哈密顿

哈密顿
南京大学 易照华
　 哈密顿，W．R．(Hamilton，William Rowan)1805年8月4日生于爱尔兰都柏林；1865年9月2日卒于都柏林．力学、数学、光学．
　　哈密顿的父亲阿其巴德(Archibald Rowan Hamilton)为都柏林市的一个初级律师．哈密顿自幼聪明，被称为神童．他三岁能读英语，会算木；五岁能译拉丁语、希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗；九岁便熟悉了波斯语，阿拉伯语和印地语．14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头．
　　哈密顿自幼喜欢算术，计算很快．1818年遇到美国“计算神童”Z．科耳本(Colburn)后对数学产生了更深厚的兴趣．1820年再相逢时，哈密顿已阅读了I．牛顿(Newton)的《自然哲学的数学原理》(Mathematical principles of natural philosophy)，并对天文学有强烈爱好，常用自己的望远镜观测大体；还开始读P．S．拉普拉斯(Laplace)著作《天体力学》(Mécanique cé1este)，1822年指出了此书中的一个错误．同年开始进行科学研究工作，对曲线和曲面的性质进行了系列研究，并用于几何光学．他的报告送交爱尔兰科学院后，R．J．布林克莱(Brinkley)院士评论说：“这位年轻人现在是这个年龄(17岁)的第一数学家．”
　　1823年7月7日，哈密顿以入学考试第一名的成绩进入著名的三一学院，得到正规的大学训练，后因成绩优异而多次获得学院的古典文学和科学的最高荣誉奖．他在1823到1824年间完成了多篇有关几何学和光学的论文，其中在1924年12月送交爱尔兰皇家科学院会议的有关焦散曲线(caustics)的论文，引起科学界的重视．
　　1827年6月10日，年仅22岁的哈密顿被任命为敦辛克天文台的皇家天文研究员和三一学院的天文学教授．
　　哈密顿有兄弟姐妹八人，家庭负担很重；为减轻父亲经济压力，他毕业后带着三个妹妹住到敦辛克天文台．哈密顿不擅长天文观测，在天文台工作的五年中，仍主要从事理论研究；但因与外界很少联系，工作成果并未引起重视．
　　1832年，哈密顿成为爱尔兰皇家科学院院士后非常活跃，与学术界人士广泛交流讨论，包括一些诗人和哲学家．他从S．T．科勒里奇(Coleridge)的作品中了解到I．康德(Kant)的哲学，热情地读完康德主要著作《纯理性批判》(Kritik der Reinen Vernunft)．康德哲学观点对哈密顿后期的工作有很大影响．
　　1834年，哈密顿发表了历史性论文“一种动力学的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成为动力学发展过程中的新里程碑．文中的观点主要是从光学研究中抽象出来的．
　　在对复数长期研究的基础上，哈密顿在1843年正式提出了四元数(quaternion)，这是代数学中一项重要成果．
　　由于哈密顿的学术成就和声望，1835年在都柏林召开的不列颠科学进步协会上被选为主席，同年被授予爵士头衔．1836年，皇家学会因他在光学上的成就而授予皇家奖章．1837年，哈密顿被任命为爱尔兰皇家科学院院长，直到1845年．1863年，新成立的美国科学院任命哈密顿为14个国外院士之一．
　　哈密顿的家庭生活是不幸福的．早在1823年，他爱上了一位同学的姐姐卡塞琳·狄斯尼(Catherine Disney)，但遭到她的拒绝，哈密顿却终身不能忘情．在恋爱生活中一再碰壁之后，他于1833年草率地同海伦·贝利(Helen Bayly)结婚．虽然生育二子一女，终因感情不合而长期分居．哈密顿经常不能正规用餐，而是边吃边工作．他去世后，在他的论文手稿中找到不少肉骨头和吃剩的三明治等残物．
　　哈密顿工作勤奋，思想活跃．发表的论文一般都很简洁，别人不易读懂，但手稿却很详细，因而很多成果都由后人整理而得．仅在三一学院图书馆中的哈密顿手稿，就有250本笔记及大量学术通信和未发表论文．爱尔兰国家图书馆还有一部分手稿．
　　他的研究工作涉及不少领域，成果最大的是光学、力学和四元数．他研究的光学是几何光学，具有数学性质；力学则是列出动力学方程及求解；因此哈密顿主要是数学家．但在科学史中影响最大的却是他对力学的贡献．
　　1．经典力学的新里程碑
　　经典力学自牛顿创立(1687)以后，到J．L．拉格朗日(Lagrange)建立“分析力学”(1788)之前，称为牛顿力学；1788年以后称拉格朗日力学；1834年，哈密顿的著名论文“一种动力学的普遍方法”发表后，又称为哈密顿力学，它是力学发展中的新里程碑，在现代力学和物理学中有广泛应用．哈密顿的贡献主要有下列三个内容．
　　(1)哈密顿原理 哈密顿在1824—1832年间对几何光学的系列研究基础上，认为可找到一种普遍原理，他认真研究了L．欧拉(Euler)和拉格朗日的最小作用原理，用拉格朗日函数
L=T-V，(1)
　　建立了等式
 
　　其中T，V为所讨论的力学系统总动能和势能．势能V不仅为广义坐标qi的函数，还依赖广义速度qi(=dqi/dt)和时间t．当V只依赖于广义坐标时，S就可化为拉格朗日原理中的作用．另外，哈密顿认为力学系统的实际运动不一定使作用S为最小；故哈密顿提出的原理叫做稳定作用原理．由S的一阶变分为0，可导出力学系统的运动方程．虽然方程中的函数有改变，但仍称为拉格朗日运动方程：
 
　　(2)哈密顿正则方程组 从哈密顿原理求出的运动方程(3)是二阶常微分方程组．1835年，哈密顿利用广义动量
 
　　作为另一组变量，并引入一个新的函数
 
　　H是pi，qi，t的函数．用H可把运动方程(3)式化为一阶方程组：
 
　　这样的方程组后来被称为哈密顿正则方程组，函数H则称为哈密顿函数；pi，qi称正则共轭变量．
　　哈密顿在提出正则方程组(5)时指出，可选择适当的变换，使变换后的新变量仍为正则共轭变量，但新哈密顿函数可能少包含某些新坐标——循环坐标．每增加一个循环坐标，运动方程可降低二阶，由此可作为正则方程组的一种原则解法．这种使运动方程保持正则方程组形式的变换，称为正则变换．后来有很大发展，并有广泛应用．
　　(3)哈密顿-雅可比方法 哈密顿结合作用和正则方程组的定义，引入辅助函数W
 
　　对于满足正则方程组(5)式的解qi，pi有
 
　　由此可把W表示为广义坐标qi和n个任意常数ai以及时间t的函数，而且满足关系
 
　　(8)式实际上是函数W=W(qi，αi，t)对自变量qi，t的一个偏微分方程．这样就把正则方程组(2)式的解与偏微分方程(8)式的解联系起来了．
　　后来经过C．G．J．雅可比(Jacobi)在1837—1842年的系列研究，利用正则变换使新哈密顿函数等于0，也得到偏微分方程(8)；而且证明，对(8)式的任意一个完全解(即解出的函数W包含全部n个广义坐标qi，n个独立积分常数ai和时间t)，
W=W(qi，αi，t)，(9)
　　由相应关系
 
　　解出的
pi=pi(αi，βi，t)，qi=qi(αi，βi，t)(11)
　　就是原正则方程组(2)式的通解，其中βi为另外n个独立积分常数．
　　这就给出了正则方程组的另一种原则解法，叫做哈密顿-雅可比方法；偏微分方程(8)就称为哈密顿一雅-比方程．积分常数ai，βi称为正则常数．这些成果不仅推动力学的发展，也在变分法和微分方程的发展中有重要作用．
　　哈密顿的力学贡献很快在天体力学中广泛应用，用哈密顿正则方程组和正则变换建立天体运动方程及相应解法，促使天体力学在19世纪后期形成了发展高潮．
　　但在19世纪的数学界，对哈密顿力学有争议．例如著名数学家F．克莱因(Klein)就说过：哈密顿的结果很漂亮，但没有用．以后的情况否定了这种看法．
　　20世纪以来，在现代物理学各分支，如波动力学、量子力学、相对论、原子物理学的建立过程中，哈密顿力学都起了重要作用．量子力学 理学的基石．50年代以后，一批数学和力学家们用现代数学提高了哈密顿力学的深度，其中代表作是苏联著名力学家B．И．阿诺德(ApHoлЬД)所著的《经典力学的数学方法》(Mathe－matical methods of classical mechanics，1974年出俄文版，1978年出英译本)．该书在辛流形(symplectic manifold)上建立哈密顿力学，使哈密顿力学现代化．
　　人们还发现，哈密顿正则方程组在计算方法上有特殊优点，只要适当建立相应的数值积分方法，可使误差积累很慢，适用于计算步数很大的课题．中国计算数学家冯康等建立的辛积分法，符合哈密顿方程组的特点，计算效果很好，受到国际上的重视．
　　2．四元数的创立者
　　哈密顿研究四元数花的时间最多，前后约30年．早在1827年，他就开始研究复数性质，到1837年正式提出复数
 
　　不是a与bi的和，而是实数a，b的有序偶(a，b)．只要明确有序偶的运算规则，就可不用i而建立全部复数理论．由此诞生复数代数．
　　复数可以表示平面上的向量，但实用向量应是三维的，是否有“三维复数”？1830年后，不少著名数学家如 C．F．高斯(Gauss)等都在探求．哈密顿在弄清复数之后，仍按实数性质探求这种具有三个分量的“复数”．他终于成功了，可是所得的新数只能是四个分量，而且不符合乘法交换律．哈密顿在1843年把所得的新数命名为四元数，它的一般形式为
p=a＋bi+cj+dk， (12)
　　其中a，b，c，d是实数；a称为四元数的数量部分，另三项是向量部分．i，j，k称定性单元，类似于三维坐标轴方向的单位向量；b，c，d为某点在三维坐标系中的坐标，即四元数的向量分量．研究成果载于他的《四元数讲义》(Lectures on quaternion，1853)．
　　哈密顿定义四元数的和差即为数量部分及各向量分量的和差；四元数的乘积中，各分量相乘仍用实数乘法规则，但定义
 
　　这样，四元数的乘法不符合交换律，但符合结合律．
　　哈密顿还引进了四元数P的逆
p-1=(a-bi－cj-dk)/N(p)， (14)
　　而
N(p)=a2+b2+c2＋d2 (15)
　　称为四元数P的模．
　　另外，哈密顿还提出了以后通用的微分算子
 
　　对于任一函数u(x，y，z)，有
 
　　 哈密顿创立四元数后非常高兴，自认为与微积分一样重要，会成为数学和物理学中的一种关键工具．虽然这种估计有点过分，但四元数的创立，对后来代数学的发展确有重大作用，因为人们可以脱离实数和复数的传统规则，根据需要自由地创造各种数系，建立相应的代数学．不久后发展起来的向量代数和线性结合代数(linear associative algebra)都受到四元数的直接推动．
　　3．几何光学的重要贡献
　　哈密顿的第一个研究课题就是几何光学，早在进大学前就开始了，所花的时间仅次于四元数．他的主要贡献是用数学分析方法来研究几何光学，并把所得结果推广到动力学，从而提出哈密顿原理，大多数结果载于1827年发表的论文“光束理论”(Theoryof systems of rays)及后来的补充中，具体贡献如下．
　　(1)等作用曲面 点光源射出的光束经曲面镜反射或折射后，存在与光线正交的曲面族．哈密顿证明多次反射或折射后同样存在这种曲面族．在证明过程中，用到他本人发展了的最小作用原理，认为起点在垂直于光线的曲面上变化，经多次反射或折射后，相应的终点定出了垂直于光线的一个曲面．哈密顿称这些曲面为等作用面．把光当作微粒或波时，结论都相同．这就把几何光学与力学中最小作用原理联系起来，哈密顿后来称这种原理为变作用原理(prnciple of varying action)
　　(2)特征函数 根据多次反射(或折射)后的光束与一曲面族正交，将坐标为(x，y，z)的光线方向余弦记为α，β，γ，它们应为x，y，z的函数．哈密顿认为，方向余弦必须是某函数的梯度，即存在函数V=V(x，y，z)，有：
 
　　因此V应满足偏微分方程：
 
　　哈密顿称此方程的解V(x，y，z)为特征函数．显然，若在均匀各向同性介质中，V代表光源到(x，y，z)处的光线长度，则是一个解．哈密顿宣称：“特征函数包含了几何光学的全部．”
　　在1832年发表的“光束理论”第三个补充中，哈密顿把特征函数推广到能用于初始点变化，以及不均匀和各向异性介质的情况．这样，利用特征函数可把光学系统表示为初始和最终光线有关变量的函数；用最小作用原理可定出两固定点之间的光程，于是特征函数就把光学长度表示为变初始点和终端点的函数．哈密顿还把特征函数用于其他领域，取得下列重要结果．
　　①哈密顿在第三个补充中，用特征函数研究A．F．菲涅耳(Fresnel)的光波曲面后发现：在双轴晶体情况，存在四个劈锥状尖点，他由此预言：单光线以适当方向射入双轴晶体后，在晶体内折射成一个锥面，射出晶体后成为一个窄柱面；光线聚焦成一锥面射入双轴晶体后，在晶体内与单光线一样，射出晶体后成为一个窄锥面．这个预言在1832年底，由三一学院的H．洛依德(Lloyd)用实验证实．
　　②光线作为粒子运动时，与质点的力学运动相似．哈密顿从1833年起，用特征函数研究动力学课题．最初把特征函数作为一质点从初始点到终端点运动过程的作用，后来才推广到n个质点系统的情况，从最小作用原理到变作用原理，终于形成了著名的哈密顿原理．相应的特征函数V具体表示为V=tH+S．(18)
　　其中t为时间，H为n体系统的哈密顿函数，S即(2)式定义的作用．
　　另外，哈密顿的研究工作还涉及数学力学和光学的广泛领域，提出了不少新的看法．例如，他由动力学普遍方法引伸出所谓主关系算法(calculus of Principal relation)，用变分法解某些全微分方程；提出用速端曲线(hodograph)表示轨道运动；又提出不仅研究光的动力学，还要研究光在晶状介质传播中黑暗的动力学，并命名为暗动力学(skotodynamics)；他对光在介质中传播的研究导致群速度(group velocity)和相速度(phase velocity)的区分．可惜这些工作未能深入开展下去．