2014年中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．-2014的倒数是（　　）

A．2014

B．-2014

C． 1 2004

D．- 1 2004

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2．2008年的国际金融危机使经济社会形势突变，中国面临严峻的新挑战．在未来的两年，国家将投入4万亿元人民币，保持中国经济社会平稳、快速发展的势头．将4万亿用科学记数法表示应为（　　）

A．0.4×1013

B．40000×108

C．4×1012

D．4×1013

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3．下列计算正确的是（　　）

A．（ab）3=ab3

B．4-2=-8

C． (?4)2 =4

D．（a3）4=a7

☆☆☆☆☆显示解析

4．下图中几何体的左视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

☆☆☆☆☆显示解析

5．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　）

A．75°

B．60°

C．65°

D．55°

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6．不等式组

2x+6＞0 5x≤x+8

的解集在下列数轴上表示正确的是（　　）

A．	B．
C．	D．

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7．为了筹备班级初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（　　）

A．平均数

B．加权平均数

C．中位数

D．众数

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8．与平面图形图有相同对称性的平面图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

☆☆☆☆☆显示解析

9．为了让返乡农民工尽快实现再就业，某区加强了对返乡农民工培训经费的投入．2008年投入3000万元，预计2010年投入5000万元．设培训经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列的方程正确的是（　　）

A．3000（1+x）2=5000

B．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000

C．3000x2=5000

D．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2=5000

☆☆☆☆☆显示解析

10．如图，AB、AC是圆的两条弦，AD是圆的一条直径，且AD平分∠BAC，下列结论中不一定正确的是（　　）

A． AB ＝ DB

B． BD ＝ CD

C．BC⊥AD

D．∠B=∠C

☆☆☆☆☆显示解析

11．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的右方，若点P的坐标是（-1，2），则点Q的坐标是（　　）

A．（-4，2）

B．（-4.5，2）

C．（-5，2）

D．（-5.5，2）

★☆☆☆☆显示解析

12．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y=

3

x

（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（　　）

A．逐渐增大	B．不变
C．逐渐减小	D．先增大后减小

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．因式分解：2a³-8a=

2a（a+2）（a-2）

．

☆☆☆☆☆显示解析

14．四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为

1

2

．

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15．如图，若开始输入的x的值为正整数，最后输出的结果为144，则满足条件的x的值为

29或6

．

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16．直线y=kx经过向上平移2个单位后，恰好经过点（-1，0），则不等式x-4＜kx+2的解集为

x＞-6

．

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17．小华为参加毕业晚会演出，准备制作一顶圆锥形纸帽，如图所示，纸帽的底面半径为9cm，母线长为30cm，制作这个纸帽至少需要纸板的面积至少为

270π

cm²．（结果保留π）

★☆☆☆☆显示解析

18．如图1是二环三角形，可得S=∠A₁+∠A₂+…+∠A₆=360°，下图2是二环四边形，可得S=∠A₁+∠A₂+…+∠A₇=720°，图3是二环五边形，可得S=1080°，…聪明的同学，请你根据以上规律直接写出二环n边形（n≥3的整数）中，S=

360（n-2）

度．（用含n的代数式表示最后结果）

考点：规律型：图形的变化类．

专题：压轴题；规律型．

分析：本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．

解答：解：依题意可知，二环三角形，S=360度；
二环四边形，S=720=360×2=360×（4-2）度；
二环五边形，S=1080=360×3=360×（5-2）度；
…
二环n边形（n≥3的整数）中，S=360（n-2）度．故应填S=360（n-2）度．

点评：本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环n边形的度数．

三、解答题：（本大题共7小题，共66分）

19．先化简，再求代数式（

x

x+1

+

x+1

x21

）÷

x2+1

x2+x

的值，其中x=2014．

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20．为支持我国西南地区抗旱救灾，团中央和全国少工委号召全国各级共青团和少先队组织，积极组织动员广大共青团员和少先队员，每人捐助一瓶水，用实际行动向灾区人民群众送去“爱心水”． 某校对本校倡导的自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．如图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：5：8：6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．请你根据上述信息解答下列问题：
（1）他们一共调查了多少人？
（2）这组数据的众数、中位数各是多少？
（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？

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21．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．
求证：四边形CDC′E是菱形．

★☆☆☆☆显示解析

22．如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处．求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）．

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23．某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件．
（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？
（2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出时总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？

★★★☆☆显示解析

24．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

考点：切线的判定；圆周角定理．

专题：计算题；证明题．

分析：（1）根据垂直平分线的判断方法与性质易得AD是BC的垂直平分线，故可得AB=AC；
（2）连接OD，由平行线的性质，易得OD⊥DE，且DE过圆周上一点D故DE为⊙O的切线；
（3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，可得AB=BC=10，CD=

1

2

BC=5；又∠C=60°，借助三角函数的定义，可得答案．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
∵BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB=AC．（3分）

（2）证明：连接OD，
∵点O、D分别是AB、BC的中点，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．（6分）

（3）解：由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB=BC=10，CD=

1

2

BC=5．
∵∠C=60°，
∴DE=CD·sin60°=

5 3

2

．（9分）

点评：本题考查切线的判定，线段相等的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．

25．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．

★★☆☆☆显示解析

考点：二次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）易得c=3，故设抛物线解析式为y=ax²+bx+3，根据抛物线所过的三点的坐标，可得方程组，解可得a、b的值，即可得解析式；
（2）易由顶点坐标公式得顶点坐标，根据图形间的关系可得四边形ABDE的面积=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE，代入数值可得答案；
（3）根据题意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

＝

BO

BE

＝

2

2

，即可判断出两三角形相似．

解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx+3（a≠0）（1分）
根据题意，得

ab+3＝0 9a+3b+3＝0

，
解得

a＝?1 b＝2

∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3（5分）；

（2）如图，设该抛物线对称轴是DF，连接DE、BD．过点B作BG⊥DF于点G．
由顶点坐标公式得顶点坐标为D（1，4）（2分）
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE
=

1

2

AO·BO+

1

2

（BO+DF）·OF+

1

2

EF·DF
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4
=9；

（3）相似，如图，
BD=

BG2+DG2

＝

12+12

＝

2

；
∴BE=

BO2+OE2

＝

32+32

＝3

2

DE=

DF2+EF2

＝

22+42

＝2

5

∴BD²+BE²=20，DE²=20
即：BD²+BE²=DE²，
所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

＝

BO

BE

＝

2

2

，
∴△AOB∽△DBE（2分）．

点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．

2013学年四川省成都市名师堂学校中考数学模拟试卷（三）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．在实数0、

2

、|-3|、

2

3

中，最小的是（　　）

A．0

B． 2

C．|-3|

D． 2 3

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2．我市最大规模的民生工程--北改工程于2012年2月正式拉开大幕．据初步统计，整个工程项目约360个，总投资约为3300亿元．将总投资用科学记数法表示应约为（　　）

A．3.3×109元

B．3.3×1010元

C．3.3×1011元

D．3.3×1012元

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3．下列运算正确的是（　　）

A．3a+2a=5a2	B．a2·a3=a6
C．（a+b）2=a2+b2	D．（b+a）（a-b）=a2-b2

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4．如图，A、B、C是半径为1的⊙O上的三点，∠C=30°，已知则弦AB的长为（　　）

A．1

B．0.5

C．1.5

D．2

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5．用配方法解方程x²-2x-2=0时，原方程应变形为（　　）

A．（x+1）2=3

B．（x+2）2=6

C．（x-1）2=3

D．（x-2）2=6

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6．如图，已知AB∥CD，AE=CF，则下列条件中不一定能使△ABE≌△CDF的是（　　）

A．AB=CD

B．BE∥DF

C．∠B=∠D

D．BE=DF

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7．小华同学根据某地今年春节初一至初七的每天最低气温绘成了所示的折线统计图．关于这7天的每天最低气温的说法不正确的是（　　）

A．极差是5℃

B．众数是2℃

C．中位数是1℃

D．平均数是1℃

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8．为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系的大致图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

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9．如图，矩形OABC边OA长为1，边AB长为2，OC在数轴上，且点O与原点重合．以O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交负半轴于点D，则点D表示的实数是（　　）

A． 5

B． 3

C． 5

D． 3

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10．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（　　）

A． π 4

B． 2 4 π

C． 2 2 π

D． π 2

★★★★☆显示解析

二、填空题（每小题4分，共16分）

11．若

x1

+(y+2)2＝0，则x-y=

3

．

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12．计算：

a2

ab

+

b2

ba

=

a+b

．

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13．如图，从边长为（a+3）cm的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的小正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，重新拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则此矩形的周长为

4a+12

．

考点：图形的剪拼．

分析：根据已知正方形边长，得出新矩形的各边长，进而得出此矩形的周长．

解答：解：由题意可得出：AB=ED=a+1，CD=AF=a+3，BC=EF=a+3-（a+1）=2，
∴此矩形的周长为：2（a+1+a+3）+2×2=4a+12．
故答案为：4a+12．

点评：此题主要考查了图形的剪拼，根据已知得出各部分的长是解题关键．

14．某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是

6πm²

．

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三、解答题（本大题共6小题，共54分）

15．（1）计算：(?

1

2

)1

1

4

12

+(π?3)0|cos30°?1|
（2）解方程：

x+3

x2

＝

5

x2

1．

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16．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角为30°，向前走了26米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角为60°（测角器的高度忽略不计，点B、D、C在同一直线上），求旗杆AB的高度（结果保留3个有效数字，

3

≈1.732）．

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17．已知关于x的一元二次方程x2+(k2)x+

1

4

k2＝0有两个相等的实数根，求关于y的不等式

6?y

2

k≥

y+1

3

的解集，并把解集在数轴上表示出来．

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18．如图，正比例函数y＝

1

2

x的图象与反比例函数y＝

k

x

（k≠0）在第一象限内的图象交于点A（m，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若以OA为边的菱形OABC的对角线OB在x轴上，求菱形OABC的面积．

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19．随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭．汽车迷小明通过上网下载了四幅汽车标志图案，并制作了如下图所示的A、B、C、D四张精美卡片（形状、大小和质地都相同）．
（1）将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率；
（2）小明为甲、乙两位同学设计了一个游戏：将以上四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张 （不放回），接着再随机抽取一张，若抽到的两张卡片上只要有一张图案是轴对称图形，甲获胜，否则乙获胜．请通过画树状图或列表格分析说明小明设计的这个游戏对甲、乙双方是否公平？

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20．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交AB于点G，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACD的角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若△ABC是以AB为斜边的直角三角形，猜想并证明当点O运动到何处时四边形AECF为正方形？此时，如果AE=

2

，AB=4，求sin∠BAE的值．

考点：正方形的判定；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形．

分析：（1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得△EOC与△FOC是等腰三角形，即可得OE=OF；
（2）由（1）知，OE=OC=OF，当OC=OA，即点O为AC的中点时，可得OE=OC=OF=OA，证得四边形AECF是矩形；再由∠ACB=90°，MN∥BC，得出AC⊥EF，从而证明矩形AECF是正方形；根据正方形的性质及勾股定理求出AC=2，OA=OE=1，在Rt△ABC中，由正弦函数的定义得到∠B=30°，则∠AGO=30°，OG=

3

．过E作EH⊥AB于H，设EH=x，由GE+OE=OG，列出方程2x+1=

3

，解方程求出x=

3 1

2

，然后在Rt△AHE中，利用正弦函数的定义求出sin∠HAE的值，即可得到sin∠BAE的值．

解答：（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD．
又∵CE平分∠ACB，FC平分∠ACD．
∴∠ECB=∠OCE，∠OCF=∠FCD，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴EO=OC，FO=OC，
∴EO=FO；

（2）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF为正方形．理由如下：
由（1）知，OE=OC=OF，
当OC=OA，即点O为AC的中点时，
∴OE=OC=OF=OA，
∴四边形AECF是平行四边形，AC=EF，
∴这时四边形AECF是矩形；
又∵∠ACB=90°，MN∥BC，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴AC⊥EF，
∴矩形AECF是正方形．
∴AE=CE=

2

，∠AEC=90°，
∴AC=2，OA=OE=1．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2，
∴sin∠B=

AC

AB

=

2

4

=

1

2

，
∴∠B=30°，
∴∠AGO=∠B=30°，OG=

3

OA=

3

．
过E作EH⊥AB于H，设EH=x，则GE=2x，
∵GE+OE=OG，
∴2x+1=

3

，
∴x=

3 1

2

．
在Rt△AHE中，sin∠HAE=

HE

AE

=

3 1 2

2

=

6 2

4

，
∴sin∠BAE=

6 2

4

．

点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，正方形、矩形的判定与性质，解直角三角形．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

一、B卷填空题（每小题4分，共20分）

21．某计算程序编辑如图所示，当输入x=

4或-4

，输出y=1．

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22．抛物线y=ax²+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x	…	-2	-1	0	2	3	…
y	…	0	-5	-8	-8	-5	…

从上表可知，下列说法中正确的是

①③

．（填写序号）
①抛物线的对称轴是直线x=1；     ②在对称轴右侧，y随x增大而减小；
③抛物线与x轴的一个交点为（4，0）； ④函数y=ax²+bx+c的最小值为-8．

 显示解析

23．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到对应的△BFE，且点C的对应点F落在AD上．若tan∠DFE=

5

12

，BC=3，则CE=

2

．

 显示解析

24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AB=5cm．点P从点A出发沿AC以1.5cm/s的速度向点C匀速运动，到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回；点Q从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线PC-CB-BQ于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0），则当t=

25

11

或

40

23

秒时，四边形BQDE为直角梯形．

考点：四边形综合题．

专题：综合题．

分析：由四边形QBED为直角梯形，分为∠PQB=90°和∠CPQ=90°两种情况，得出三角形相似，利用相似比求出相应t的值即可．

解答：解：在Rt△ABC中，BC=3cm，AB=5cm，
根据勾股定理得：AC=

AB2BC2

=4cm，
设P、Q运动t秒时，四边形QBED为直角梯形，
①当∠PQB=90°时，得DE∥QB，
则四边形QBED是直角梯形（如图1），
此时△APQ∽△ABC，
则

AQ

AC

=

AP

AB

，即

5?t

4

=

1.5t

5

，
解得：t=

25

11

；
②当∠CPQ=90°时，得PQ∥BC，
则四边形QBED是直角梯形（如图2），
此时△APQ∽△ACB，
则

AQ

AB

=

AP

AC

，即

5?t

5

=

1.5t

4

，
解得：t=

40

23

，
综上，当点P、Q运动

25

11

或

40

23

秒时，四边形QBED是直角梯形．
故答案为：

25

11

或

40

23

点评：此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角梯形的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，解题的关键是由直角梯形的直角的可能情况，利用平行线得相似三角形，分类求解．

25．阅读材料：设方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝?

b

a

，x1·x2＝

c

a

．根据该材料填空：若关于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的两根记作a_n、b_n（n为不小于2的整数），则

1

(a22)(b22)

+

1

(a32)(b32)

+…+

1

(an2)(bn2)

=

-

n1

4(n+1)

．

（2012·成华区一模）阅读材料：设方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝?

b

a

，x1·x2＝

c

a

．根据该材料填空：若关于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的两根记作a_n、b_n（n为不小于2的整数），则

1

(a22)(b22)

+

1

(a32)(b32)

+…+

1

(an2)(bn2)

=

-

n1

4(n+1)

．

考点：根与系数的关系．

分析：首先根据两根与方程系数之间的关系求得a_n+b_n=n+2，a_n·b_n=-2n²，然后由

1

(an2)(bn2)

=-

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）找到规律原式=-

1

2

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=-

1

2

（

1

2

-

1

n+1

）=-

n1

4(n+1)

．

解答：解：∵关于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的两根记作a_n、b_n（n为不小于2的整数），
∴a_n+b_n=n+2，a_n·b_n=-2n²，
∴

1

(an2)(bn2)

=

1

anbn2(an+bn)+4

=

1

2n22n

=-

1

2

·

1

n(n+1)

=-

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

(a22)(b22)

+

1

(a32)(b32)

…+

1

(an2)(bn2)

=-

1

2

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=-

1

2

（

1

2

-

1

n+1

）=-

n1

4(n+1)

；
故答案是：-

n1

4(n+1)

．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

二、解答题(本大题共3小题，共30分)

26．据调查，某地区有100万人从事传统农业的非城镇居民，人均年收入5000元．为了增加这些非城镇居民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收部分这些非城镇居民进入加工企业工作．据统计，如果有x万这些非城镇居民进入加工企业工作（x＞0），那么剩下从事传统农业的非城镇居民的人均年收入将提高2x%，而进入加工企业工作的这些非城镇居民人均年收入为5000a元（a＞0）．
（1）若该地区在建立加工企业后从事传统农业的非城镇居民的年总收入刚好等于加工企业建立前全部非城镇居民的年总收入，求x的值；
（2）若0＜x≤50，a=3．则当地政府应安排多少万非城镇居民进入加工企业工作，才能使这100万非城镇居民的人均年收入达到最大？其最大人均年收入为多少元？

考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．

分析：（1）先根据题意得出一个关于x的不等关系：（100-x）·5000·（1+2x%）=100×5000，解此方程即得x的值；
（2）设安排x万非城镇居民进入加工企业工作，这100万非城镇居民的人均年收入为y元，利用已知分别表示出从事传统农业的非城镇居民和进入加工企业工作的这些非城镇居民人均年收入进而求出即可．

解答：解：（1）根据题意，
（100-x）·5000·（1+2x%）=100×5000，
即x²-50x=0，
解得：x₁=0（舍去），x₂=50；

（2）设安排x万非城镇居民进入加工企业工作，这100万非城镇居民的人均年收入为y元，依据题意可得出：
y=

(100?x)×5000(1+2x%)+5000×3x

100

化简得：y=-x²+200x+5000=-（x-100）²+15000，
根据二次函数的图象知：当0＜x≤50时，y随x增大而增大，
∴当x=50时，y有最大值为12500，故当地政府应安排50万非城镇居民进入加工企业工作，
才能使这100万非城镇居民的人均年收入达到最大，其最大人均年收入为12500元．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．

27．已知半圆O的直径AB为10，点M是该半圆周上的一个动点，连接AM、BM，并延长BM至点C，使BM=CM．过点C作AB的垂线，交AB或其反向延长线于点D，交AM或其反向延长线于点E，点D为垂足，连接OE．
（1）当CD与AB交于点D，与AM交于点E时（如图），求证：∠BAM=∠C；
（2）在（1）的情况下，若CD=8，求DE的值；
（3）设AD=t，在点M的运动过程中，是否存在t使得以点E、O、D为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

考点：圆的综合题．

专题：分类讨论．

分析：（1）由AB为半圆的直径，利用直角所对的圆周角为直角，得到AM垂直于BC，再由CD垂直于AB，得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形CEM与三角形ADE相似，由相似三角形的对应角相等可得证；
（2）连接AC，则可判断AM是线段BC的垂直平分线，在Rt△ACD中，求出AD，从而得出BD，再由Rt△AED与Rt△CDB相似，利用相似三角形的性质即可得出DE的长；
（3）若以点E、O、D为顶点的三角形与△BAP相似，则有∠EOD=∠PAM或∠EOD=∠ABM，然后分别求出AD的长度，即为t的值．

解答：
解：（1）证明：∵AB为半圆的直径，
∴∠AMB=∠CMA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CMA=∠CDA，又∠CEM=∠AED，
∴△CME∽△ADE，
∴∠BAM=∠C；

（2）连接AC，如图1所示，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠AMB=90°，
又∵CM=BM，
∴AM是线段BC的垂直平分线，
∴AC=AB=10，
在Rt△ACD中，AD=

AC2CD2

=6，
∴BD=4，
又∵Rt△AED∽Rt△CBD，
∴

ED

BD

=

AD

CD

，即

DE

4

=

6

8

，
∴DE=3；

（3）存在，理由如下：
若以点E、O、D为顶点的三角形与△ABM相似，则有∠EOD=∠MAB或∠EOD=∠ABM，
①当∠EOD=∠MAB时，如图2所示，此时△AOE为等腰三角形，点D为AO的中点，即t=AD=

5

2

；
②当∠EOD=∠ABM时，OE∥BM，如图3所示，此时OD=5-AD，BD=10-AD，
∵Rt△DOE∽Rt△DBC，
∴

OD

BD

=

OE

BC

，即

5?AD

10?AD

=

1

4

，
∴t=AD=

10

3

．
综上，在点M的运动过程中，存在t使得以点E、O、D为顶点的三角形与△ABM相似，此时t的值为

5

2

或

10

3

．

点评：此题考查了二次函数的综合题，涉及了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题的难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解，难度较大．

28．已知两直线l₁、l₂分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两条直线同时相交于y轴负半轴的点C时，恰好有l₁⊥l₂，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l₂交于点K，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的

3

2

倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将直线l₁按顺时针方向绕点C旋转α°（0＜α＜90），与抛物线的另一个交点为M．求在旋转过程中△MCK为等腰三角形时的α的值．

 显示解析

考点：二次函数综合题．

专题：计算题；压轴题；分类讨论．

分析：（1）在Rt△ABC中，由射影定理可求出OC的长，由此确定点C的坐标；知道A、B、C三点坐标后，利用待定系数法可确定该抛物线的解析式．
（2）此题中，以A、B、C、P为顶点的四边形可分作两部分，若该四边形的面积是△ABC面积的1.5倍，那么四边形中除△ABC以外部分的面积应是△ABC面积的一半，分三种情况：
①当点P在x轴上方时，△ABP的面积应该是△ABC面积的一半，因此点P的纵坐标应该是点C纵坐标绝对值的一半，代入抛物线解析式中即可确定点P的坐标；
②当点P在B、C段时，显然△BPC的面积要远小于△ABC面积的一半，此种情况不予考虑；
③当点P在A、C段时，由A、C的长以及△ACP的面积可求出点P到直线AC的距离，首先在射线CK上取线段CD，使得CD的长等于点P到直线AC的距离，先求出过点D且平行于l₁的直线解析式，这条直线与抛物线的交点即为符合条件的点P．
（3）从题干的旋转条件来看，直线l₁旋转的范围应该是l₁、l₂中间的部分，而△MCK的腰和底并不明确，所以分情况讨论：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；
求出点K的坐标、∠BCO的度数结合上述三种情况求解．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，OB=1，OA=3，且CO⊥AB；
∴OC=

OA·OB

=

3

，则 C（0，-

3

）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标后，得：
a（0+1）（0-3）=-

3

，a=

3

3

∴抛物线的解析式：y=

3

3

（x+1）（x-3）=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

．

（2）易知OA=3、OB=1、OC=

3

，则：S_△ABC=

1

2

AB·OC=

1

2

×4×

3

=2

3

．
①当点P在x轴上方时，由题意知：S_△ABP=

1

2

S_△ABC，则：
点P到x轴的距离等于点C到x轴距离的一半，即 点P的纵坐标为

3

2

；
令y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

=

3

2

，化简得：2x²-4x-9=0
解得 x=

2± 22

2

；
∴P₁（

2? 22

2

，

3

2

）、P₂（

2+ 22

2

，

3

2

）；
②当点P在抛物线的B、C段时，显然△BCP的面积要小于

1

2

S_△ABC，此种情况不合题意；
③当点P在抛物线的A、C段时，S_△ACP=

1

2

AC·h=

1

2

S_△ABC=

3

，则h=1；
在射线CK上取点D，使得CD=h=1，过点D作直线DE∥l₁，交y轴于点E，如右图；
在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，则CE=

2 3

3

、OE=OC+CE=

5 3

3

，点E（0，-

5 3

3

）
∴直线DE：y=

3

3

x--

5 3

3

，联立抛物线的解析式，有：

y＝ 3 3 x 5 3 3 y＝ 3 3 x2 2 3 3 x 3

，解得：

x1＝1 y1＝? 4 3 3

、

x2＝2 y2＝? 3

∴P₃（1，-

4 3

3

）、P₄（2，-

3

）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（

2? 22

2

，

3

2

）、（

2+ 22

2

，

3

2

）、（1，-

4 3

3

）、（2，-

3

）．

（3）由（1）知：y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

=

3

3

（x-1）²-

4 3

3

，
∴抛物线的对称轴 x=1；
在Rt△OBC中，OB=1，OC=

3

，则∠BCO=∠1=30°、∠2=∠3=90°-∠BCO=60°、BC=2；
过点C作直线CN∥x轴，交抛物线于点N，如右图；
由抛物线的对称性可得：N（2，-

3

），所以 CN=2；
易知直线BC：y=-

3

x-

3

，则 K（1，-2

3

），CK=

(?1?0)2+(?2 3 + 3 )2

=2；
在△CKN中，∠2=60°，CN=CK=2，那么△CKN是等边三角形----①．
Ⅰ、KC=KM时，点C、M关于抛物线的对称轴对称，符合①的情况，即点M、N重合；
Ⅱ、KC=CN时，由于KC=BC，所以此时点M与B、N重合；
Ⅲ、MK=MC时，点M在线段CK的中垂线上，CK的中垂线与抛物线相交于点N或者相交于抛物线的顶点．
综上，符合条件的直线l₁的旋转角度α=60°或α=∠ACN=90°-∠2=30°．

点评：该题考查了利用待定系数法确定函数解析式，图形面积的解法以及等腰三角形的判定和性质等重点知识；后两题涉及的情况较多，应分类进行讨论，容易漏解．

16．如图，已知∠MON=45°，OA₁=1，作正方形A₁B₁C₁A₂，面积记作S₁；再作第二个正方形A₂B₂C₂A₃，面积记作S₂；继续作第三个正方形A₃B₃C₃A₄，面积记作S₃；点A₁、A₂、A₃、A₄…在射线ON上，点B₁、B₂、B₃、B₄…在射线OM上，…依此类推，则第4个正方形的面积S₄=

 

，第n个正方形的面积S_n=

 

．

考点：正方形的性质．

专题：规律型．

分析：判断出△OA₁B₁是等腰直角三角形，求出第一个正方形A₁B₁C₁A₂的边长为1，再求出△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，再求出第2个正方形A₂B₂C₂A₃的边长为2，然后依次求出第3个正方形的边长，第4个正方形的边长第5个正方形的边长，第6个正方形的边长，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：∵∠MON=45°，
∴△OA₁B₁是等腰直角三角形，
∵OA₁=1，
∴正方形A₁B₁C₁A₂的边长为1，第1个正方形的面积S₁=1
∵B₁C₁∥OA₂，
∴∠B₂B₁C₁=∠MON=45°，
∴△B₁C₁B₂是等腰直角三角形，
∴正方形A₂B₂C₂A₃的边长为：1+1=2，第2个正方形的面积S₂=4
同理，第3个正方形A₃B₃C₃A₄的边长为：2+2=4，第3个正方形的面积S₃=16
第4个正方形A₄B₄C₄A₅的边长为：4+4=8，第4个正方形的面积S₄=64
第5个正方形A₅B₅C₅A₆的边长为：8+8=16，第5个正方形的面积S₅₌₂₅₆
第6个正方形A₆B₆C₆A₇的边长为：16+16=32，第6个正方形的面积S₆=1024．
所以第n个正方形的面积S_n=2^2n-2．
故答案为：64，2^2n-2．

点评：本题考查了正方形性质，等腰直角三角形的判定和性质，得出后一个正方形的边长是前一个正方形边长的2倍是解题的关键．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

17．计算：（2014-π）⁰+（-

1

2

）^-2-2cos30°+|1-

3

|．

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18．先化简，后求值：(1+

1

x2

)÷

x22x+1

x24

，其中x=-5．

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19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O；（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．

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四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

20．为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是

 

人；
（2）图2中α是

 

度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有

 

人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．

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21．“六·一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？
（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？

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22．如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度．他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处测得塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

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五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

23．阅读材料：在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x₁，0），B（x₂，0）的距离记作AB=|x₁-x₂|，如果A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离．如图，过A，B分别向x轴、y轴作垂线AM₁、AN₁和BM₂、BN₂，垂足分别是M₁、N₁、M₂、N₂，直线AN₁交BM₂于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x₁-x₂|，BQ=|y₁-y₂|，
∴AB²=AQ²+BQ²=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|²=（x₁-x₂|²+（y₁-y₂）²，
由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）间的距离公式为：AB=

(x1x2)2+(y1y2)2

．
（1）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1，-3），B（-2，1）之间的距离为

 

；
（2）平面直角坐标系中的两点A（2，3），B（4，1），P为x轴上任一点，则PA+PB的最小值为

 

；
（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式

x2+(y2)2

+

(x3)2+(y1)2

的最小值．

考点：轴对称-最短路线问题；两点间的距离公式．

专题：阅读型．

分析：（1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可；
（2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出PA+PB的最小值；
（3）根据原式表示的几何意义是点（x，y）到点（-2，-4）和（3，1）的距离之和，当点（x，y）在以（-2，-4）和（3，1）为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可．

解答：解：（1）∵平面直角坐标系内任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）间的距离公式为：
AB=

(x1x2)2+(y1y2)2

，
∴点A（1，-3），B（-2，1）之间的距离为：

(1+2)2+(?3?1)2

=5；
故答案为：5；

（2）如图所示：作A点关于x轴对称点A′点，连接A′B，
则此时PA+PB最小，最小值为：

42+22

=2

5

；
故答案为：2

5

；

（3）原式表示的几何意义是点（x，y）到点（-2，-4）和（3，1）的距离之和，
当点（x，y）在以（-2，-4）和（3，1）为端点的线段上时其距离之和最小，
∴原式最小值为：

(?2?3)2+(?4?1)2

=5

2

．

点评：此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．

考点：全等三角形的判定与性质．

分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得两底角相等，根据线段中点的性质，可得OA=OB，根据AAS，可得两个三角形全等，根据全等三角形的性质，可得结果；
（2）根据四个角是直角的四边形是矩形，可得四边形DMCN是矩形，根据矩形的性质，可得对边相等，根据等腰三角形的判定，可得DM与AM的关系，根据根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，对应角相等，根据同角的余角相等，可得答案．

解答：证明：（1）∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在△OMA和△ONB中，

∠A＝∠B ∠ANO＝∠BNO AO＝BO

，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM=ON．
（2）解：OM=ON，OM⊥ON．
理由如下：连结OC，
∵BN⊥DE，FM⊥CM，CM⊥BN，
∴四边形DMCN是矩形，
∴CN=DM，
∵∠DAM=∠CAB=45°，∠DMA=90°，
∴DM=MA，
∴CN=MA
∵∠ACB=90°，O为AB中点，
∴CO=

1

2

AB=AO，∠BCO=45°，CO⊥AB，
∴∠NCO=∠MAO=135°，
在△NOC和△MOA，
中

NC＝MA ∠NCO＝∠MAO OC＝OA

，
∴△NOC≌△MOA（SAS），
∴OM=ON，∠AOM=∠NOC，
∵∠NOC+∠AON=90°，
∴∠AOM+∠AON=90°，
∴∠MON=90°，
即OM⊥ON．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）由SAS证明三角形全等，再由全等三角形的性质，得出答案；（2）先证明矩形，再由SAS证明三角形全等，证明全等三角形的对应边相等、对应角相等，同角的余角相等．

 显示解析

25．如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

 显示解析

考点：二次函数综合题．

专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．

分析：（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解．
（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件．
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．

解答：解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，
∴y=2x-6，
令y=0，解得：x=3，
∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y=a（x-1）²-4，
把B（3，0）代入得：4a-4=0，
解得a=1，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3．

（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=-x．
设P（m，-m），则-m=m²-2m-3，解得m=

1? 13

2

（m=

1+ 13

2

＞0，舍），
∴P（

1? 13

2

，

13 1

2

）．

（3）①如图，当∠Q₁AB=90°时，△DAQ₁∽△DOB，
∴

AD

OD

=

DQ1

DB

，即

5

6

=

DQ1

3 5

，∴DQ₁=

5

2

，
∴OQ₁=

7

2

，即Q₁（0，

7

2

）；
②如图，当∠Q₂BA=90°时，△BOQ₂∽△DOB，
∴

OB

OD

=

OQ2

OB

，即

3

6

=

OQ2

3

，
∴OQ₂=

3

2

，即Q₂（0，

3

2

）；
③如图，当∠AQ₃B=90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ₃∽△Q₃EA，
∴

OB

Q3E

=

OQ3

AE

，即

3

4?OQ3

=

OQ3

1

，
∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，∴OQ₃=1或3，
即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．
综上，Q点坐标为（0，

7

2

）或（0，

3

2

）或（0，-1）或（0，-3）．

点评：本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形与相似三角形应用等重点知识．（3）题较为复杂，需要考虑的情况也较多，因此要分类进行讨论．