河南省偃师市2012-2013学年八年级下学期期末考试数学试题
一、填空：（每小题2分，共20分）
1．（2分）当x≠﹣时，分式有意义．
考点： 分式有意义的条件． 专题： 计算题． 分析： 分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 解答： 解：当分母2x+1≠0，即x≠﹣时，分式有意义．
故答案是：≠﹣． 点评： 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义?分母为零；
（2）分式有意义?分母不为零；
（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
2．（2分）至2012年底，河南省新增城镇人口180万人，把180万用科学记数法表示，结果为1.8×106．
考点： 科学记数法—表示较大的数． 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答： 解：将180万用科学记数法表示为：1.8×106．
故答案为：1.8×106． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）计算其结果为．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 分析： 分别根据负整数指数幂、0指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 解答： 解：原式=﹣+4﹣1
=．
故答案为：． 点评： 本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂、0指数幂的运算法则是解答此题的关键．
4．（2分）当直线y=x﹣m+2经过第一、三、四象限时，m的取值范围是m＞2．
考点： 一次函数图象与系数的关系． 分析： 根据一次函数y=x﹣m+2图象在坐标平面内的位置关系确定（﹣m+2）的取值范围，从而求解． 解答： 解：由直线y=x﹣m+2经过第一、三、四象限，
又由1＞0时，直线与y轴负半轴相交，所以﹣m+2＜0．
解得，m＞2．
故答案是：m＞2． 点评： 本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
5．（2分）如图，P是∠MON内一点，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，若PE=PF，则OP平分∠MON，其依据是角平分线定理的逆定理．
考点： 角平分线的性质． 分析： 此题是根据角平分线上的点到这个角的两边距离相等的逆定理来填空，可通过三角形全等来证明． 解答： 解：如图，P是∠MON内一点，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，若PE=PF，则OP平分∠MON，其依据是角平分线定理的逆定理．
故答案是：角平分线定理的逆定理． 点评： 本题考查了角平分线的性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．（2分）已知一组数据﹣2、1、2、x的平均数为1，则这组数据的方差为．
考点： 方差． 分析： 根据平均数的计算公式，先求出x的值，再根据方差公式进行计算即可． 解答： 解：∵这组数据﹣2、1、2、x的平均数为1，
∴（﹣2+1+2+x）÷4=1，
解得：x=3，
∴这组数据的方差为：
[（﹣2﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=．
过答案为：． 点评： 本题考查了方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
7．（2分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC与∠DCB的平分线相交于点H，过H作AD的平分线交AB于E，交CD于F．若BE=3，CF=2，则EF=5．
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；梯形． 分析： 根据平行线的性质以及角平分线的定义可以证得∠EBH=∠EHB，则EH=BE，同理HF=CF，则EF的长可以求得． 解答： 解：∵EF∥BC，
∴∠HBC=∠EHB，
又∵∠EBH=∠HBC，
∴∠EBH=∠EHB，
∴EH=BE=3，
同理，HF=CF=2，
∴EF=EH+HF=2+3=5．
故答案是：5． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定定理，理解定理是关键．
8．（2分）将一张矩形纸条按如图所示的方法折叠一次，如果∠1=142°，那么∠2的度数为109°．
考点： 平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． 分析： 根据两直线平行，同旁内角互补可得∠3=180°﹣∠1，再根据翻折变换的性质求出∠4，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答即可． 解答： 解：∵矩形的对边平行，∠1=142°，
∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣142°=38°，
∴∠4=（180°﹣∠3）=（180°﹣38°）=71°，
∴∠2=180°﹣∠4=180°﹣71°=109°．
故答案为：109°．
点评： 本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
9．（2分）数据2、3、5、3、4、6的众数为x，中位数为y，则x﹣y=．
考点： 众数；中位数． 分析： 根据众数及中位数的定义，可得出x、y的值，代入运算即可得出答案． 解答： 解：将数据从小到大排列为：2，3，3，4，5，6，
这组数据的众数为3，中位数为=，
则x=3，y=，x﹣y=﹣．
故答案为：﹣． 点评： 本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是熟练掌握众数及中位数的定义，在求解中位数之前一定要先将数据重新排列．
10．（2分）菱形ABCD的面积为15，周长为20，已知AE是BC边上的高，则CE的长可能为1或9．
考点： 菱形的性质． 专题： 分类讨论． 分析： 首先根据题意画出图形，再根据菱形的周长可得菱形的边长，根据面积即可得到高AE，再根据勾股定理可以计算出BE的长，进而得到答案． 解答： 解：如图1所示：
∵菱形周长为20，
∴AB=BC=20÷4=5，
∵菱形ABCD的面积为15，
∴BC?AE=15，
∴AE=3，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴BE==4，
∴EC=5﹣4=1；
如图2：EC=5+4=9，
故答案为：9或1．
点评： 此题主要考查了菱形的性质，关键是注意此题分两种情况，不要漏解．
二、选择（单选，每小题3分，共15分）
11．（3分）（2012?无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边
形ABED的周长等于（）
A． 17 B． 18 C． 19 D． 20
考点： 梯形；线段垂直平分线的性质． 分析： 由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案． 解答： 解：∵CD的垂直平分线交BC于E，
∴DE=CE，
∵AD=3，AB=5，BC=9，
∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．
故选A． 点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．
12．（3分）（2008?扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）
A． 当AB=BC时，它是菱形 B． 当AC⊥BD时，它是菱形 C． 当∠ABC=90°时，它是矩形 D． 当AC=BD时，它是正方形
考点： 正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定． 分析： 根据已知及各个四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案． 解答： 解：A：正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
B：正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
C：正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；
D：不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形；
故选D． 点评： 此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
13．（3分）将一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，下列说法正确的是（）
A． 平均数不变，方差改变 B． 方差不变，平均数改变 C． 方差不变，标准差改变 D． 标准差不变，方差改变
考点： 方差；算术平均数；标准差． 分析： 根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数改变，即可得出答案． 解答： 解：一组数都加上一个不等于0的常数后，平均数变大，
一组数都减去同一个不等于0的常数后，平均数变小，
则一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，平均数改变，但是方差不变；
故选B． 点评： 本题考查了方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，掌握平均数和方差的特点是本题的关键．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使点D落在AC边上的D′处，折痕为AH，则CH的长为（）
A． B． 2 C． D． 3
考点： 翻折变换（折叠问题）． 分析： 首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得AD′=AD=3，进而得到CD′的长度，然后再设DH=x，则D′H=x，CH=4﹣x，根据D′H2+D′C2=HC2，可得x2+22=（4﹣x）2，再解方程可得x的值，进而可以计算出CH的长． 解答： 解：∵AB=4，AD=3，
∴AC==5，由折叠可得AD′=AD=3，∴CD′=2
设DH=x，则D′H=x，CH=4﹣x，∵D′H2+D′C2=HC2，∴x2+22=（4﹣x）2，
解得：x=，CH=4﹣=，
故选：C． 点评： 此题主要考查了图形的折叠，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠后那些线段是对应相等的．
15．（3分）（2010?茂名）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）
A． 2 B． 3 C． D． 1+
考点： 旋转的性质． 专题： 压轴题． 分析： 当AB绕点A逆时针旋转45度后，刚回落在正方形对角线AC上，可求三角形与边长的差B′C，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD的周长． 解答： 解：连接B′C，
∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，
∴B′在对角线AC上，
∵AB=AB′=1，用勾股定理得AC=，
∴B′C=﹣1，
在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=﹣1，
在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC=（﹣1）=2﹣，
∴OD=1﹣OC=﹣1
∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD=2+﹣1+﹣1=2．
故选A．
点评： 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形边长的求法．连接B′C构造等腰Rt△OB′C是解题的关键．
三、解答题
16．（6分）先化简分式，然后从的范围内选一个合适的整数作为x代入求值．
考点： 分式的化简求值；估算无理数的大小． 专题： 计算题． 分析： 原式先利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后通分，并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x=﹣2代入计算即可求出值． 解答： 解：原式=﹣?=﹣==x+1，
∵﹣＜x＜中的整数有﹣2，﹣1，0，1，2，但x≠0且x≠±1，
∴当x=﹣2时，原式=﹣2+1=﹣1． 点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
17．（6分）（2009?杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，∠BCD=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE于点P．
（1）求证：AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．
考点： 等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： 由ASA可证△BAE≌△ADF，继而得证，并得出∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE，结合题意，可得∠BPF=120°． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，
又∵AD=DC，
∴BA=AD（等量代换），
又∵∠BAE=∠ADF（等腰梯形的性质），
∵AD=DC，DE=CF，
∴AD+DE=DC+CF，
∴AE=DF（等量代换），
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF（对应边相等）；（2）解：猜想∠BPF=120°．
∵由（1）知△BAE≌△ADF（已证），
∴∠ABE=∠DAF（对应角相等）．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAP+∠EAF=∠BAE（等量代换）．
∵AD∥BC，∠DCB=∠ABC=60°（已知），
∴∠BPF=∠BAE=180°﹣60°=120°（等量代换）． 点评： 此题考查了等腰梯形的性质和全等三角形的判定的理解及掌握．
18．（8分）某商店用2000元购进一批电动玩具，面市后发现供不应求，该商店又购进第二批同样的玩具，所购数量是第一次所购数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二次用了6300元，求该商店两次共购进多少个电动玩具？
考点： 分式方程的应用． 分析： 首先设购进第一批电动玩具的单价是x元，则购进第二批电动玩具的单价是（x+4）元，根据题意可得等量关系：第一批购进的数量×3=第二批购进的数量，由等量关系可得方程×3=，解方程即可． 解答： 解：设购进第一批电动玩具的单价是x元，则购进第二批电动玩具的单价是（x+4）元，由题意得：×3=，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解．
第一批电动玩具：==25（个），第二批电动玩具：25×3=75（个），两次共购进电动玩具：25+75=100（个）． 点评： 此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，设出未知数，列出方程．列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．
19．（8分）如图，一次函数y1=ax+1的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象相交于M（m，3）、N（3，n）两点，△OMN的面积为．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2时x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 专题： 数形结合． 分析： （1）将M坐标代入反比例解析式表示出m，再由A与N坐标，以及已知三角形MON的面积，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出反比例解析式；将M坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出M坐标，代入一次函数解析式求出a的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由M与N坐标，以及0，将x轴分为4个范围，找出一次函数图象位于反比例图象上方时的范围即可． 解答： 解：（1）∵M（m，3）在反比例y2=的图象上，
∴3=，即m=，
∵A（0，1），N（3，n），S△OMN=，
∴×1×（﹣）+×1×3=，
解得：k=﹣6，
∴反比例解析式为y2=﹣；
∴m=﹣2，即M（﹣2，3），
代入y1=ax+1中得：a=1，
∴一次函数解析式为y1=x+1；（2）将N（3，n）代入反比例函数解析式得：n=﹣2，即N（3，﹣2），
再由M（﹣2，3），结合图形得：y1＞y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜3． 点评： 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，以及一元二次方程的解法，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20．（9分）（2013?大连一模）某校图书馆欲购买5000本学生课外书，为了使所购书籍更加贴近学生的需求，学校随机选取部分学生就他们最喜欢的图书类型进行问卷调查，问卷共设“艺术类、科技类、文学类、其他”四个选项，被调查学生必须从四项中选出一项．整理调查结果，绘制出部分条形统计图（如图）和部分扇形统计图（如图）．根据图中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共选出120名学生；
（2）在被调查的学生中，最喜欢艺术类书籍的学生占被调查学生的10%；
（3）如果按照本次调查情况购买学生课外书，那么学校将购买多少本文学类书籍？
考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 分析： （1）科技类书籍有36本，占30%，据此即可求解；
（2）根据喜欢艺术类的有12人，除以总数即可求解；
（3）利用总数5000乘以，文学类书籍所占的比例即可求解． 解答： 解：（1）被调查的总人数是：36÷30%=120（人）
故答案是：120；
（2）×10%=10%
故答案是：10；
（3）文学类书籍所占的比例为×100%=40%，
学校购买文学类书籍为：5000×40%=2000（本）． 点评： 题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（9分）如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点Q是BC边的中点，点P是AD边上的一个动点，PE∥DQ交AQ于点E，PF∥AQ交DQ于点F．
（1）四边形PEQF的形状是平行四边形．
（2）当P运动到什么位置时，四边形PEQF是菱形？并说明理由．
（3）四边形PEQF不可能为正方形（填“可能”或“不可能”）．
考点： 矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定． 分析： （1）根据PE∥DQ，PF∥AQ推出四边形PEQF是平行四边形即可；
（2）当P运动到AD的中点时，四边形PEQF是菱形，求出AP=PD，根据平行线性质得出∠APE=∠PDF，∠PAE=∠DPF，证△APE≌△PDF，推出PE=PF，根据菱形的判定推出即可；（3）不可能，假如四边形是正方形，根据正方形的性质得出∠AQD=90°，推出AB=BQ，CQ=CD，与已知相矛盾． 解答： 解：（1）四边形PEQF的形状是平行四边形，
理由是：∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴四边形PEQF是平行四边形，
（2）当P运动到AD的中点时，四边形PEQF是菱形，
理由是：∵P为AD中点，
∴AP=PD，
∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴∠APE=∠PDF，∠PAE=∠DPF，
在△APE和△PDF中
∴△APE≌△PDF（ASA），
∴PE=PF，
∴平行四边形PEQF是菱形；
（3）不可能，
∵假如四边形是正方形，
则∠AQD=90°，
根据SAS推出△ABQ≌△DCQ，
则∠AQB=∠DQC=45°，
∴AB=BQ，CQ=CD，
而已知AB=CD=2，BC=AD=3，
∴AB≠BQ，DC≠CQ，
即不可能是正方形，
故答案为：平行四边形；不可能． 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，菱形、平行四边形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
22．（9分）如图（1），Rt△ABC中，AB=BC，点D在AC上，DE⊥AC交AB于点E，点M为CE的中点．
（1）求证：△MBD是等腰三角形；
（2）将△DEA绕点A逆时针旋转，使点D落在AB上，如图（2）中的“△MBD为等腰直角三角形”仍然成立吗？请说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形． 专题： 计算题． 分析： （1）根据题意得到DM、BM分别为Rt△EDC、Rt△BEC斜边上的中线，则DM=EC，BM=EC，所以DM=BM；
（2）延长DM交BC于H，由于DE⊥AB，BC⊥AB，则DE∥BC，所以∠MED=∠MCH，根据“AAS”可判断△MHC≌△MDE，则CH=DE，MD=MH，利用DE=AD得到AD=CH，于是MB为等腰直角△BDH斜边上的中线，所以MB=MD=MH． 解答： （1）证明：∵ED⊥AC，∴∠EDC=90°，∵点M为CE的中点，∴DM=EC，
∵∠ABC=90°，∴BM=EC，∴DM=BM，∴△MBD是等腰三角形；
（2）解：△MBD为等腰直角三角形．理由如下：延长DM交BC于H，如图，
∵DE⊥AB，BC⊥AB，∴DE∥BC，∴∠MED=∠MCH，在△MHC和△MDE中，∴△MHC≌△MDE（AAS），∴CH=DE，MD=MH，∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE=AD，∴AD=CH，
而BA=BC，∴BD=BH，∴MB为等腰直角△BDH斜边上的中线，
∴MB=MD=MH，∴△MBD为等腰直角三角形．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质．也考查了等腰直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质．
23．（10分）把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、DC于点M、N．
（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MN=BM+DN．
（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、DN之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）延长MB到H，使BH=DN，连结AH，先利用“SAS”可判断△ABH≌△ADN，则AH=AN，∠HAB=∠NAD，由于∠MAN=45°，则∠DAN+∠BAM=45°得到∠HAM=∠NAM，然后再根据“SAS”证明△AMH≌△AMN，则MH=MN，即HB+MB=MN，所以MN=BM+DN；（2）在DN上截取BH=BM，与（1）一样先证明△ADH≌△ABM，得到AH=AM，∠DAH=∠BAM，再利用“SAS”证明△ANH≌△AMN，得到NH=MN，而DN=DH+HN，所以MN=DN﹣BM． 解答： （1）证明：延长MB到H，使BH=DN，连结AH，如图（1），∵四边形ABCD为正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，在△ABH和△ADN中，，∴△ABH≌△ADN（SAS），∴AH=AN，∠HAB=∠NAD，∵∠MAN=45°，∴∠DAN+∠BAM=45°，∴∠HAB+∠BAM=45°，∴∠HAM=∠NAM，在△AMH和△AMN中，，∴△AMH≌△AMN（SAS），∴MH=MN，即HB+MB=MN，∴MN=BM+DN；
（2）解：MN=DN﹣BM．理由如下：在DN上截取BH=BM，如图（2），
与（1）一样可证明△ADH≌△ABM，∴AH=AM，∠DAH=∠BAM，
∵∠MAN=45°，∴∠DAH+∠BAN=45°，∴∠HAN=45°，∴∠HAN=∠NAM，在△ANH和△AMN中，，∴△ANH≌△AMN（SAS），∴NH=MN，而DN=DH+HN，∴BM+MN=DN，即MN=DN﹣BM．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质．也考查了正方形的性质．
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