牛顿

牛顿
中国科学院数学研究所 李文林
　　牛顿，I．(Newton，Isaac)1643年1月4日(儒略历1642年12月25日)生于英格兰林肯郡格兰瑟姆镇沃尔索普(Woolsthorpe)村；1727年3月31日(儒略历1727年3月20日)卒于伦敦肯辛顿．数学、力学、物理学、天文学、化学、自然哲学．
　　依萨克·牛顿出身于农民家庭．祖父罗伯特·牛顿(RobertNewton)是一位富裕的农庄主．父亲(亦名依萨克·牛顿)继承了田庄，但与牛顿的母亲汉娜·埃斯库(Hannah Ayscough)结婚不到半年即病故．牛顿是遗腹子，而且早产，生后勉强存活．牛顿3岁时，母亲改嫁给邻村牧师B．史密斯(Smith)，牛顿被留在沃尔索普由外祖母抚养．大约从5岁开始，牛顿被送到附近斯吉林顿和史托克走读小学读书．1653年，母亲汉娜再度守寡，携牛顿的三个异父弟妹回到沃尔索普村．两年后，牛顿进入格兰瑟姆中学．少年牛顿不是神童，在校成绩并不突出．但他喜欢读书．在沃尔索普的农舍里保存有近200本牛顿少年时代读过的书籍．牛顿从中学起就有作读书笔记的习惯．有一本又大又厚的笔记本，原是史密斯牧师的神学摘记，牛顿将它继承下来并称之为“废书”(Waste Book)．“废书”后又被带到剑桥用作力学与数学笔记，其中记录了牛顿早年研究万有引力与微积分的心得，是牛顿早期科学发现的重要见证．
　　作为中学生的牛顿还酷爱玩具制作．他所制作的玩具实际上是各种机械模型，包括风车、木钟、日晷以及折叠式提灯(冬日清晨上学路上照明用)等等．在格兰瑟姆牛顿寄宿的克拉克药店卧室里，堆满了这类自制的玩具．
　　1659年，17岁的牛顿被母亲召回沃尔索普管理田庄．但牛顿对务农不感兴趣．一有机会，仍埋首书卷．在这种情况下，有两个人对他的前途起了决定性作用．牛顿的舅父W．埃斯库(Ays－cough)和格兰瑟姆中学校长J．史托克斯(Stokes)先生竭力劝说汉娜让牛顿复学．史托克斯校长对牛顿母亲说：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！”他甚至答应减收学费并让牛顿到自己家里用餐．他们终于说服了牛顿的母亲．1660年秋，牛顿在辍学九个月后又回到格兰瑟姆，为升学作准备．
　　1661年6月，牛顿入剑桥大学，成为三一学院的减费生(Su－bsizar)．入学前，牛顿已阅读过威廉舅舅送给他的一本桑德生(San－derson)《逻辑学》，这对他顺利掌握大学头二年的逻辑与哲学课程大有裨益．这一时期，牛顿还阅读了亚里士多德(Aristotle)的《工具篇》、《伦理学》，R．笛卡儿(Descartes)的《哲学原理》(Prin－cipia philosophiae)以及 T．霍布斯(Hobbes)、J． 马吉卢斯(Magirus)等人的哲学著作．从三年级起，牛顿开始接触大量自然科学著作，其中包括G．伽里略(Galilei)的《恒星使节》(Side－reus nuncius)、《两大世界体系的对话》(Dialogo dei massimi－systemi)，J．开普勒(Kepler)的《光学》(Astronomiae parsOptica)以及P·伽桑逖(Gassendi)的哥白尼天文学概述等．
　　根据J．康杜德(Conduitt)和 A．德·莫阿弗(De Moivre)的记述，牛顿在数学上很大程度是依靠自学．1663年，牛顿从斯图布里奇集市购得一本占星书，因缺乏三角知识看不懂其中的天象图，遂又买来三角课本和欧几里得(Euclid)《几何原本》(Ele－ments)阅读．但他的注意力很快被其他数学著作所吸引．下面是牛顿本人的回忆：“1664年圣诞节前夕，当时我还是一个高年级生，我买到了范·舒滕(van Schooten)的《杂论》(Miscellanies)和笛卡儿的《几何学》(La géométrie)(半年前我已读过笛卡儿的《几何学》与w．奥特雷德(Oughtred)的《数学入门》(Claviemathematicae))，同时借来了J．沃利斯(Wallis)的著作．”根据三一学院保存的牛顿读书笔记，可以进一步了解到牛顿大学时代数学阅读的范围，涉及的作者还有：F．韦达(Viéte)、P．费马(Fermat)、 C．惠更斯(Huygens)、J．德维特(de Witt)、F．德博内(de Beaune)、J．胡德(Hudde)和 H．范·休雷特(van Heuraet)等．在所有这些著作中，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》(Arithmetica Infinitorum)的影响是决定性的，它们将牛顿迅速引导到当时数学最前沿的领域——解析几何与微积分．
　　牛顿在广泛阅读的同时也听取大学的各种课程，特别是I．巴罗(Barrow)1664年后开设的卢卡斯(Lucas)讲座．牛顿后来追溯流数概念的来源时说道：“巴罗博士当时讲授关于运动学的课程，也许正是这些课程促使我去研究这方面的问题．”
　　1665年1月，剑桥大学评议会通过了授予牛顿文学士的决定．同年8月，大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡．随后两年里，除偶尔回校及到邻镇布思比小住外，牛顿都是在家乡沃尔索普度过．这段时间成为牛顿科学生涯中的黄金岁月：制定微积分，
　　发现万有引力，提出光学颜色理论……，可以说描绘了他一生大多数科学创造的蓝图．
　　1667年复活节后不久，牛顿回到剑桥，但对自己的重大发现却未作宣布．这年 10月他被选为三一学院初级院委(minor fe－llow)；翌年4月，获硕士学位，同时成为高级院委(major fe－llow)．
　　1669年10月，牛顿继巴罗任卢卡斯教授．牛顿大学毕业后，曾作过巴罗的助手并协助修改后者的《几何与光学讲义》(Lec－tiones opticae et geometricae，1669)．巴罗认识到牛顿的才华，他自动辞去卢卡斯教授之职而给牛顿以机会．巴罗让贤，在科学史上一直被传为美谈．
　　作为卢卡斯教授，牛顿自1670年起主持了一系列重要的科学讲座．1670—1672年光学讲座，总结了牛顿的光学研究，其讲义经修订后于1704年正式出版，这就是著名的《光学》(Opticks)；接着牛顿用了整整十年(1673—1683)时间讲授代数；1684—1685年的卢卡斯讲座主题是运动学，这是由1684年8月E．哈雷(Ha－lley)的一次访问引起的．哈雷专程到剑桥向牛顿请教在引力服从反平方律时行星的轨道．不久牛顿将答案写成论文寄给皇家学会，同时将论文扩充为《论运动》(De motu corporum)的讲义，即1684年秋季开始的卢卡斯讲座内容，并且也是《自然哲学的数学原理》(Philosophiae naturalis principia mathematica)第一卷的初稿．此后便是牛顿全力创作《原理》的时期，至1687年春，《原理》第三卷“宇宙体系”告成，“宇宙体系”也是这一年卢卡斯讲座的题目．在哈雷的敦促与资助下，《原理》于同年夏正式出版．这部划时代的巨著奠定了牛顿在科学史上的不朽地位．
　　在任卢卡斯教授期间(1669—1701)，除了上述领域外，牛顿继续致力于改进完善自己早年的微积分工作以及其他方面的数学研究，同时还花费了大量的精力探讨化学及炼金术．
　　1680年代末，牛顿一度卷入政治斗争．他曾作为剑桥大学九人委员会成员之一，在抵制国王詹姆士二世派遣一名亲信的天主教徒到剑桥任职的行动中起了重要作用．牛顿因此于1689年1月当选为代表剑桥大学的议员而进入了国会．1701年又再度当选．
　　1693年秋，长期紧张的科学研究使牛顿患了严重的忧郁症，病虽经治愈，但他从此结束了剑桥宁静的学者生活．1696年，牛顿通过他的学生、财政大臣C．蒙塔古(Montague)的关系而谋得伦敦造币局总监之职，遂移居伦敦，并指定W．惠斯顿(Whi－ston)代理卢卡斯教授．1699年，牛顿因督办铸币有方而升任造币局长，这促使他于1701年10月下决心最终辞去卢卡斯教授之职．牛顿晚年就在伦敦度过．除了造币局的工作，他于1703年起出任皇家学会会长(牛顿早在1672年就已当选为皇家学会会员)．1705年，牛顿被女王安娜封爵，达到了他一生荣誉之巅．1727年3月31日，牛顿在患肺炎与痛风症后溘然辞世，葬礼在威斯特敏斯特大教堂耶路撒冷厅隆重举行．当时参加了牛顿葬礼的F．M．A．伏尔泰(Voltaire)“看到英国的大人物们都争抬牛顿的灵柩”，感叹说：“英国人悼念牛顿就像悼念一位造福于民的国王．”据说这位法国作家禁不住虔诚地从牛顿所戴的桂冠上摘下一片叶子珍藏纪念．诗人A．波普(Pope)三年后在为牛顿所作墓志铭中写下了这样的名句：“自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜中．上帝说：‘让牛顿出世！’于是一切都豁然明朗．”剑桥三一学院教堂大厅内立有牛顿全身雕像，供世人瞻仰．
　　在牛顿的全部科学贡献中，数学成就占有突出的地位，这不仅是因为这些成就开拓了崭新的近代数学，而且还因为牛顿正是依靠他所创立的数学方法实现了自然科学的一次巨大综合而开拓了近代科学．
　　二项定理的发现 牛顿数学生涯中第一个创造性成果乃是关于任意次幂的二项展开定理．根据牛顿本人回忆，他是在“ 1664年和1665年间的冬天，在研读沃利斯博士的《无穷算术》并试图修改他的求圆面积(或计算 
　　牛顿对二项定理的原始推导，写在他1664—1665年间的一本读书笔记上而被保存至今．但牛顿迟至1676年才在致皇家学会秘书H．奥尔登堡(Oldenburg)的两封信中正式公布这项发现，这两封信是为了答复G．W．莱布尼茨(Leibniz)的有关询问而写．在《前信》(epistola prior，1676年6月13日)中，牛顿写道：“由于他(莱布尼茨)很想了解英国人在这一领域的工作，而我本人若干年前曾钻研过这一理论，所以我将自己得到的一些结果寄给您，以满足(至少部分满足)他的要求．”牛顿接着便以下列形式首次叙述了二项定理：
 
　　并指出“此处P＋PQ表示要求其根或任意次幂或幂的根的量；P表示该量的首项，Q则是首项相除后的余项，m/n 是 P＋PQ的幂指数，不论其是整数还是分数、正数还是负数”，而“在计算过程中要求的各商项用A，B，C，D等来表示，即第一项Pm/n记作A；第二项 
　　莱布尼茨复函要求进一步说明二项定理的来源．牛顿于是在《后信》(epistola posterior，1676年10月24日)中追述了自己发现二项定理的思路．
　　如所周知，沃利斯在《无穷算术》中考虑数列
 
　　 
 沃利斯影响但却采取了崭新的途径：他不是考虑数列而是考虑一函数序列
 
的插值．当n为偶数时，牛顿利用沃利斯 
　　f0(x)＝1(x)，
　　 
　　…
　　 
　　牛顿试图对上述级数序列的系数插值，当n＝1时就将得到四分之一的单位圆面积．为此他注意到上述序列中所有级数的第一项都是x，第二项(0/3)x3，(1/3)x3，(2/3)x3，(3/3)x3则构
 牛顿指出当n为偶数时，诸系数amn构成帕斯卡三角，且满足关系am，n+2＝am-1,n＋am，n．牛顿接着便利用类比推理假定对奇数n，插值后的am，n此关系仍成立，由此便可从已得到的a0n＝1，a1n＝n/2而逐步推算出其余的amn来．如牛顿算出f1(x)的前七项am1之值为
 
 
　　由此看出amn的一般形式
 
　　 结果逐项微分便立即得到二项定理：
 
　　其中
 
　　牛顿在关于二项定理的早期研究中，根据同样的思路用插值法计算 
 　
　　这实质上是对数级数的最早推导．牛顿又通过逐项微分进而得到几何级数
 
　　在后来的文献中牛顿便抛弃了插值法而将此类展开看作是二项定理当指数取负值时的特例，如在《前信》中，牛顿给出了例子
 
等等．
　　在牛顿之前，正整数幂的二项展开早为人们熟知．牛顿将其推广到正负有理数幂的情形，这是从有限向无限的飞跃，这一飞跃为无穷级数研究开辟了广阔的前景．寻找一些熟知的函数的无穷级数表示，是牛顿同时代数学家们的热门课题．牛顿凭借自己发现的二项定理而能得到其它一系列函数的无穷级数．例如就在发 正弦级数
 
　　同样还得到了 arc tanx的级数展开．稍后，他运用反演法从已知的 logx与 arc sin x的无穷展开推出指数级数、正弦级数以及余弦级数：
 
　　 
　　等等．牛顿为能发现这么多函数级数而自豪．在17—18世纪，无穷级数是微积分不可缺少的工具．
　　微积分的制定 微积分的发明、制定是牛顿最卓越的数学成就．
　　微积分所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大、极小值问题等，在牛顿之前即已受到人们的研究，有的(如求积问题)甚至可以远溯古代．17世纪上半叶，天文、力学与光学等自然科学的发展使这些问题的解决越益成为燃眉之急．当时几乎所有的科学大师都竭力寻求有关的数学新工具，特别是描述运动与变化的无穷小算法，并且正是在牛顿诞生前后的一个时期内，取得了迅速的进展，其中最重要的如开普勒的旋转体体积计算法(1615)、费马求极大极小值的方法(1629)、B．卡瓦列里(Cavalieri)的“不可分量原理”(1635)、笛卡儿的解析几何及切线构造法(1637)、沃利斯的分数幂积分(1655)、巴罗的微分三角形(1664—1665)等等．这一系列前驱性的工作，对于求解各类具体无穷小问题作出了宝贵贡献，但却缺乏一般性，尚不能满足当时科学的普遍需要．牛顿超越前人的功绩是在于，他能站在更高的角度，对以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——微分与积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最后的也是最关键的一步，并为其深入发展与广泛应用铺平了道路．
　　流数论的初建 牛顿对微积分的研究始于1664年秋．当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生了兴趣并试图寻找更好的方法．就在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量．在1665年夏瘟疫迫使他离开剑桥前不久，牛顿接连写了几份手稿，致力于笛卡儿、费马、胡德等人算法的改进．其中5月20日手稿引进了一种带双点的字母记号：对于量a，记号 相当于导数的齐 流数记号混为一谈．
　　1665年夏至1667年春牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续研究微积分并取得了突破性进展．据他自述，1665年11月发明正流数术(微分法)，次年5月又建立了反流数术(积分法)．1666年10月，牛顿着手整理前两年的研究而写成一篇总结性论文，此文现以《1666年10月流数简论》(The october 1666 tract on fluxions)著称，当时虽未正式发表，却曾在牛顿的朋友与同事中传阅．《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献．
　　牛顿在《流数简论》中，事实上以速度形式引进了流数概念，但未使用“流数”这一术语．他提出流数计算的基本问题如下：
　　(a)“设有二个或更多个物体A，B，C，…在同一时刻内描画线段x，y，z，…．已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p，q，r，…的关系．”
　　(b)“已知表示线段x和运动速度p，q之比p/q的关系方程式，求另一线段y．”
牛顿对多项式情形给出(a)的解法：“将所有的项移至方程一边， 
　　相等的倍数．(若还有更多的未知量，则依此类推．)令所有乘积之和等于零，此方程就给出了速度p，q，r，…的关系式．”这就是说，对多项式f(x，y)＝Σaijxiyi＝0问题(a)的解为
 
　　为了“证明”上述结果，牛顿采用了时间t的无穷小瞬o的概念，并指出：“正如速度为p的物体A在某一瞬描画的无穷小线段为p×o，速度为q的物体B在同一瞬内将描画出线段q×o……，这样．若在某一瞬已描画的线段是x和y，则至下一瞬它们将变成x＋po和y＋qo．”牛顿分别以x＋po和y＋qo代换方程中的x和y，例如在方程x3－abx＋a3－dyy＝0中作这样的代换后，牛顿利用二项展开得
x3＋3pox2＋3p2o2x＋p3o3－dy2
－2dqoy－dq2o2－abx－abpo＋a3＝0，
　　消去和为零的项(x3－abx＋a3－dyy＝0)，剩下
　　3px2o＋3p2xo2＋p3o3－2dqoy－dq2o2－abpo＝0，
　　以o除之得
3px2＋3p2xo＋p3o2－2dqy－dq2o－abp＝0．
　　此时牛顿指出“其中含o的那些项为无限小”，略之得3px2－abp－2dqy＝0即欲求证的解．
　　对于问题(b)，牛顿给出的解法实际上是问题(a)的解的反运算．特别重要的是，《流数简论》中有一个问题讨论了如何借助于这种反运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”．
　　牛顿是这样推导微积分基本定理的：如图1，设 ab＝x，△abc＝y为已知曲线 q＝f(x)下的面积．作 de∥ab⊥ad∥be＝p＝1，当垂线cbe以单位速度向右移动时，eb扫出面积□abed＝x，
  
　　在牛顿以前，面积总是被看作无限小不可分量之和．牛顿却从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积．面积计算可以看成是求切线的逆过程，这事实以往虽然也曾被少数人(如牛顿的老师巴罗)模糊地猜测到，但只有牛顿有足够的敏锐与能力将这种互逆关系作为一般规律明确揭示出来．不仅如此，牛顿在《流数简论》中还指出：“一旦(反微分)问题可解，许多问题也都将迎刃而解”．《流数简论》的其余部分就用大量篇幅讨论正、反微分运算的各种应用，处理了求曲线的切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等共16类问题，展示了牛顿的算法的普遍性与系统性．
 
　　向不可分量观点的摇摆《流数简论》标志着系统的微积分算法的诞生，当然它在许多方面是不成熟的．在完成这部著作后，牛顿于1667年春返回剑桥，从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，《分析学》是这条道路上的第一个脚印．
　　1669年7月，正当巴罗考虑辞去卢卡斯教授职位之际，牛顿交给他一篇题为《用无限多项方程的分析学》(De Analysi per Ae－quationes Infinitas，简称《分析学》)的论文手稿．巴罗阅后立即函告当时皇家学会的数学顾问J．柯林斯(Collins)道：“此间一位朋友数日前交给我一篇文章，其中提出了计算量的幂次的方法，与N．墨卡托(Mercator)先生处理双曲线的方法相仿但却更为一般；……这位朋友是研究这方面问题的卓越天才．”几天后，巴罗便将这份手稿寄给了柯林斯，柯林斯复制的副本从此保存在皇家学会，但《分析学》直到1711年才正式发表．
　　《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作．1668年9月，苏格兰学者墨卡托发表了《对数技术》(Loga－rithmotechnia)一书，其中陈述了对数级数，这促使牛顿公布自己关于无穷级数的成果．与此同时，牛顿在《分析学》中利用这些级数来计算面积、积分、流数以及解方程等，因此《分析学》体现了牛顿的微积分与无穷级数方法紧密结合的特点．
　　关于微积分本身，牛顿在《分析学》中不失时机地对自己的方法作了简短说明．论文一开始就叙述了计算曲线y＝f(x)下面积的法则．其 
　　牛顿取x(而不是时间t)的无究小瞬o，并以x＋o代x，以z＋oy代z，则
 
　　用二项定理展开后，以o除方程两边，略去含o的项即得y＝axm/n．
　　 了另一条法则：若y值是若干项之和，那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和，这相当于逐项积分定理．
　　与1666年10月《流数简论》不同，牛顿在《分析学》中迴避了流数概念及其运动学背景．《分析学》使用的无穷小瞬o的概念在性质上是含糊的，牛顿有时直截了当地令其为零，因而带上了浓厚的不可分量色彩．
　　成熟的流数法 《分析学》是急就篇．两年后牛顿又写成了一部论述流数法的专著——《流数法与无穷级数》(The method offluxions and infinite series，简称《流数法》)．《流数法》可以看作是1666年10月《流数简论》的直接发展．牛顿在其中又恢复了运动学观点，但对于以物体运动速度为原型的流数概念作了进一步提炼．正是在这部著作中，牛顿首次使用了“流数”(fluxion)这一术语．他后来对《流数法》中的流数概念作了如下解释：
　　“我把时间看作是连续流的流动或增长，而其他量则随着时间而连续增长．我从时间的流动性出发，把所有其他量的增长速度称之为流数，又从时间的瞬息性出发，把任何其他量在瞬息时间内产生的部分称之为瞬．”(原始文献［9］，Vol．Ill，p．17．)
　　《流数论》以清楚的流数语言表述微积分的基本问题为：“已知流量间的关系，求流数关系”，以及反过来“已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系”．与《流数简论》类似，牛顿从时间的无穷小瞬o出发来推导其流数算法．
　　流数语言的使用使牛顿的微积分算法在应用方面获得了更大的成功．以极大、极小值的确定为例，牛顿借流数概念给出了下述法则：“一个量在取极大或极小值的一瞬，它既不向前也不向后流动；因为如果它向前流动或增加的话，那么它就比原来大，并将变得更大；反之，若它向后流动或减少的话，情况恰好相反．因此，(用前述方法)求出它的流数，并且令此流数等于零”，这相当于通过方程f′(x)＝0来求函数f(x)的极值点．
　　《流数法》虽脱稿于1671年，但直到1736年才正式发表，当时牛顿已经去世．该书原用拉丁文写成，第一版却是英文本，由J．科尔森(Colson)根据W．琼斯(Jones)的拉丁文抄本译出．需要指出的是，琼斯的抄本在符号上没有忠于原作．《流数论》拉丁文原稿中并未出现带点流数记号，而是仍以字母l，m，n，r等表示变量v，x，y，z等的流数．这种表述形式使流数方法不易被读者理解，故琼斯抄本便将原稿中所有表示流数的字母统统换成当时已广为使用的标准点记号 了琼斯的做法，这酿成了后人以为牛顿本人在《流数法》中已引进标准流数记号的误解．
　　《曲线求积术》与首末比方法 无论是《分析学》还是《流数法》，都是以无穷小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：在《流数法》中变量x，y的瞬p×o，q×o随时间瞬o而连续变化，而在《分析学》中变量x，y的瞬则是某种不依赖于时间的固定的无穷小微元．大约到80年代中，牛顿关于微积分的基础在观念上发生了新的变革，这就是“首末比方法”的提出．首末比法最先以几何形式在《自然哲学的数学原理》中公布，其详尽的分析表述则是在《曲线求积术》(De quadratura curvarum)中给出的．在牛顿所有的微积分论文中，《曲线求积术》写作最晚但发表最早．关于其具体撰写日期，过去一般认为是在1676年，现已弄清，牛顿是在1691年才写成这部著作，最初拟作为他的未完成著作《几何学》(Geometria)的第二卷，后来改变计划而作为《光学》的附录于1704年公诸于世．
　　《曲线求积术》可以看作是牛顿最成熟的微积分著述．在这里，牛顿迴避了无穷小量并批评自己过去那种随意忽略无穷小瞬o的做法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略．……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．”在此基础上定义了流数概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比，确切地说，它们构成初生增量的最初比，但可用任何与之成比例的线段来表示．”接着牛顿借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比．他举例说明自己的新方法如下：为了求y＝xn的流数，设x变为x＋o，xn为(x＋o)n＝ 
 
　　然后“设增量o消逝，它们的最终比就是1/nxn－1，”这也是x的流数与xn的流数之比．
　　这就是所谓“首末比方法”，它相当于求函数自变量与应变量变化之比的极限，因而成为极限方法的先导．
　　牛顿在《曲线求积术》中第一次引进了后来被普遍使用的流数记号：“用字母x，y，x，v表示不定量，并用带点的同样字母 或变化率，可称之为相同量z，y，x，v的二次流数，并记作量 著名的记法曾于1693年首先公布在沃利斯的《代数学》(De algebra tractatus)新版本中．
　　《原理》与微积分 牛顿微积分方法的第一次公开表述，出现在1687年《自然哲学的数学原理》之中．
　　《原理》中并没有明显的分析形式的微积分运算．整部著作是以综合几何的语言写成．但牛顿在第一卷第一章开头部分通过一组引理(共11条)建立了“首末比方法”，这正是他后来在《曲线求积术》中作为流数运算基础而重新提出的方法，不过在《原理》中“首末比方法”本身亦强烈地诉诸几何直观．
 
　　第一卷引理Ⅰ“量以及量之比，若在一有限时间内连续趋于相等，并在该时间结束前相互接近且其差可小于任意给定量，则它们最终亦变为相等”，可以看作是初步的极限定义．在随后的引理中牛顿便借极限过程来定义曲边形的面积：如图2，在曲线acE与直线Aa，AE围成的图形AacE中内接任意个数的矩形Ab，Bc，Cd，…，同时作矩形aKbl，bLcm，cMdn，…．牛顿首先设所有的底AB，BC，CD，DE，…皆相等，证明了“当这些矩形的宽无限缩小而它们的个数无限增加时，……内接形AKbLcMdD、外接形AalbmcndoE与曲线形AabcdE相互的最终比是等量比．”然后指出当矩形之宽互不相等(如图设最大宽度为AF)但都无限缩小时，上述最终比仍是等量之比．牛顿还 而最终相合时”，“弦、弧及切线间相互的最终比为等量比”，等等．
　　牛顿在第一卷第一章评注中说他“提出这些引理作为前提，以避免古代几何学家所使用的烦琐的归谬法”．另一方面牛顿又阐明了首末比法与不可分量法的区别：虽然“此处所做的事情与用不可分量法所做的一样，但现在这些原理是经过证明的，我们可以更放心地使用它们．所以，如果我偶尔将量看作由许多微小元素组成，或是用微小的曲线来代替直线的话，我的意思不是指不可分量，而是指消逝的可分量；不是指确定部分的和与比，而是指和与比的极限”．
　　牛顿预见到首末比方法可能遭受的批评，并意识到争论的焦点将在于“最终比”概念．为了答复这类批评，他在前述引理的评注中对于什么是“最终比”作了进一步说明：“消逝量的最终比实际上并非最终量之比，而是无限减小的量的比所趋向的极限．它们无限接近这个极限，其差可小于任意给定的数，但却永远不会超过它，并且在这些量无限减小之前也不会达到它．”
　　尽管《原理》表现出以极限方法作为微积分基础的强烈倾向，但并不意味着牛顿已完全摒弃无穷小观点．在第二卷第二章中，人们可以看到无穷小瞬方法的陈述．该章引理Ⅱ指出：“任何生成量(genitum)的瞬，等于生成它的各边的瞬乘以这些边的幂指数及系数并逐项相加．”此处所谓“生成量”，即雏形的函数概念．牛顿说明这类量的例子有“积、商、根……”等，并把它们看成是“变化的和不定的”；生成量的瞬则是指函数的微分．因此，上述引理实际上相当于一些微分运算法则．例如，牛顿分别以a，b，c，…表示任意量 A， B， C，…的瞬，他
 　
早年一般流数法的基础．
　　《原理》在创导首末比方法的同时保留了无穷小瞬，而其中对“瞬”概念的解释所使用的语言仍然是含混的——牛顿说：“有限元素不是瞬，而是瞬所生成的量．我们应把它们想象成有限量的初生元．”牛顿的这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议．实际上，在牛顿的时代，建立微积分严格基础的时机还远不成熟，在这样的条件下，牛顿在大胆创造新算法的同时，坚持对微积分基础给出不同的解释，说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃洞察和谨慎态度．
　　《原理》将几何形式的微积分用于引力、流体阻力、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一新数学工具的威力，为微积分的应用开辟了广阔前景．牛顿在这样做时实际上获得了一些微分方程的解，后来有一批数学家致力于将牛顿的动力学工作翻译成分析的形式，推动了18世纪常微分方程的研究．牛顿本人在个别场合也曾以分析形式处理过若干微分方程．
　　优先权争论 在微积分的发明上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉．莱布尼茨从1684年开始发表微积分论文．当牛顿1687年在《原理》中首次公布流数方法时，曾加有这样一段评注：
　　“十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中曾指出：我发现了一种方法，可用以求极大值与极小值、作切线及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数，……这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法写给我看了．他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别．”
　　然而在1726年《原理》第3版中，牛顿却删去了这段文字，原因是其间他与莱布尼茨关于优先权问题发生了争执．争端最先是由瑞士数学家 N．法蒂奥·德迪勒(Fatio de Duillier) 1699年寄给皇家学会的一本小册子引起的，其中提出“牛顿是微积分的第一发明人”，而莱布尼茨作为“第二发明人”“曾从牛顿那里有所借鉴”．莱布尼茨对此作了反驳，并在1705年为《教师学报》(Acta erudi－torum)所写对牛顿《光学》的匿名评论中含蓄地批评牛顿在《曲线求积术》中“用流数偷换莱布尼茨的微分”．随着争论的展开，皇家学会遂于1712年指定一个专门的委员会进行调查，并于翌年初公布了著名的《通报》(Commercium Epistolicum)．《通报》宣布“确认牛顿为第一发明人”，并说“那些将第一发明人的荣誉归于莱布尼茨先生的人，他们对他与柯林斯和奥尔登堡先生之间的通信一无所知”．直到最近才弄清，这份《通报》完全是牛顿本人的手笔．鉴于委员会主要是由牛顿的朋友E．哈雷、W．琼斯、B．泰勒(Taylor)和A．棣莫弗(De Moiver)等人组成，莱布尼茨向皇家学会申诉了调查对他“不公”．作为回答，他于同年7月起草、散发了一份《快报》(Charta Volans，牛顿讥之为“飞页”)，气愤地指责牛顿“想独占全部功劳”．《快报》还引用一位“领头数学家”的判断说牛顿70年代所发明的只是无穷级数而不是流数法．所谓“领头数学家”指的是约翰·伯努利(Johann Bernoulli)，他是追随莱布尼茨卷入争论的欧陆国家数学家的主要代表．当相互指控越演越烈时，一些中立的学者试图进行调解．据牛顿本人称：汉诺威选侯(后英王乔治一世)访问英国时，莱布尼茨的一些朋友想充当和事佬，但“他们未能使我屈服”．莱布尼茨1716年去世后，由于法国数学物理学家P．瓦里克农(Varignon)再三斡旋，伯努利首先表示愿意和解，年迈的牛顿此时对争论亦已感到厌倦，终于在1722年重印《通报》的最后关头发出了停战信号：他听从瓦里克农的劝告删去了伯努利的名字和一些过激言辞．这场延续了20余年的优先权之争虽然从此逐渐平息，但对18世纪英国与欧陆国家数学发展上的分道扬镳产生了消极的影响．
　　莱布尼茨1676年10月访问伦敦期间，曾在皇家学会借阅了牛顿《分析学》手稿抄本并作了摘录．这成为他涉嫌剽窃的主要事实．但从后来公布的莱布尼茨笔记本获知，莱布尼茨当时仅摘录到有关级数的部分．他也不可能从牛顿在《原理》评注中提到的《后信》中了解流数法的奥秘，因为牛顿在信中只以字谜形式隐述了流数法的基本问题．而在1693年10月牛顿致函莱布尼茨向他揭露谜底以前，后者始终不解其云．现有充分的资料证实：牛顿和莱布尼茨是各自独立完成了微积分的发明．就发明时间而言，牛顿先于莱布尼茨，但就发表而言，莱布尼茨则早于牛顿．值得补充的是，尽管发生了纠纷，两位学者从未怀疑过对方的科学才能．有一则记载说，1701年，在柏林王宫的一次宴会上，当普鲁士王后问到对牛顿的评价时，莱布尼茨回答道：“纵观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作．”
　　《普遍算术》与代数 1683年秋，牛顿将自己的卢卡斯代数讲义存入了剑桥大学图书馆．牛顿原打算随即加以修改、发表，但1684年夏哈雷的访问打断了这一计划，其后牛顿便将主要精力投入《原理》的写作．直到1707年，牛顿的代数讲义才经他本人同意由W．惠斯顿整理出版，定名《普遍算术》(Arithmeticauniversalis)．《普遍算术》初版(拉丁文)含有许多错误，牛顿本人颇不满意，遂亲加校订并于1722年出版了修订本．
　　《普遍算术》主要讨论代数基础及其(通过解方程)在解决各类问题中的应用．书中首先陈述了代数基本概念与基本运算，接着便用大量实例显示了如何将各类问题化为代数方程，同时对方程的根及其性质进行深入探讨，引出了方程论方面的丰富结果．
　　像A．吉拉尔(Girard)和笛卡儿等人一样，牛顿未加证明地叙述了代数基本定理．但《普遍算术》对于虚根(牛顿称之为“不可能根”)的出现却作了更深入的考察，这使牛顿在许多场合能走得比前人远．
　　G．卡尔达诺(Cardano)曾猜测代数方程的虚根必然成对出现，牛顿则是第一个对此事作出明确论证的人．牛顿在《普遍算术》中使用了连续性原理，来说明两个互不相等的根如何连续变化为相等根然后又变为虚根．他通过几何实例来解释自己的论证：设圆CDEF与椭圆ACBF相交于点C，D，E，F (图3)，由交点向已知直线AB引垂线CG，DH，EI，FK，若通过求任一垂线之长得到一方程，则在圆与椭圆相交的四点，该方程应有四个实根(即四条垂线之长)．但若圆心保持不动而圆径逐渐缩减，当点E与F趋于重合时，圆与椭圆变为相切，则表示现已重合的垂线EI和FK的两根亦将变为相等．若圆进一步缩小而不再在点E/F处与椭圆接触，而仅在另二点C、D处与其相交，那么四根中表示现已变得不可能的垂线EI和FK的那两个根亦将相应地成为不可能．牛顿将这种例证推而广之，指出“在所有方程中，通过这样地增加或减小它们的项，两不相等根起先趋于相等，然后变成不可能．结果是：不可能根的数目将永远是偶数”．
 
　　牛顿对笛卡儿符号法则的推广亦在于对虚根情形的分析．笛卡儿法则是说：一方程正根最多个数等于系数变号的次数，负根最多个数则等于两个+号或两个-号连续出现的次数．正如牛顿指出的那样，若方程有虚根，则上述法则既不能给出真正的正、负根个数，也不能给出虚根的实际个数．于是牛顿便在《普遍算术》中提出了他自己的改进法则．
　　牛顿的法则由两部分组成．第一部分用来确定虚根个数，即所谓“不完全法则”(imcomplete rule)： 将其中每项分数除以前项分数，所得分数置于方程中间各项上方，若一中间项平方与其上方分数的乘积大于左右二项之积，就在该项下方记以+号，否则记以-号，同时在首项与末项下方皆记以+号，那么虚根个数恰等于下方所记符号变号的次数．例如方程
x3+px2+3p2x-q=0，
　　按上述法则操作得：
 
x3+px2+3p2x-q=0
+ - + +
　　下标的符号序列+，-，＋，+中包含两次变号，故方程有二个虚根．
　　牛顿法则的第二部分即所谓“完全法则(complete rule)，可借以进一步确定方程正负根的个数．根据笛卡儿法则可以判别方程正根的最多个数．牛顿认为这中间可能“隐藏”着虚根，并称其为“不可能正根”．同样地可以定义“不可能负根”．牛顿完全法则是说：在“不完全法则”中得到的方程下标符号序列中，考察变号上方诸项的符号，不可能正根的个数恰等于这些项本身的变化次数，而不可能负根的个数则等于不变号的次数．例如方程：
x5-4x4+4x3-2x2-5x-4=0
+ + - + + +
　　按“不完全法则”操作得到的下标符号序列中变号者为+，-，＋，这说明有两个不可能根，而上方诸项-4x4+4x3-2x2变号二次，标志着二个不可能正根．但因方程本身各项系数符号序列+，-，＋，-，-，-中共有三次变号，故最多正根个数为3，其中“隐藏”两个不可能根，结果方程计有一个真正的正根，二个负根和二个虚根．
　　根据现存的牛顿手稿可知，牛顿早在1665—1666年间就已发现了他的符号法则．牛顿法则的证明相当困难，直到1865年才由J．西尔维斯特(Sylvester)给出第一个严格的证明(西尔维斯特证明了包含牛顿法则为特例的更普遍的定理)．
　　《普遍算术》中有关方程论最突出的贡献或许是表述方程根与系数关系的幂和公式，这公式现以牛顿的名字命名，它为代数方程根的对称函数理论奠定了基础．对于方程
a0xn+a1xn-1＋a2xn-2＋…+an-1x＋an＝0，
　　作n个根x1，x2，…，xn的i次幂和Si=xi 1 ＋…+xi n (i=1，2，…，n)，牛顿公式相当于
　　a0S1＋a1=0，
　　a0S2＋a1S1+2a2=0，
　　………
　　a0Sn+a1Sn-1＋a2Sn-2+…＋nan=0．
　　牛顿在《普遍算术》中运用上述公式来推算方程的根限．他给出的法则中最重要的一条可用现代语言表述如下：若有方程
f(z)=a0zn+a1zn-1+a2zn-2+…+an=0(a0＞0)，
　　则每一个使f(z)及导数f′(z)，f″(z)，…，fn-1(z)皆为正的数z=L必为f(z)=0的正根的上限．类似地可以求出方程负根的下限，牛顿进而讨论了如何通过这些根限公式去逼近方程的数值根．
　　《普遍算术》对于代数本身的见解也有重要的意义．牛顿在前言中写道：“人们或者像在通常算术中那样用数字进行计算，或者像分析数学家习惯的那样借助普遍变量(species，直译“类”)来进行计算．这两种运算都依赖于同样的基础并服务于同样的目标，算术采用确定的和特殊的方法，而代数则采用不定的和普遍的方法，以致由这种运算得到的所有结论几乎都可以称作为定理．”在这里，牛顿像F．韦达一样将代数看作是“变量算术”(Arithme-tica specisa)，而将通常算术看作是“数字算术”，但他在代数中更加自由地运用变量，并主张代数与算术相互结合而形成数学的基础：“在算术中，问题的解决是从已知量出发逐步推算出未知量．代数却相反，把未知量当作已知量，并由之出发去反推已知量，好象这些已知量是要求的量，最终通过某种方式达到某种结论—也就是说某个方程，而从这方程则可解出真正的未知量．这正是代数的优越性．运用这种技巧，一些极困难的问题可以迎刃而解，而这些问题的解决单靠算术是无济于事的．不过，算术运算对代数来说又必不可少．二者似应相互结合而形成统一的完善的计算科学”——这就是牛顿“普遍算术”的真谛．牛顿的观点在当时英国反响不大，却很快吸引了欧洲大陆数学家的注意(这同微积分情形形成对照)．1707年11月间约翰·伯努利致函莱伯尼兹说他“正急切地盼望能读到一本书，…此书篇幅不大，但却大大胜过了法国出版的同类巨卷著作”．伯努利指的就是刚出版的《普遍算术》．《普遍算术》后来成为发行最多的牛顿数学著作，对于18世纪数学中代数与分析方法优势的确立颇有影响．
　　几何研究 牛顿对解析几何与综合几何两方面都有贡献．
　　1664年秋，牛顿在学习掌握笛卡儿《几何学》时，即已面临大多数同时代数学家所关心的问题：描绘大量尚属未知的曲线并研究它们的性质．这方面的探讨导致了他在解析几何领域最重要的工作．
　　自阿波罗尼奥斯(Apollonious)时代起，希腊数学家已对圆锥曲线作了透彻的研究，笛卡儿在《几何学》卷2中将希腊人的综合工作翻译成了解析语言．然而对于高次曲线，无论古希腊人还是笛卡儿却都知之不多．希腊人将所有高于二次的曲线统称为“线性曲线”(linear line)，对此他们只给出了个别实例如蚌线(conchoid)、蔓叶线(cissoid)．笛卡儿向他的同时代人展示了三叉线(trident)和叶形线(folium)，其后数十年间，数学家们新认识的三次曲线总共只增添了二种，即沃利斯的立方抛物线与W．尼尔(Neile)的半立方抛物线．在牛顿之前，也没有人能够像把非退化二次曲线分成椭圆、双曲线与抛物线那样对三次曲线分类．牛顿从1664年起试图追随笛卡儿按方程次数对曲线分类的思路来解决这一课题．1667—1668年和1678—1679年间，他又两度回到高次曲线的研究并获重大进展．但如其一贯所为，牛顿迟疑于结果的发表，直到1695年，他才将以前的结果总结成专论《三次曲线枚举》(Enumeratio linearum tertii ordinis)并作为《光学》的附录发表(1704)．
　　《三次曲线枚举》首先根据平面曲线与直线相交所产生的交点数来定义曲线的阶，同时指出圆锥曲线的许多概念与性质可以被推广至高次曲线．例如牛顿提出了适合高次曲线的一般直径理论(在这理论中n次曲线的直径被定义为该曲线与一平行直线簇中每一条的n个交点的重心轨迹)和一般渐近线理论等．《三次曲线枚举》的这个引论部分以著名的“牛顿定理”为高潮，牛顿定理相当于说：平面上的点关于一三次曲线的三个纵坐标之积与相应的三横坐标之积保持常数比．
　　在上述一般性讨论之后，牛顿便转向其理论的精粹——三次曲线分类．他注意到任一三次曲线至少有一个实渐近方向，取与此方向平行的直线为坐标轴之一，牛顿导出了三次曲线方程的四类基本形式：
　　(i)xy2＋ey=ax3＋bx2+cx＋d，
　　(ii)xy=ax3＋bx2＋cx＋d，
　　(iii)y2=ax3＋bx2+cx+d，
　　(iv)y=ax3＋bx2＋cx＋d．
　　它们分别相应于一般立方双曲线、笛卡儿三叉线、发散抛物线(牛顿用语)和立方抛物线．牛顿并未证明这四类方程穷举了一切可能(1729年法国数学家F．尼科尔(Nicole)证明了这一点)．对第(i)和第(iii)类情形牛顿又区分出许多子类，结果他总共列举了72种三次曲线．对此后来J．斯特林(Stirling，1717)、G．克莱姆(Cramer，1746)等人又追加了6种．数学家们还发现了其他不同的对高次曲线分类的原则．
　　除了分类，牛顿在《三次曲线枚举》中还将圆锥曲线的射影定义推广到高次曲线．他大胆地指出：“正像所有的圆锥曲线都可看作是圆的投影一样，所有的三次曲线都可以看作是五种发散抛物线(即由方程y2=ax3＋bx2＋cx+d确定的曲线)的投影．”这个重要的事实到1731年才由A-C．克莱罗(Clairaut)严格证明．
　　《三次曲线枚举》是解析几何发展新的一页．以往只了解少数特例的三次曲线，现在可以从整体上进行分类并考察其性质，这激发了包括克莱姆、欧拉直到19世纪的J．普吕克(Plücker)等人对高次代数曲线的系统研究．
 
　　牛顿关于解析几何的工作在他的《流数法》一书中也有大量记述(该书拉丁文本最初甚至用名《解析几何》)，其中最重要的是各种坐标系的采用．牛顿在用流数法计算切线问题时指出：“作切线可用不同的方法，这取决于曲线与直线的不同关系”，他所说的“曲线与直线的不同关系”，意味着不同的坐标系．事实上，牛顿在《流数法》中引进了9种不同的表示曲线上任意点D的坐标“模式”(mode)，其中“模式3”与“模式7”分别为双极坐标系与一般极坐标系．以一般极坐标为例，牛顿是在求作所谓“机械曲线”(mechanical curve，即超越曲线)的切 AG为半径的圆弧，牛顿将曲线ADE看作是当AG绕中心A旋转时其上 方f(x，y)=0确定，于是可用流数法求出x与y的流数关系并据以确定切线DT的位置(实际上，借助一些初等几何的推导，牛顿获得流 
由此可确定Gt，而切线DT∥Gt)．很清楚，这
角与矢径．他还以极坐标形式给出了阿基米德螺线和费马螺线的方程：
的创始人．极坐标后又为雅各·伯努利(Jakob Bernoulli)独立引进(1691)．
　　牛顿对古典几何的研究则开始较晚．在70年代后期，牛顿表现出探索古希腊几何宝库的巨大热情．这方面的具体背景尚待探明，D．怀特赛德(Whiteside)认为主要是受到笛卡儿《几何学》中关于帕普斯问题的论述(牛顿在准备卢卡斯代数讲义过程中又重研了笛卡儿《几何学》)以及费马对两部失传希腊几何著作—阿波罗尼奥斯《平面迹线》(Plane loci)和欧几里得《衍论》(Porisms)的考证论文(1679)的激励．这导致了牛顿古典几何研究的高产时期(特别是1678—1679年间)．从现存牛顿手稿看，这一时期最有代表性的作品是《古代立体轨迹问题求解》(Solutio problem atisveterum de loco solido，以下简称《立体轨迹》)．
　　《立体轨迹》是一篇由13个命题组成的短论，其中心结果是关于帕普斯问题的解答．所谓帕普斯问题是说：
　　已知三［或四］条直线，求一点之轨迹，使由该点向这些直线所引与其成已知交角(不同直线可有不同交角)的三［或四］线段中，二线段之乘积与另一线段之平方[或另二线段之乘积]成定比．此轨迹习称三 
　　交比P(ACDB)．)
　　帕普斯和阿波罗尼奥斯都已猜测到三-四线轨迹为圆锥曲线，但未能作出证明．笛卡儿在《几何学》中用解析方法证实了希腊人的猜测，而牛顿《立体轨迹》则在历史上第一次用综合法确立了三-四线轨迹与圆锥曲线的等价性(命题1，2)．利用此种等价性，牛顿以全新的本质上是射影的方式重新定义圆锥曲线．《立体轨迹》命题5证明了：圆锥曲线上四点A，B，C，P，过P作PQ∥AC，PS∥AB且分别交AB，AC于Q，S，若对曲线上任何第五点D，连接DB，DC分别交PQ，PS于R，T，则PR与PT之比恒为常数．反之，若PR与PT成定比，则点D必落在过A，B，C，P之圆锥曲线上(图6)．不难看出，这相当于将圆锥曲线定义为两个分别会聚于确定极B与C的线束B(D)与C(D)的交点D的轨迹，而线束B(D)，C(D)通过某作平行移动的直线(l)与已知角UPQ两边相交所得的点偶(R，T)．对此，《立体轨迹》命题12又作了基本的推广：一轨迹线是圆锥曲线，当且仅当它能作为二线束(分别具有确定极)的交点集画出，这二线束可通过某种“单几何”(simple geometry)来相互确定．牛顿所谓的“单几何”，实质是点集与点集、点集与线集之间的一一对应．《立体轨迹》的其他一些命题用相当篇幅讨论了这种一一对应理论．牛顿后来对高次曲线的射影分类即以此为基础．他将那些可在射影下相互交换的图形看成一类，并提供了相应的作图技巧(这方面的内容后构成《原理》中专门的一节——第一卷引理XXII“将图形变换成同类的其他图形”)．
 
 
　　牛顿的上述工作超越了他的时代，预示着19世纪以J．V．彭斯列(Poncelet)、J．施泰纳(Steiner)和M．沙勒(Chasles)等为代表的综合射影几何的复兴．牛顿本人并未意识到这一点，他像大多数前辈一样将自己所获得的结果纳入欧几里得几何的框架．《立体轨迹》并未正式发表，但其中绝大部分命题后来都被载入《原理》(第一卷第五章“论焦点均未知时求轨道之法”)．《原理》还包括了牛顿关于古典几何的其他许多优美的定理．这些纯几何的结果成为《原理》数学论证的基础．
　　90年代初，牛顿曾想集一生几何研究之大成而编纂三卷本专著《几何学》(Geometria)，整个计划未能实现，但一、二卷有手稿留下．牛顿无疑是一位几何学大师，在这方面，相对于其他领域而言，人们对他的工作了解尚不充分．
　　数值分析、概率论、挑战问题 除了微积分、代数与几何以外，牛顿的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多的领域．
　　现今任何一本数值分析教程都不能不提到牛顿的名字——牛顿-高斯公式、牛顿-斯特林公式、牛顿-拉弗森公式……，这反映了牛顿对该领域广泛而卓越的贡献．
　　牛顿的插值法研究有两个来源．第一个来源是追随沃利斯《无穷算术》寻求内插求积公式的努力，如前所述这导致了二项定理的发现．第二个来源是函数表的计算，这把他引向了有限差分插值理论．
　　由于实际需要，17世纪的数学家们热衷于各种函数表的编制．他们遇到的一个典型问题是如何根据函数二已知值来计算中间值，即插值．1675年春，一位叫J．史密斯(Smith)的学者致函牛顿求教自然数1—10000的平方根、立方根及四次方根表的编算，激起了牛顿对此问题的兴趣．他在给史密斯的复信(1675．5．8)中制定了一种计算开方根表的方案：先算出每组100个根
(100p)1/k，1≤p≤100(k=2，3，4)，
　　然后利用一、二、三次调整差分算出每二个值之间的其他99个值．在其后撰写的两份手稿中，牛顿提出了一系列差分插值公式．这两份手稿是：《差分法则》(Regula differentiarum)和《差分方法》．(Methodus differentialis)初稿．据D．怀特赛德考均完成于1676年左右．
　　在《差分法则》中，牛顿重新发现了所谓布里格斯(Briggs，1624)关系即等间距向前差分公式，并将其推广到了不等间距情形．牛顿的推导是以“调整差”(adjusted differences)为基础．如图7所示，对插值结点A，B，C，D，E，F，G，…，牛顿作下列量：
　　
　　 
 
　　(式中以A，B，C，D，…代替相应纵坐标p，q，r，s，…)．此即n次调整差的递推定义，用现代记号表示为：
　　 
　　 
　　于是可知f(x)之n阶调整差为常数．牛顿接下去的做法相当于从n阶调整差出发逆推，逐项展开差分而得：
 
(x-xn)△n(x0，x1，…xn)+…．
　　这就是调整差形式的牛顿一般插值公式，其等间距情形有时又称牛顿-格雷戈里(Gregory)公式(J．格雷戈里1670年曾独立发现)．
　　在《差分方法》初稿中，牛顿则建立了中心差分公式．他首先讨论了两种等间距情形．
　　情形1．奇数插值点．牛顿导出的公式相当于：
 
(δα0，α=1，2，…表中心差分)．
　　此式后为J．斯特林重新获得(1719)，故又名牛顿-斯特林公式．
　　情形2．偶数插值点．导出的公式相当于：
　　 
 
　　现以牛顿-贝赛尔(Bessel)公式著称，R．科茨(Cotes)1708年也独立发现此式．
　　《差分方法》初稿接着便将上述中心差分公式推广到不等间距情形．值得注意的是，牛顿在《差分方法》初稿中放弃调整差而定义了均差(divided difference)：
 
 
　　在此后的有关著述中，牛顿便一概使用均差语言．
　　根据《差分法则》与《差分方法》初稿的内容，如果说牛顿在1676年左右已奠定了近代差分插值理论的基础，那并不夸张．但这两份手稿当时都没有发表．大约10年后，牛顿才在《原理》中首次将《差分法则》所获得的结果公诸于世．《原理》第三卷引理Ⅴ(“求作一抛物线使经过若干已知点”)以均差形式陈述了牛顿一般插值公式：
f(x)=f(x0)十(x-x0)f(x0，x1)＋(x-x0)(x-x1)
f(x0，x1，x2)+…＋(x-x0)(x-x1)…
(x-xn)f(x0，x1，…xn)十…．
　　牛顿唯一正式发表的关于差分插值法的系统论文《差分方法》，是以上述1676年初稿为基础修改而成．修改工作迟至1710年才进行，1711年与《分析学》等同时刊载于W．琼斯编辑的牛顿数学短篇论文集(原始文献［4］)．与初稿不同的是，正式发表的《差分方法》首先概要证明了牛顿一般插值公式，然后作为特例给出牛顿-斯特林公式和牛顿-贝塞尔公式．这体现了牛顿建立统一的差分插值理论的努力．牛顿早在《差分法则》中就表达过这种统一的意向，他在该文最后写道：“还可以提出其他这类法则，但我希望用一个一般的法则来概括所有这些公式．”
　　代数方程数值求解的迭代方法如今也以牛顿的名字命名．这方法最先在《原理》第一卷命题XXXI中作为解开普勒方程的工具正式公布，但早在1669年前已被发现．牛顿《分析学》中有一例三次方程y3-2y-5=0，牛顿的解法如下：首先观察得根的整数部分为2，作代换y=2＋p，获方程p3＋6p2＋10p—1=0，略去高次项得p≈0.1，再作代换p=0.1＋q，获方程
q3＋6.3q2＋11.23q+0.061=0，
　　略去高次项，得q≈-0.0054，继续此步骤至下一步q=-0.0054+r，求得r≈-0.00004853，此时y≈2.09455147(末位数应为8．牛顿后在《流数法》中作了更正)．容易看出，牛顿的解法相当于对方程f(x)=0给出迭代程序
　　Ei(=xi+1-xi)=-f(xi)/f′(xi) (i=1，2，…)，
　　其中xi为逐次近似根．牛顿的公式后被J．拉弗森(Raphson)在形式上加以改进并发表在《一般方程分析》(Analysis aequa-tionum universalis，1690)一书中，拉弗森的程序相当于
xi+1=xi-f(xi)/f′(xi)，
　　这就是所谓牛顿-拉弗森公式．
　　虽然牛顿并未留下任何概率论专作，但在他的许多著述中却不乏概率论的思想与方法．牛顿早期数学手稿中就有关于概率定义的讨论，特别是他1664—1666年间对惠更斯《赌博计算》(De-ratiociniis in ludo aleae)所作的一份注记中，已出现几何概率概念，牛顿写道：
　　“当机会之比…是无理数时，仍可用同样的方法计算期望值，设半径ab，ac，将水平圆面bcd分成abec和abdc两部分(如图8)，其面 
　　我赢得a；若它落在另一部分，则赢得b，此时期望值等于 
　　这说明牛顿引用了几何概率来处理机会的无理数比，可能是目前所了解的关于几何概率的最早记载．此外，牛顿在编年学研究(《古代王国修正编年》，Chronology of ancient kingdoms amen-ded， 1728)中借概率原理从考古数据来推断古代王朝年代，其方法触及大数律基础．在牛顿的天文和光学著作中，还有大量与误差理论有关的论述．牛顿在古典概率论方面的工作对同时代的棣莫弗和后来的拉普拉斯等人不无影响．
 
　　牛顿1696年到造币局任职后，基本上停止了创造性的数学研究活动．即使这样，他身上仍然闪耀着伟大数学家智慧的光华．牛顿晚年曾两次面对波及全欧的数学挑战．第一次是约翰·伯努利于1696年6月在《教师学报》(Acta eru-ditorum)上提出的．问题有两个，第一问题即最速降落线问题：求一曲线AEG使重物在自身重力作用下将沿此曲线由已知点A最速降落至点G．问题提出后半年仍未解决，伯努利遂于1697年元旦发表著名的“公告”(Programma)，再次向“全世界最能干的数学家”挑战．1月29日牛顿从造币局下班回到寓所，发现一封法国来信，转达了伯努利的挑战．牛顿利用晚饭后的时间一举解决了两个问题，并将结果写成短文匿名发表在《哲学汇刊》(Philosophical Transaction，1697，No．224)上．伯努利读后惊呼“从这锋利的爪我认出了雄狮”．对最速降落线问题牛顿从几何上解答为摆线．三年后他又给出一个分析证明．此证明记载在D．格雷戈里的回忆录中，如图设AB=x，BE=y，牛顿对无限小增量BC=CD=o考虑无限小降落E→N→G，他求出从E→N，从N→E的时间分别为：
 
　　其中2p=GL=2yo＋2yo2，q=FN，牛顿然后固定x，o，p而令q变动，寻求N在水平线FC上的位置使降落E→N→G所需时间(R＋S)最少，并给出了作为局部极小条件的流数方程．
 
　　牛顿对最速降落线问题的解答与伯势利、莱布尼茨和法蒂奥·德迪勒(Fatio De Duillier)等人的结果一起推动了变分法的早期发展．
　　另一次挑战涉及所谓“等交曲线”问题，即求一曲线(或曲线簇)与已知曲线簇相交成给定角．一个重要的特例是交角为直角的情形即“正交轨线”．这问题最先也是由约翰·伯努利提出．1715年莱布尼茨又重新提出来对准英国数学家主要是牛顿挑战．年逾古稀的牛顿也是用一个晚上作出了解答．这一次当伯努利看到《哲学汇刊》(1716)上刊出的匿名解答后却说“未见雄狮利爪”，他以为作者是泰勒．牛顿的解答是 解的存在性，但除列举特例外，未能给出一般解．
　　数学方法 在数学方法上，牛顿的思想存在着不同的侧面，并且是随着他一生不同的时期而变化、发展．
　　在牛顿的早期数学研究中，演绎倾向显然无足轻重．牛顿发明微积分，主要是依靠了高度的归纳算法的能力，并没有多少综合几何背景．从现在仍保存在三一学院的牛顿大学时代读过的《几何原本》上可以看到他当时对该书的评语——trivial(平易无聊)，以致于他1664年参加津贴生考试(巴罗主考)时因欧氏几何成绩不佳差一点未能通过．而几乎在同时他开始研究微积分问题，并且不到一年就做出了基本发现．牛顿后来对早年未学好欧氏几何颇感后悔，认为“不该先让自己致力于笛卡儿和其他代数学家的著作”，“欧几里得作为一个杰出的作家本来是应该首先受重视的”．对于数学史来说，幸运的是牛顿实际并没有像这样倒过来做，但上述自白反映了他思想上的转折．70年代以后，牛顿对演绎方法益趋重视，其结果如前所述，是他在古典几何领域的丰收和《原理》中演绎的力学体系．牛顿在《原理》第一版序言中赞美几何演绎的作用，认为“从极少数原理出发，而能推出如此丰富的结果，这正是几何学的光荣”．
　　牛顿在《原理》中不遗余力给微积分披上几何外衣，使流数术带上了僵硬呆板的弱点，在客观上阻碍了18世纪英国分析的发展．但这决不意味着牛顿主观上对分析方法有任何贬抑．相反，他在1704年《光学》中谈到分析方法时说：“在自然哲学中也像在数学中一样，对于困难事物的研究，总是首先使用分析方法，然后再用综合方法．”牛顿后来曾多次说明《原理》中命题的分析来源，特别是在他1710年代末撰写的《原理》新序言(手稿，未发表)中可以看到这样的典型论述：
　　“分析有助于发现真理，而发现的确定性则应通过综合证明来体现，…本着上述理由，我在《原理》中采用了综合方法去证明各卷中的命题，而这些命题原先是我通过分析途径发现的．…对于当今通晓代数的数学家来说，这种综合的论证方式确有令人不快之处，原因也许是太烦琐、太泥古了；或者因为它不能充分揭示发现的奥秘．当然，我也完全可以用分析方式来叙述那些本来就是通过分析发现的事实，而不必像现在这样绞尽脑汁．但本书是为那些对几何原理造诣颇深的学者而写，旨在奠定物理学的几何证明基础．”(原始文献［9］，Vol．VIII．)
　　考虑到牛顿早先的分析发现，似乎没有理由怀疑他的自述．况且除了几何模式，《原理》中确实有意保留了“分析方法的样板”，即第一卷命题XLV及第二卷命题X．牛顿还指出“通过对命
　　题综合证明的逆推，也可以对发现这些命题的分析方法有所了解”．
　　牛顿有时被认为“爱几何方法甚于纯分析方法”，他甚至说过“代数是数学愚人的分析学”(研究文献［3］)．另一方面，牛顿又常遭批评说他过分强调分析与归纳的作用．其实正如I．B．科恩(Cohen)所说，对牛顿的一些说法不能断章取义．牛顿的思想是复杂的，有时确实是矛盾的．但全面考察仍然可以找到主旋律．事实上，牛顿比他的任何同时代人都更加强调数学方法的“双重性”．他曾明确说过：“数学科学的方法是双重的，即综合与分析，或称合成与分解．”(原始文献[9]，Vol．VIII．)在《普遍算术》中他竭力提倡算术与代数“作为综合与分析”二者应“结合在一起研究”．而关于代数与几何，他的看法是：“这两门科学不应混淆．古人不遗余力地将它们截然分开，以致在几何中从未使用过算术名词．近人则相反，将二者混淆起来而丧失了体现几何美的简单性”，也就是说他既反对将代数与几何“混淆起来”，也反对二者的“截然分开”．认识分析与综合的区别，致力于二者的结合，这种双重方法也被牛顿推广于整个自然哲学而显示出巨大功效．诚如R．科茨(Cotes)在《原理》第二版序中指出的：“这是哲学探讨的无可比拟的最好方法，我们的著名作者(指牛顿)最先正确地掌握了这个方法，并且认为只有这个方法才值得他用他的卓越劳动去加以发扬光大．”
　　几乎所有的牛顿传记都把他描写成一个心不在焉、沉迷于科学研究的人．据他的助手回忆，牛顿忘记吃饭是常事．他的仆人常常发现送到书房的午饭和晚饭一口未动．牛顿偶尔上食堂用餐，有时出门便陷入思考，兜个圈子又回到家里，竟把吃饭一事置之脑后．他不倦地工作，往往一天伏案写作18至19小时．当他在花园中散步，常会突然想起什么而急忙跑回书房往正在构思的论文上写下几行．在艰深的研究之后，他有时阅读或撰写一些较轻松的东西作为休息．W．惠威尔(Whewell)在《归纳科学史》(Hi-story of inductive sciences)中写道：“除了顽强的毅力和失眠的习惯，牛顿不承认自己与常人有什么区别．当有人问他是怎样做出自己的科学发现时，他的回答是：‘老是想着它们’．另一次他宣称：如果他在科学上做了一点事情，那完全归功于他的勤奋与耐心思考，‘心里总是装着研究的问题，等待那最初的一线希望渐渐变成普照一切的光明’．”
　　牛顿总是谦逊地将自己的科学发现归功于前人的启导．他在谈到他的光学成就时曾说过这样的名言：“如果我看得更远些，那是因为我站在巨人们的肩膀上”(1676．2．5致胡克的信)．临终前他对友人说：“我不知道世人将怎样看我．我自己认为我不过是一个在海边玩耍的小孩，偶然拣到一些比寻常更光滑的卵石或更美丽的贝壳并因此沾沾自喜．而在我面前，却仍然是一片浩瀚未知的真理的海洋．”
　　牛顿对于发表自己的科学著作极度谨慎．除了两篇光学论文外，牛顿绝大多数著作都是在朋友们再三敦促下才发表．这或许反映了他内心的矛盾：一方面为自己的科学发现感到骄傲，希望获得公众承认．另一方面又担心自己的思想超越大多数同时代人太远、惧怕批评而不愿发表结果．这种心理僵局导致他许多重要论著长年湮没无闻，同时也招来优先权的麻烦，成为他与莱布尼茨、R．胡克(Hooke)、J．弗拉姆斯提德(Flamsteed)等人一系列争端的部分缘由，而在这些争端中，牛顿有时表现出偏执、不公．
　　可能是因为早年经历所致，牛顿性格沉郁内向．但幸而这没有妨碍他后来在造币局与皇家学会的职位上显示出行政能力．牛顿不善于在公众场合表达自己的思想，但作为皇家学会会长，他却能赢得多数会员拥护，连选连任领导这个最高学术机构长达四分之一世纪．牛顿初任会长时，针对学会面临的学术与财政困难，制订了一份“皇家学会振兴计划”，计划将“自然哲学”分成五个主要领域——数学与力学；天文与光学；动物、解剖与生理学；植物学；化学．对每个领域指定一位公认的专家负责，主持每周的学术讨论．“计划”还声明皇家学会只任命在科学上有建树的人．在牛顿任职期间，皇家学会吸收了大批年轻有为的会员，其中包括C．麦克劳林(Maclaurin)、R．科茨、W．琼斯、H．彭伯顿(Pemberton)等，他们形成牛顿学派的中坚．牛顿推动理事会通过一项向会员捐款的规定，从而克服了学会的债务危机．牛顿是个一丝不苟的人，他甚至命令学会职员H．亨特(Hunt)守在大门前向会员募捐．也是在牛顿的奔波努力下，皇家学会在建院50年之际从破旧的格雷沙姆学院搬进了克兰大院(Crane Court)新址．牛顿始终如一认真对待皇家学会的工作．据学会记录，他出席了任职期间总共177次理事会中的167次，直到临终前不久还抱病在伦敦主持了一次会议．
　　牛顿一生过着近乎清教徒式的简朴生活，即使成为贵族后亦未变其本色．但他对于公益事业和亲友的困难，常能慷慨解囊．牛顿有许多亲戚，他们中几乎每个人都分享到他的慷慨．他的异父妹妹安娜丈夫去世后，牛顿为其三个孩子买了保险年金，并将外甥女凯瑟琳(Catherine Barton)接到伦敦居住、接受教育．格兰瑟姆的克拉克先生回忆说：有一次牛顿给了他一张数目可观的支票，作为他一位远房侄女的嫁妆，后来这位女士不幸守寡，牛顿还一直接济她和她母亲的生活．牛顿还经常向剑桥大学、皇家学会捐款．
　　牛顿待人接物带着一种自然的尊严和彬彬有礼，同时也富有人情．林肯郡的肖特(Short)先生说一次他“携全家到伦敦塔拜访依萨克爵士，并参观铸币，受到他盛情款待，每人获赠金质纪念章一枚以作纪念”．牛顿有时会出席亲友的婚礼，每当此种场合，他“通常拿出100英镑给新娘作贺礼”，并“一反平日的严肃，而显得轻松愉快、和蔼可亲”．
　　牛顿终身未娶．晚年由外甥女凯瑟琳协助管家．凯瑟琳教养有素，在伦敦社交界颇有名气．当年侨居英国的伏尔泰记道：“牛顿有一位非常迷人的外甥女，就是现在的康杜德夫人．她曾经征服了哈里发克斯大臣(即财政部长蒙塔古)．在这方面，如果没有一个漂亮的外甥女，流数术和万有引力也将无济于事．”伏尔泰与凯瑟琳本人有直接交往，后者曾亲口告诉他那个现已家喻户晓的苹果落地故事①．凯瑟琳的丈夫康杜德亦是牛顿的崇拜者，平时细心记录牛顿的言论、轶闻，牛顿有许多事迹即借以留传下来．对科学史来说尤为重要的是，在牛顿去世后，康杜德夫妇在亲属们围绕遗产的纠纷中不惜代价保全了牛顿的手稿．这些手稿后又传给了他们的后代朴茨茅斯(Portsmouth)伯爵家族，在汉普郡朴茨茅斯庄园沉睡了近一个世纪，直到1888年，朴茨茅斯家族将部分科学手稿赠送给剑桥大学，世称“朴茨茅斯手稿”．其余的手稿则于1936年在伦敦公开拍卖而分散到世界各地的图书馆与博物馆里．现存的牛顿手稿中，仅数学手稿(不包括《原理》)就有5000多页，最近已全部整理、注译出版(原始文献［9］)．它们是牛顿数学思维的伟大记录，正如A．爱因斯坦(Einstein)在纪念这位科学巨匠诞生300周年时所评价的那样：“理解力的产品要比喧嚷纷扰的世代经久，它能经历好多个世纪而继续发出光和热．”