幻方4

         在《 奇数阶幻方的填写方法》里我们已说过： 目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。今天我们探讨双偶阶幻方的填写方法  。

       所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方我们称为双偶阶幻方即：四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是 在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 n×n＋1），我们称它们为一对 互补数 。如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对 互补数 ；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对 互补数 。下面我们就来说说两种比较容易的解法。       

  一、 双偶数阶幻方 的对称交换解法：

      先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

下面以8阶幻方为例：
(1) 先把数字按顺序填。然后，按4×4把它分割成4块（如图）

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

(2) 每个小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数。

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

 

二、 双偶数阶幻方 的半旋转解法：    

 还是 以4阶幻方为例：

   先在第一行写1、2、3、4；再在下一行同列依次写5……16如下：

                          1    2    3     4

                          5    6    7     8

                          9    10   11   12

                          13   14   15   16

      将四个角的数字1、4、13、16和中间四个数6、7、10、11固定不动，将余下的一半数字旋转180°

1			4
	6	7
	10	11
13			16

  这一半（不动）  另一半转180°成下图。

	15	14
12			9
8			5
	3	2

 合在一起就成一个4阶的标准完美幻方

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

  再以8阶幻方为例：

    可先写一个1--64方阵

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

  四个角数字和中间固定不动 

1	2					7	8
9	10					15	16
		19	20	21	22
		27	28	29	30
		35	36	37	38
		43	44	45	46
49	50					55	56
57	58					63	64

  再将余下的一半转180°写进空处得8阶幻方

1	2	62	61	60	59	7	8
9	10	54	53	52	51	15	16
48	47	19	20	21	22	42	41
40	39	27	28	29	30	34	33
32	31	35	36	37	38	26	25
24	23	43	44	45	46	18	17
49	50	14	13	12	11	55	56
57	58	6	5	4	3	63	64