(E-x1)2+(E-x2)2+(E-x3)2+(E-x4)2+(E-x5)2]
=0.2[5E2-2(x1+x2+x3+x4+x5)E+(x12+
x22+x32
+x42+x52)]
=0.2[5E2-10E2+(x12+
x22+x32
+x42+x52)]
=0.2[-5E2+(x12+x22+x32
+x42+x52)];
Dξ2=0.2{[E-(x1+x2)/2]2+[E-(x2+x3)/2]2+[E-(x3+x4)/2]2+[E-(x4+x5)/2]2+[E-(x5+x1)/2]2}
=0.2{5E2-2(x1+x2 +x3
+x4 +x5) E+(1/4)
[(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x5)2+(x1+x2)2]}
=0.2[-5E2+0.5(x12+x22+
x32+ x42+
x52+x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1);
Dξ1-Dξ2=0.1(x12+x22+
x32+
x42-x52-x1x2-x2x3-x3x4-x4x5-x5x1)
=0.05[(
x1-x2)2+(x2-x3)2+
(x3-x4)2+
(x4-x5)2+
(x5-x1)2],
注意到x1,x2, x3
,x4,x5互不相等,
∴Dξ1-Dξ2>0,
即
Dξ1>Dξ2. 故选A.
评论:这道题算得上是中档题,难在在考生对概率、数学期望,随机变量、方差等概念普遍不够熟悉,挖掘得不够深入.在这种情况下,“意外”地遇到本题,大有措手不及之感.一些同学在万般无奈之中,瞎蒙乱猜,其实都是不靠谱的.
从另一角度讲,这题的出现,告诉我们今后的教学要加强对新增教材内容的讲授和训练,对高考押题不要存侥幸心理.
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