“再现”中点问题
怀柔区第五中学高希赢2014.5.16
学生情况分析：
我们已经完成了第一轮复习，即把基本知识按时间顺序整理了一遍，学生们处理中低档题时问题不大。但是，面对难题和综合题时不易找到突破点或者方法过于繁琐、用时过长。对于现阶段的学生而言，他在掌握基础知识的情况下，需要思想方法引找到解决问题的关键。
教学目标：
知识与技能：
通过交流展示学生掌握特殊图形及一般图形中点问题的处理方法
过程与方法：
经历题目的探究过程，发展合情推理和演绎推理的能力
通过从简单问题入手逐步过渡到解决复杂问题的过程，积累解决几何综合题经验，逐步提高解几何综合题的能力
通过每道题的小结与回顾，梳理解决问题的思路和方法
情感态度价值观：在学习过程中，培养学生归纳总结能力，增强学生解综合题的信心和勇气
教学重点：运用既得的经验策略分析应对具体问题，并进一步优化既得的经验策略，对于遇到的障碍养成及时诊断，及时反思总结的习惯。
教学难点：学生能准确、快速利用线段的中点构造基本图形的思想方法
教学过程设计
一、引入：
二、学习过程
活动1：展示交流
1.如图1，已知是等腰直角三角形，,点是
的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接
，．
（1）试猜想线段和的数量关系是；
（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，
判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
．
设计：此题是从特殊并且重要的图形-等腰直角三角形入手，揭示中点问题的通法。由于等腰三角形具有顶角平分线、底边中线及底边上的高线三线合一的性质,因此若是题目给了等腰三角形底边中点的条件，通常情况应该作出底边上的中线,这样就能把等腰三角形转化为两个全等的直角三角形.由于直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.因此如果题目中有直角三角形斜边中点的条件，那么最好的辅助线是做出斜边中线，这样就能得到两个腰长相等的等腰三角形，把直角三角形问题转化为等腰三角形问题，从而实现直角三角形与等腰三角形的互化，可以获得更多的条件，为解题提供思路.
活动2：总结解题策略
在解题后引导学生认真总结，总结探求思维起点、突破解题障碍的方法，总结解题思路，总结解题注意点．
①仔细分析题目条件，找到关键词
②注意基本图形的识别与构建
③从题目中的已知条件联想基本几何图形中的性质，可先从特殊并且重要的图形入手。（具体，从哪个条件作为首个突破口，要根据题中所给的具体信息，哪个条件易于建立重要的基本图形，从而找到已知与所求的直接或间接关系，就先从哪个条件出发）活动3试试
2.如图①，已知点O为菱形ABCD的对称中心，∠A=60°，将等边△OEF的顶点放在
点O处，OE，OF分别交AB，BC于点M，N.
（1）求证：OM=ON；
（2）写出线段BM，BN与AB之间的数量关系，并进行证明；
（3）将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置，请写出线段BM，BN
与AB之间的数量关系，并进行证明.
设计：本题是一般图形中的中点问题,由于前面已经学过此类问题的通法，希望通过本题来加强认识，可先让学生仿照上例的做法试着做本题，然后讲解.
分析总结：图①中由于点O为菱形ABCD的对称中心，三角形的中位线能将线段在位置上进行平移,同时还能将线段的长度在数量上进行缩放，因此中位线是中点问题的一个有力的武器，它能将分散的条件巧妙地集中起来，或使隐藏的条件显露出来.
三、实践应用，总结提升
3.四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF．G为DF的中点，连接EG，CG，EC．
（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；
（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针方向旋转至图2所示位置，在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
设计：本题是一道一般图形的中点问题，希望通过这道题揭示此类问题的通法.由于线段本身就是中心对称图形，而中点就是它的对称中心，因此若是题目中出现了线段的中点，则应充分利用线段的中心对称的性质，将别的条件依托中点构造成中心对称图形，这样就能将分散的条件巧妙地集中起来，这是中点问题最常用的一类辅助线.另一方面，由于三角形的中位线能将线段在位置上进行平移,同时还能将线段的长度在数量上进行缩放，因此中位线也是中点问题的另一个有力的武器，它也能将分散的条件巧妙地集中起来，或使隐藏的条件显露出来.因此一般图形的中点问题的通法是:利用中点构造中心对称图形和作中位线这两种方法.
（一题多解，多解选优，发散思维）
(2)通过比较，思考自己的解答有何优点和不足？（主动反思，借鉴完善，增强自信）注重实践，升华思维，提高水平）、师生小结
这节课对思维和识图能力的要求更高，但万变不离其宗，仍然可以用中点问题的一般方法去应对。“直角”“等腰”的特点，见中点就会想到它具有的特殊性质。
平行四边形.
北京市初中数学教学研讨会数学教学设计
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图1
图
图②
图①
图2
图1
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