几何证明课上的一次实践

几何证明课上的一次实践

按：几何证明课上，如何引导学生思考，启迪学生的思维，这是每个老师要解决的一个问题。周六给2个初二学生（一个男孩一个女孩，以下分别称为B和G）上过一节正方形的课。课上就几何证明的分析以及辅助线的添加，师生展开了探讨。（以下老师简称T，学生分别称为B、G）在备课过程中，老师会准备题型，也预设一些拓展和结论，以期达到揭示规律，展示精彩内容，让学生在学习过程中领悟方法，掌握技能。但是，一个好的老师，不仅要认真备课，还要把课堂交给学生。拓展、生成，不能靠灌输，还要靠学生去探索发现。这样的拓展、生成，正是学生的思考的结晶。

 

B:几何证明该如何思考？辅助线添加怎么想到？

T：不错的问题，这可是一直困扰同学们的一个问题。我们做几何证明题，有条件和问题两个方面，根据条件，解决问题。问题的关键是怎样把这方面结合起来解决问题？我们要根据两方面来往中间凑，首先根据已知条件，能得到什么结论？同时我们要看问题是什么，需要证明什么？这样两头往中间思考，联结起来，问题就一点点解决。

G：可是有时候给的条件不知道怎么用。

T:这的确是常见的问题。一下复杂的问题的确不是一看就能推导的，这时候我们需要多一些分析。我们从条件和问题两方面出发，分别探讨。

T:如果条件中有中点，你会想到什么？

G：中位线

B：直角三角形斜边中线

G：等腰三角形三线合一

T：很好，还有没有？

G:遇到中线可以加倍延长中线

T:非常好，还有？

B:平行线对角线互相平分

G:线段的垂直平分线

。。。

T:非常好，已经说了很多了，如果到了初三还能说出更多。这就是了，如果遇到中点问题，那么我们脑海中会印出以上的知识点。然后根据题目特点选取适当的定理或者方法应用。这些，就是题目所能给与我们的。

T:另一方面，我们要证明的结论，也会让我们思考我们需要什么。比如，要证明两条线段相等，会有什么方法？

B:全等、等角对等边

T:中线，斜边中线等于斜边一边，线段垂直平分线定理，角平分线定理

B:平行四边形的对角线互相平分

...

T:不错，说了很多常用的证明线段相等的方法。但是做题时，根据题目图形的特点，应该是能较快的得到可能要采取的方法。比如，如果要证明两条线段相等，如下图这样位置关系的两条线段相等。我们要根据题目特点来思考。两条相交的线段相等，很多方法就不能用了。但是是否可以连接AB\BC\CD\DA，证明ABCD是矩形？

B：矩形对角线相等

T：对，如果想到这一点，思路对路，接下来就不难了。所以我们不仅要会思考，更要将基础知识点牢记。这样思维发散起来。

T:综上，根据题目条件，得出结论；根据问题，看需要什么。两者结合，问题就好解决了。

 

 

T:通过下面一道题，我们展示这种思维方法。先解决第一问。

3分钟之后。。。。。

 

G：我的判断是FM=DM，且FM⊥DM。我做出了一种辅助线，但是证明还有些困难。

T:非常好，说说看

G:刚说到中点，我就想这没有等腰三角形，三线合一应该不可能。连接AC,CE，∠ACE=90°，连接MC，则直角三角形斜边中线等于斜边一半，所以AM=ME=MC。

T：然后

G：（停顿）。。。然后可以证明△FMC≌△FME，所以∠CFM=∠EFM=45°。。。。要是能证明∠FDM=45°就好了

T：那么怎么证明呢？

G:(沉思）。。。有点想不出

T:直接来不行可以换个思路

G:∠FDM=∠2+∠5，可以证明△ADM≌△CDM，所以∠1=∠5，∠3=∠4，∠AMC=∠1+∠5=∠4+∠3，所以∠5=∠3，

  所以∠FDM=∠2+∠5=∠2+∠3=45°！yeah！

T:所以△FDH为等腰直角三角形，所以结论成立。

   点评:抓住中点这个条件，构造直角三角形，利用斜边中线等于斜边一般的性质解决问题。比较巧妙。那么，还有别的方法吗？

 

B：是不是可以中线倍长？

T:如何倍长？画图

B：延长DM交FE于N

T:然后？

B：AD=NE,DM=MN，

T：那么如果要证明DM=FM,DM⊥FM，意味着什么?

B:意味着要证明△FDN为等腰直角三角形，就是要FN=FD。因为FE=FC，NE=AD=DC，所以FD=FN，所以△FDN为等腰直角三角形；因为M为DN中点，所以FM=DM，且FM⊥DM；

 

T：很不错，都通过自己分析完成了证明。那么继续第2问，是否（1）中结论是否依然成立？

B/G：成立。但是怎么证明。。。

T：第一问就是引子，第二问的方法也要参考第一问。我只能说和第一问类似。你们可再推导。

G：我的方法不行了在第二问不能用了，不能构造直角三角形了；可以尝试用中线倍长。

G:加倍延长DM至N，使得MN=DM，所以△ADM≌△ENM，所以NE=AD

B:还是要证明△FDN为等腰直角三角形，就是要证明△FDC≌△FNE，FC=FE，DC=AD=NE。。。。。。怎么证明∠FCD=∠FEN呢。。。。

G：有些苦难

T：思路是对的。朝这个思路走下去就肯定能出来，只是有些曲折。现在先把这个问题暂停一下，中线倍长一定要用DM倍长吗？

G：还可以倍长FM。（画图）

G:倍长FM=MQ，则FE=AQ,AQ∥FE，三角形FC=FE=AQ,AD=DC，还有∠2=∠1，哇。。。。这样两副图画在一起，我找到了刚才角度的证明方法了。。。。只要过A做个平行线，∠3=∠5，所以∠4=∠2=∠1。。。。那么就能在倍长DM的情况下证明了。。。。


T：很好，我们根据中点这个性质，找到了方法顺利解决问题。现在说说你们的收货：

B：还可以将ABCD旋转，让DC和CG重合，还可以旋转别的角度，应该都是差不多的方法。

G:一道题可能有不同的解法，关键是抓住题目的特点，并结合问题来分析。只要路子对，就能走得通。

T：说的很对。并不是每道题都值得我们一题多解、拓展思考。但是好题一定要这样去多想想，多总结。只要多思考多总结，就会积累更多的办法和经验，下次遇到问题，也就能快速的找到突破口解决问题。